Методическая система подготовки студентов высшей педагогической школы к реализации линии практических приложений в курсе геометрии основной и старшей ступени общего образования
жүктеу/скачать 4,6 Mb. Pdf көрінісі
|
| 3. Что такое угол зрения?
В математике при описании свойств математических объектов встречается поня- тие угла зрения. Однако часто оно используется в упро- щенном виде. Мы говорим, например: «Из точки А от- резок а виден под углом α». кто и откуда смотрит на этот отрезок? Или эта фраза имеет какой-то другой смысл? Опираясь на уже известные понятия: поле зрения, луч зрения, идеальный луч зре- ния и на соответствующие им геометрические понятия, попробуем подробнее объяс- нить, что означают слова «видеть под углом». В наше поле зрение попадает множество предметов. К каждому предмету от глаза можно провести бесконечное число лучей зрения (рис. 10). Любые два из них об- разуют некоторый угол. Каждый из таких углов - угол зрения. Рис. 10 394 Для практических нужд, как правило, берут угол зрения, под которым виден весь предмет. Это угол, составленный двумя лу- чами зрения, которые проходят через концы отрезка, являющегося высотой этого пред- мета. В остальных случаях, угол зрения, взя- тый таким образом, что его стороны прохо- дят через какие-либо точки рассматриваемого предмета, будет углом зрения, под которым виден некоторый отрезок, заключенный между этими точками. Углов зрения, под которым виден дан- ный предмет, может быть бесконечно много, т. к. имеется бесчисленное число точек наблюдения – вершин такого угла (рис. 11). Поэтому при решении практических задач выбирают «удобный» угол зрения, например тот, под которым видна высота рассматрива- емого предмета (рис. 12). Договоримся, что в дальнейшем, говоря об угле зрения, будем иметь ввиду именно такой угол. Во всех остальных случаях к термину «угол зрения» будем добавлять необходимые пояснения. Отметим, что вместо термина угол зре- ния часто употребляют также и термин угло- вой размер, в отличие от линейных размеров, с которыми все хорошо знакомы (длина, ширина, высота). Так поступают, в частности, в астрономии. Например, если говорят, что угловой размер Луны равен 0,5 , то имеют в виду, что под таким углом виден наблюдателю с Земли диаметр лунного диска. Знание углового размера (астрономы го- ворят углового диаметра или видимого диаметра) небесного тела позволяет вычислить Рис. 11 Рис. 12 395 его линейные размеры. Вследствие огромной удаленности космических объектов угло- вые диаметры планет и звезд очень малы и изменяются в угловых минутах и секундах. Угол зрения - величина непостоянная. Она зависит от размеров предмета и от расстояния от глаза до предмета. Нетрудно понять, что чем больше предмет, тем под большим углом зрения он виден. На рисунке 13 предметы высотой АВ и А 1 В находятся на равном расстоянии от глаза и А 1 В>АВ. Нетрудно понять, что в этом случае угол зрения φ / , под которым ви- ден больший отрезок А 1 В, больше угла зре- ния φ, под которым виден меньший отрезок АВ. Будем увеличивать расстояние от глаза до предмета, тогда угол зрения бу- дет уменьшаться (рис. 14). Поэтому, чем дальше от глаза находится предмет, тем меньших размеров он нам кажется. В этом легко убедиться, если сравнить, например, видимые и действительные размеры небесных тел. Нельзя ли дать этому факту математическое обоснование? Пусть предмет, высота которого равна а, удалили на расстояние l, а затем на рас- стояние L от глаза, l< L. Изобразим это на рисунке 15. Точкой О обозначим глаз наблю- дателя, тогда пусть ОА=l, ОА 1 =L и АВ=А 1 В 1 =а. Для упрощения рассуждений, располо- жим луч зрения ОА так, чтобы ВАО и В 1 А 1 О были прямыми. Имеем углы зрения АОВ= и А 1 ОВ 1 = , составленные соответствующими зрительными лучами. Дока- жем, что если l < L, то < . 1.Треугольники АВО и А 1 В 1 О – прямоугольные. 2.ОА<ОА 1 или l < L. Дано (рис. 15) 3.Доказать: < . С / В А А 1 Рис. 13 Рис. 14 396 4. tg = АВ АО , tg = А В А О 1 1 1 или tg = а l , tg = а L , по определению тангенса угла, (1). 5. tg tg L l , (4). 6. L l >1, (2). 7. tg tg > 1, (5, 6). 8. tg >tg , (7). 9. > , т. к. функция тангенс возрастает на промежутке (0; 90 0 ) и , (0; 90 0 ) по условию (1) как углы соответствующих прямоугольных треугольников. Таким образом, мы показали, что чем дальше от глаза находится предмет, тем меньше угол зрения, под которым он виден, но еще не нашли ответа на вопрос, почему при удалении от глаза предмет кажется нам уменьшающимся. Для этого необходимо вспомнить, как получается изображение на сетчатке. До- статочно провести лучи зрения от крайних точек предмета к глазу наблюдателя, они пересекутся в оптическом центре глаза, и на сетчатке получится обратное уменьшен- ное изображение (рис. 16). Посмотрим, как изменится размер изображения предмета при увеличении расстояния от него до глаза (рис. 17). Построим изображения одного и того же предмета, находящегося на разном расстоянии от глаза наблюдателя. Для простоты будем считать, что по- верхность сетчатки не сферическая, а плоская. Рис. 16 В А 1 А О L l В 1 Рис. 15 397 Как уже говорилось, лучи зрения пересекаются в оптическом центре - некоторой точке О, находящейся в глазу наблюдателя. Продолжим лучи зрения ОА, ОВ, ОВ 1 за точку О до пересечения с плоскостью сетчатки, получим точки А / , В / , В / 1 . Таким обра- зом, изображение АВ есть А / B / , изображение А 1 В 1 есть А / В / 1 . Будем считать, что прямая, содержащая луч зрения ОА7 перпендикулярна плоскости сетчатки. Из рис. 17 видно, что А / В / >А / В / 1 , т. е. при удалении предмета его изображение на сетчатке становится меньше, поэтому он и кажется нам уменьшающимся. Докажем, что если l / B / >A / B / 1 . По доказанному выше известно, что если l<L, то > , но АОВ= А / ОВ / = , А 1 ОВ 1 = A / 1 OB / 1 = , как вертикальные. Из прямо- угольного треугольника ОА / В / : tg = А B A O / / / 1 . Из прямоугольного треугольника ОА / В / 1 : tg = A B OA / / / , следовательно A B OA / / / > А B A O / / / 1 , тогда А / В / >А / В / 1 , что и требовалось доказать. жүктеу/скачать 4,6 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|