Оқулық Алматы, 201 5 Байарыстанов А. О. Жоғары математика і-бөлім Алматы 2015
жүктеу/скачать 12,35 Mb. Pdf көрінісі
|
| § j 2f
d m j / 4 (i - 2 1 2 + t * ) i t = \t4d t - 2 \t6d t + болады. - - * 1 + + C = i s i n 5 x - - s i n 7x + - s i n 9 x + С 5 7 9 5 7 9 z-ж ағдаи. Қарастырып отырган түрдегі интегралдың т жэне п- оң жұп сан болсын. Мұндай жағдайда ин функцияны мына формулалардың көмегімен түрлендіреміз 1 • о sin xcos х = - s i n 2 x ( 7 . 3 9 ) 208 s i n 2 x = r 0 ~ cos 2 x) (7.40) c°s 2 x = -I(l + cos 2x) (7.41) xdx Шешу i: Интеграл астындағы функцияны (7.39) формуласын түрге 1 . ' 2 Осы теңдеудің он жағына (7.40) форму. \ • 2 = - sin 2 х . 4 Sin2 xcos2 X = і Sin 2 2х = і • L С° б4х = I (! _Щ р 1 ; Демек, берілген интеграл • • ****~ о Я* c o s 4 x ) * - - - jcos4xdx = sin4x + C 8 8 8 8 3 2 теңділмен аныкталады. 3. Jsin тех cos nxdx, Jcosmxcosraofr, Jsin /их sin nxdx түріндегі интегралдар. Мұндай интегралдарды есептеу үшін келесі тригонометриялык формулаларды пайдалана отырып, sin a cos/? = - [ s in ( a + /?)+ sin (a - /?)] (7.42) c o s a cos/7 = ~[cos(a + 0 ) + cos (a - fi)] ( 7 . 4 3 ) sin ct sin /? = - [cos(a- / ? ) - cos(a + /?)] (7.44) тригонометриялык функциялардын кобейтіндісін олардың косындысы түрінде көрсетуге болады. Мысалы, Jsin 2x cos 5xdx интегралын есептеңіз. Шешуі: Бұл жерде (7.42) формуласын колданамыз: Jsin 2 x cos 5xdx = ’ J[sin l x + sin(- 3x)}*r = ' Jsin Ixdx - 1 Jsin ЗдаЕс = = ~ — c o s 7 jt + - c o s 3 jc + C . Ш 14 6 v • > ^ ^ \tg mxdx жэне jc tg mxdx түрій&егі интегралдар, мундағы w - он бүтін сан. Мұндай интегралдарды есептеу барысында tg 2x = —— — 1 COS2 JT 2 I немесе c/g дг » - . — 1 формулаларыи пайдалану аркылы тангенстін немесе sm х котангенстің дәрежелерін төмендетеміз. Мысалы, jtg 5xdx интегралын есептеніэ. 209 Шешуі: j tg 5xdx хі — ------ 1 cos x \ dx = *-d x - \tg 3xdx cos x = [tg^xditgx) 1 COS X 1 t g X 4 ftgxd(tgx)+ \tgxdx . 4 . 2 _ t g X t g X 4 2 - I n cosx + C б о л а д ы . _ г tgmx , cctgmx , 5. J— n “X жэне j - -- ax түріндеп интегралдар, мұндағы n он COS X sm x жұп Мұндай интегралдар 4-түрде көрсетілгендей 1 1 2 - = 1 + tg X cos2 x н е м е с е — \ = 1 4- c tg 2x формулаларының көмегімен есептелінеді. sin х Мысалы, J— * dx интегралын есептеңіз. cos х ] Шешуі: \ ~ ^ і х = ------ 1 dx = J /g 4 x(l | t g 2x f d { tg x ) j COS X COS X COS X ^ & s ' 9 *| Л • J 4 j t g 4xd(tgx)+ 2 j t g 6xd(tgx) + \ t g %xd(tgx) = - tg 5x + _ t g 1 x + - tg9x g С болады 7.34 № 12 өзіндік жумыс тапсырмалары №1 Анықталмаган интегралды есептеңіздер. 1.1 dx 1.4 sin x ( l- c o s x ) cos xdx (i 1 7 f a cosx dx s i n x о sin x ) 1.10 J 1+5ШДГ Ф 1 4- cosx + sin x 1.13 I sinxatt 1 -hcosx + sin x 1.16 J cos xdx ( 1 + cosx XI sin x ) 1.2 j cos xdx 2 4 - cosx cosx —sinx J A \2 ^ ( 1 + sm x ) 1.8 I dx ( l 4 - s i n x - c o s x ) 1.11 J eosxJfc 1 4- sin x — COSX t 1/f r 14-sin x , 1 1 4 ( 1 — sm x) J j cosxrf* 1 4 - COSX —sinx 1.3 J ( 1 Sinxwx )cb C O S x ( l 4 - cosx) 1.6 f— d x 1.9 J cos x(l - cos x) cos xdx 5 4 - 4 c o s x 1.12 J 1.15 J (l4-cos x)dx 1 4 - C O S X 4 - sinx cosxcit 1 4 - COSX 4 - sin x 1.18 J COSXtffct ( 1 + cosx s in x ) 2 210 1 1 9 f o r ” * * Vi ' 2 0 J— ~ ( f ,J:)* i 1 2 1 J (1 + COS X + s i n x f J c o s x ( l + c o s x ) J ( l + s i n x f 1.22 f - - - 3 1 1 x<* ---- ---------1.23 Г------- ! ^ L ___ 1 24 f - c o s 2 xdx ( 1 + sin x + cosxf (l + c o s x - s i n * ) 2 ’ (l + cos x — sin 3 CjP 1-25 J— — о 1 26 J— — ~ 1.27 f ^ ( 1 + cos x + sin X) (l + cos x + sin x ) 2 sinx(l + sinx) Щ J 7 r— ------ — у 1.29 r SinX£fc 1.30 J + s t n r -4- r n e r I V -4- C i n v J ( 1 + sin x + cos jt)- 2 + sin jc ^cosjc ( 1 + cosjc) №2 2 1 fT_____A 2 2 f 2 c f g r + 1 о , r 3 + 2/gx (3/gx+ 5 ) s in 2x ‘ ^(2s in x + c o s x ) 2 ' ^ s i n 2 x + 3 c o s 2 x - l 2 4 i — - 4tgX~ 5 *-<** 2 5 J -----r 2 . 6 f— ^ - ± 2 _______________ a l - s m 2 x + 4 c o s x 18sin jc + 2 cos 2 jc sin 2 x + 2 c o s 2 x - 3 2 . 7 J------- 2.8 f V ^ - » « ^ - 2 2 2 9 r_______________________ 3 3 s m 2 x + 5 c o s jc 4 - / g y J2 s i n 2 x - 5 c o s 2 x + l 2 l 0 | (_ _ L l £ W L A --------- 2 . 1 2 J - 6 s i5 - ^ - < & (sinx + 2 cosx) sin-’ x — 5 cos x + 4 3cos2x — 4 2-13 L i t - 1 — 2 Л 2.14 f (, 2 + Ы ^ 2.15 f_6 + ^ Л 2sm x + 1 8 c o s “ ,ic 3sin x + 4 cos 2 jc - 7 9 s in 2 jc + 4 cos 2 x 2 1 6 / 2 . 1 7 / 1 , 3 'S* * 2 .1 8 J . 2 ,^ . + S A 3sin x + 4 c o s x - 7 (sin x + 2 cosx г (5 -/g x )sin 2 x 2 A 9 f & ± Z * b 2 2 , (4. 2/gr + 7 J 2sm 2 jc .+ 5 5 U 4 cos" x -s in 2 jc + l 2 2 2 / д Т , 2 . 2 3 / " - 3' f * 2 .2 4 f 2® r J A 4 + 3 c o s 2 x jc ) 2 25 / a 36<* 2 .2 6 \ \ ~ ltSXdx 2.27 f 2 _ /g x ( 6 tgxfsm 2x 2 -f З/gx (sin x + 3cosx)~ 2 28 Г j 2.29 J, Щ 2.30 J Й & 3cos x + 8 sm x - l ( 6 + 5/gx)sin2x 4 + 3cos2x №3 3 .1 12 8 sin 8 xdx 3.2 |2 4 sin 6 xcos2 xdfr 3.3 jsin 4 xcos4x 3- 4J s in 2 (x/4)ccS 6 (x / 4)abc 3.5 j2 4 c o s"(x /2 )ir 3.6 j 2 6 sin6 xdEr 211 3.7 І28sin6 x c o s2 xdx 3.8 J24 sin4 x c o s4 xdx 3.9 J22 sin x c o s6 xdx 3.10 j2 4 sin2(x /2 )co s6(x/2)cfr 3.11 J24 sin8(x/2)tfc 3.13 J 28 sin4 xcos4 xdx 3.16 | 2 4 sin6(x /2 )c o s2(x/2)rfx- 3.17 Jsin8(x/4)rfr 3.19 J28 sin 2 x cos6 xdx 3 .2 0 J24 cos8 xdx 3.22 Jsin6(x /4 )c o s2(x/4)o!x: 3.23 j2 8cos8x 3.25 j2 4 sin4(x /2 )co s4(x/2)cfr 3.26 J24 sin8 xdx os8(x/4)dx 3.28 Jsin4(x /4 )c o s4(x/4)dx 3.29 J №4 3.12 J28 sin6 x c o s 2 xdx 3.14 J24 sin2 xcos6 xdx 3.15 Jcos8 xdx 3.18 J 28 sin4 xcos4 xdx 3.21 Jsin8 xdx 3.24 J 28 sin2 x co s6 xdx 3.27 Jsin6 x co s2 xdx 3.30 J28 cos8 xdx 4.1 Jsin2(l-x )d x 4.4 Jcos3 5xsin 5xdx 4.7 fsin2 — dx 1 2 4.10 fsin3 — a!* J 5 4.13 Jsin36xdx 4.16 Jcos2 2xdx 4.19 Jsin42xdx 4.22 Jcos2 у dx 4.25 Jcos4 xdx 4.28 J (s in x -5 )2dx 5.1 j t g 2xdx 5. 4 j tg 27xdx 5.7 J ctg3xdx 4.2 Jsin3(l — x)dx 4.5 Jcos ( 1 )dx 4.8 J(cosx + 3)2dx 4.11 jo cosx )2 dx 4.14 Jsin2|jo,5x)dx 4.17 II 1 + 2 c o s~ I dx 4.20 Jsin23xdx 4.23 Jsin35xdx 4.26 Jcos3 4xdx 4.29 Jsin3 4xdx №5 5.2 fctg 3(x - 6 ) d x 5.5 j t g 5xdx 5-8 ftg 2 ^~dx 4.3 II l - 2 s i n | I dx 4.6 J(3 - sin 2x)2 dx 4.9 J COS [x + 3)dx 4.12 Jsin2(2x-1> & \ 4.15 Jsin^ I - + 1 dx 2 4.18 Jcos2 3xdx 4.21 J(l - cos Зх ) 2 dx 4.24 Jsin4xdx 4.27 Jcos2 7xdx 4.30 Jsin2 ~ dx 5.3 J(g43xdx 5.6 j x t g 2x 2dx 5.9 J tg 3 ± d x 212 5.10 j t g 2 4 xdx 5.11 jc tg 3xdx 5.12 jc tg 25xdx 5-13 ftg3 ~dx 5.14 J(l - t g 2 x f dx 5.15 j t g 32xdx 5.16 f ( 2 x - t g 27x}£c 5- 1 7 jtg 4 dx 5 . 1 8 J(l — c t g 2 x f dx 5.19 j(tg 2 x + c tg 2 x fd x 5.20 jc tg 13xdx 5.21 f ctg4 xdx 5.22 ftg 2 * d x 5.23 ftg4( x - 6 ) d x 5.24 jtg 3 4 xdx 5.25 f g 4 | dx 5.26 j t g 4(x + 5)dx 5.27 j t g 3(x -3 )d x 5.28 J/g 2 (5x + \)dx 5.29 j t g 2 — dx 4 5.30 jtg 5 4 xdx № 6 6.1 Jsin Зх cos xdx 6.4 Jcos3 Sjcsin 5xdx 6.7 Jsin4 2xcos 2 xdx 6.10 Jcos2xsin3xo6r 6.13 Jcos3 4xsin 4xdx 6. 16 Jsin 4x cos 4xc6r 6.19 j ^ d x > 9 J 6.22 Jsin2 2x cos xdx 6.25 Jsin xcos3 xdx 6.28 Jcos Ъх cos xdx 6.2 Jsin5 Ix c o slx d x 6.5 [sin - cos - dx J 2 4 6.8 Jsin - cos — dx 3 2 2 6.11 Jsin 5xsin 7 xdx 6.14 Jcos"3 2xsin 2xdx 6 . 1 7 Jsin 3x c o s 2xdx 6 . 2 0 J ^ ^ f r sin 2x 6.23 J C° S / dx sin X 6.26 Jsin Sxcos xdx 6.29 Jcos4 2xsin 2xdx 7.35 А н ы ктал ган интеграл 6.3 Jsin 2 Зх соьЪхсіх 6.6 Jcosxsin 9xofc 6.9 Jcos5 xsin xdx 6.12 Jsin 4x cos 2xdx 6.15 Jcosxsin 9xdx 6.18 Jsin3 7xcos Ixdx 6.21 Jcos 2x cos 5 xdx 6.24 Jsin 2xsin ЪхсЬс 6.27 Jsin x cos 4xdx 6.30 Jcos 7x cos 5 xdx 9 Айталык / ( x ) функциясы [a,b\ кесіндісінде аныкталган болсын Қарастьфып отырған \a,b\ кесіндісін а х0 < х, < х2 <... < х„_, < х п =Ь болатындай кесдейсок п бөлікке бөліп, әрбір элементарлык [x^_j,x^] кесіндісінен кез келген ^ нүктесін аламыз жэне осындай әрбір ұзындығын табамыз: Ак = хк - хк .. Берілген f i x ) кесіндінің функцияс п кесіндісіндегі интегралдык косынды деп <т= түрдегі косындыны ы \ аитамыз. таңдап алынган санына max болганда сг — І < е тенсіздігі орындалса, п онда а = )&хк косындысының акырғы / шегі бар болады. ы \ Ш Ш Ш Щ ш Ш Ш ■ ^ ; 51 -анықтста. [a9b\ кесіндісін бөлетін элементарлык кесінділердін ен үлкенінің ұзындығы (тахД х* 0 ) нөлге ұмтылгандагы интегралдык косындының шегі / ( * ) функциясының [a9b] кесіндісіндегі анықталган интегралы деп аталады: b / = ) f \ x № n a | | p ncr= 1 ™ n Z A t k y ^ k - m a x A r* —>0 m ax A x * ^ _ j Егер f ( x ) функциясы [a,b] кесіндісінде үздіксіз болса, онда интегралдык косындының шегі бар болады жэне [a9b] кесіндісін элементарлык кесінділерге бөліктеу әдісінен жэне де gk нүктелерін таңдап алудан тәуелсіз болады ( анықталган интегралдың бар болу теоремасы). ■ у а Аныкталған интегралдагы а жэне b сандары сэйкес интегралдаудың төменгі жэне жоғарғы шектері деп аталады. Егер [а , b\ кесіндісінде f ( x ) > 0 болса, онда ь аныкталган интеграл ^f(x)dx геометриялык у=ад тұрғыдан, 6 8 -сурет = f ( x \ х = а, х = Ь9 у = 0 сызыктарымен шектелген кисык сызыкты трапецияның ауданын береді ( 6 8 -сурет). Анықталган интегралдың негізгі қасиеттері: b a l. ||Ш Щ f f ( x ) d x . a u 2 . \f(x )d x = 0. a b 3. \ f { x ) d x = \ f{ x )d x + \f{x )d x мұндағы a < c < b a b a 4 + H 1 J / i {x)d + a a 214 b b 5. Jcf(x)dx = c j f ( x ) d x , мұндағы С - тұракты. л а 6 . Анықталган интегралды багалау : егер [a,b\ кесіндісінде т < f ( x ) < М болса, онда ъ m(b - а) < \ f { x ) d x < M ( b - a ) . 7.36 А н ы қталған интегралды есептеу ережелері I. Ньютон — Лейбниц формуласы: \f ( x ) d x - F (x fa = F(b)~ F(a), ° v’ '-УЫі'' -Р ’ мұндагы Ғ ( х ) - функциясы / ( х) функциясынын алгашкы функциясы, яғни Ғ '\х ) — f { x ) теңдігі орындалады. • 2. Айнымалыны алмастыру: \f{x )d x = [f[(p{t)\p'(t)dt , a a мұндагы x = ) - функциясы өзінің туындысымен бірге a < / < / ? кесіндісінде үздіксіз, а,= ф(а ), b = q>{fi), f\(p{t^\— функциясы [a,/?] кесіндісінде үздіксіэ болады. 3. Бөліктеп интегралдау: Ь ь ь judv = uv а — jv d u , о а мұндағы и — и(х) жэне v = v(x) функциялары [o,b] кесіндісінде үздіксіз дифференциалданатын функциялар. 4. Егер Д г ) ~ так функция болса, ягни f ( - x ) = - f ( x ) орындалса, онда jf ( x ) d x = О -А теңдігі орындалады. Егер /(дг)~ жұп функция болса, яғни / ( — х )= f ( x ) орындалса, онда \ f ( x ) d x = 2 \ f ( x ) d x — в « о теңдігі орындалады. Берілген аныкталган интегралдарды есептейміз. 215 i t 4 ___ В (fa 1. j ---- ү - интегралын Ньютон - Лейбниц формуласы бойынша І COS X есептеңіз. к i n ___ • г Й и л л , ЛИ ДГ ^ 3 Шешуі: j — y ~ = tgx* = t g - - t g - = \ — - ^cos x - 4 6 3 6 e- * 0 fin X 2 . I------ ax интегралын айнымалыны ауыстыру аркылы есептеңіз 1 * ‘ ‘ * Г' г - ' Шешуі: . * • \ \ ІШШАІ е In 2 х j J — = dt ' , 2 1 1 ? 1 / 3 ----- d x = x = J r d t = - r = V .1 ~ ° / х = 1 = > / = 0 о 3 Ю 3 | 3 t = ll ' 3. Jo: cos xdx интегралын бөліктеп интегралдау формуласымен есептеніз J t 4 J t о U Шешуі: Jx cos xdx J t 4 dv = cos xdx du — dx v = sin x jt п 2 2 . - f гг J 4 jt 4 n - 2 n f§ к - f l i t 2 4 ^ - 2 я - 4 2 --------------- + c o s x !f = --------------------------= -------------------------— 2 8 - 2 8 2 8 4 7.37 Меншіксіз интегралдар 1. Шектері шексіздік болатын интегралдар. Айталык f { x ) функциясы а < х < +QO теңсіздігін канағатгандыратын х барлык мэндерінде аныкталган жэне үздіксіз болсын деп алып мына интегралды карастырамыз: ь т Ш f/ ( * ) * а Бұл функц өзгеріп отырады. Енді осы интегралдың 6 -> оо ұмтылғандагы жағдайын карастырамыз. 216 5 2-аиъщтама. Егер ь ь lim \f{x)dx а акыргы шек бар болса, онда бұл шек / ( * ) функциясының [а,-ко) интервалындағы меншіксіз интегралы деп аталады жэне мына түрде белгыенеді +ос Сонымен, аныктама бойынша а -юс J/(x)aEr = lim Jy(jc)abc I 1 болады. +О 0 Мұндай жагдайда \f{x)dx меншіксіз нтеграл табылады немесе а жинакталады деп аталады. Егер оо ұмтылғанда j f ( x } t i c итегралынын а +00 акыргы шегі болмаса, онда \f(x)dx меншіксіз нтеграл табылмайды немесе а жинаксыз деп аталады. аныктауға болады: Ь Ь + 0 0 интегралдарды и тОв с +00 )±с= lim \/{ x ) d x , = \ f { x ) i x + f f(x )L Ш Щ. “® a — oo ы теңдіктің -СО с аныктама бойынша сол жағындағы интегралда бар болады. Көп жагдайда беріпген интегралдарды жинактылыкка немесе жинаксыздыкка тексеріп жэне онын мәнін бағалауға болады. Бұл үшін төмендегі теоремаларды колдану маңызды болып саналады. 40-теорема. Егер барлык х ( х > а ) мэндері үшін мына теңсіздік 0 £ /(х )й < р (х ) + х Мх + 0 С меншіксіз итегралы да жинакты болып, мына теңсіздік орындалады а + 0 0 + 0 0 \f(x )d x < \(p{x)dx. a a 41-теорёма. Егер барлык x {x > а) мэндерi үшін мына тенсіздік 0 £ < р ( х ) й / ( х ) 217 +00 )ф -foe )dx a меншіксіз интегралы да жинаксыз болады. -foe 42-теорема. Егер J f{ x )d x интегралы жинакты болса, онда а а интегралы да жинакты болады. Бұл жагдайда соңгы интеграл дбсолютті жинакты болады. 2. Үзілісті ф ун кц и ян ы н интегралы . / ( х) функциясы а < х < с аралыгында аныкталган жэне үзіліссіз, ал х = с нүктесінде функция аныкталмаган немесе үзілісті болсын деп карастырамыз. Мүндай жагдайда С 5' 4 . ' r\ vv г : 1 1 ' Ifipfyfc интегралын интегралдық косындынын шегі деп айтуга болмайды, а себебі /(.v ) функциясы \а9с\ кесіндісінде үзілісті болгандыктан интегралдык косындынын шегі болмауы мүмкін. Берілген f ( x ) функциясы с нүктесінде үзілісті болса, онда [ f ( x \ i x түрде аныктаймыз: \f ( x ) d x = lim \ f ( x \ k Егер он жактагы шек бар болса, онда сол жактагы интеграл жинакталатын меншіксіз интеграл деп, карсы жагдайда жинакталмайтын меншіксіз интеграл деп аталады. Егер f \ x ) функциясы [а,с] кесіндісндісінің сол жагында үзілісті болса, ягни х = а нүктесінде, онда аныктама бойынша меншіксіз интеграл мына теңдеумен с с )dx = lim f f ( x \ t x b-*a+ 0 , a b фун X 0 i, онда меншіксіз интеграл мына түрде Й І Й І ! / ( * ) * + \f(x \b c . a b Бұл теңдіктің он жагындагы екі меншіксіз интеграл да жинакты теңдіктің сол жагынлагы и н т е гп а п л а ж ш я ш г ы функциял ? мэндерін теңсіздік функциялі нүктесінде 0 < f ( x ) < ( p ( x ) 2 1 8 а )dx меншіксіз интегралы жинакталатын болса, онда \ f i x \ b меншіксіз интегралы да жинакты болады. а 44-теорема. Егер [а,с] кесіндісінде f { x ) жэне <р{х) функциялары А Ш Ш ^ А А -- - — . --м • с нүктес інде теңсіздік О £ < p {x )£ f(x ) щ орындалып, f меншіксіз интегралы жинаксыз болса, онда \ / ( х } ± меншіксіз интегралы да жинаксыз болады. а 45-теорема. Егер f ( x ) функция [а,с] кесіндісінде таңбалары айнымалы, тек с нүктесінде үзілісті жэне осы функциянын J f{x )d x меншіксіз а интегралы жинакты.болса, онда берілген функциянын J f(x)Jx интегралы да жинакты болады жэне абсолютті жинакты деп аталады. Берілген меншіксіз интегралдарды есептейміз. +ас 1 . Jcos xdx меншіксіз интегралын есептеңіз немесе жинактылыкка о зертгеніз. Шешуі: ' І* . > j» •foe Ь {cos xdx = lim Jcos xdx = lim sin x * = lim (s in * -s in 0 ) = Urn sin b , бұл О *-*■“ Ь-иос Ь -*+*> * шек табылмайды. Сондыктан берілген меншіксіз интеграл жинаксыз. У 2 менппксіз интегралын есептеңіз немесе жинактылыкка — ж зерттеңіз. 1 dx .. id x Шешуі: J -у = lim J— = lim 1 -l = lim а —► —оо 1 1 + | = 1, ягни меншіксіз i a интеграл жинакты. i 7 A ■ . . » J i . 2 меншіксіз интеі ралын есептеңіз немесе жинактылыкка - X зерттеңіз. Шешуі: Берілген интеграл астындағы функция жұп, сол себептен 7 * і і + х 2 І 1 + х 2 219 теңдігі орындалады. Ең алдымен осы теңдіктік зерттейміз: 7 dx f dx ь r , и 7 = lim ----- r = lim arctgx n = lim arctgb = — 0 1 + Д Г b-++ao J 1 + X 2 6 ->+ ОС 0 *->+00 * 2 + 0 0 ^ + 0 0 1 Сонда берілген интеграл J ----- j - 2 f — — = 2• — = я болады, демек l + x о 1+jc 2 — 00 меншіксіз интеграл жинақты. A \ dX ■ ■ . 1 4. J— меншіксіз интегралын есептеңіз немесе жинактылыкка зерттеңіз. о X Шешуі: Интеграл астындагы f ( x ) m — функциясы jc = 0 нүктесінде ™ ‘ - - . х акырсыз. Сондыктан j — = lim J— = lim ln x ^ = lim ( ln l- ln a ) = lim ( - I n a ) = + 0 0 о X X a - + 0 “ д - > 0 a-> 0 a болады, яғни меншіксіз интеграл жинаксыз. 7.38 Ж а зы қ ф и гураларды ң ауданы н есептеу Щ іЬ І ) [/(х)й о] кисығымен, х = а жэне х - b тузулерімен жэне Ох өсінің \a,b\ кесіндісімен шектелген кисық сызыкты фигураныц ауданы мына формуламен есептелінеді ъ S I \/{х )ф с . (7.45) а ьершген y = j {yx) жэне у - j 2\x) кисыктарымен, мұндағы сондай-ак х = а жэне х = Ь түзулерімен жектелген фигураныц г ъ s - J [ / 2 ( * ) - / 1 (*)]<& (7.46) формуласымен аныкталады. Егер кисык параметрлік * = *(/), у = у($) түрде берілсе, онда осы кисыктармен сондай-ак х = а 9 x = b түзулерімен жэне Ox өсінің [a, b] кесіндісімен жектелген кисык сызықты трапецияның ауданы S = \y{t)x'(t)dt (7.47) формуласымен есептелінеді, мұндағы tx жэне t2 мэндері сэйкес a = x(tx) жэне b = x(t 2) теңдеулерінен аныкталады [ tx 1 1 < t2 болганда y(/) > 0 болады]. 220 Полярлык координатада р — р{(р) теңдеуімен бершген, жэне екі ~ er ^ — --- 7 ~ — — — — полярлык (рх = « , Ф 2 ~ Р \а < Р ) радиустармен жектелген кисык сызыкты сектордың ауданы 1 Р формуласымен 5 = 2 \p2d(p а (7.48) фигуралардын 1- у — 4х X параболасымен жэне Ох өсімен жектелген фигуранын ауданын есептеңіз. | ф Шешуі: Параболамен Ох өсінің киылысу нүктелерін у = 4 х - х у = 0 4х - х = О У = 0 х(4 - х) = 0 у = 0 — 0, х2 — 4 у = 0 формуласын колдана отырып, ауданд 4 нүктелері о 3 о = — (кв. бірлік). 2. 69-сурет у = {х - 1 )“ параболасіімен .г 2 - У- ш 1 2 (>-= 2 (дс 2 - і) > гиперболасымен шектелген фигуранын ауданын есептеніз (69-сурет). Шешуі: Берілген параболамен гиперболанын киылысу нүктелерін табамыз: 221 2 2 бұл жүйенің екінші теңдеуінен х4 - 4х3 + 4х2 - 4х + 3 - 0 болады, тендеудің сол жағын (дс —і)(х —Здх2 + і ) = 0 көбейткіштеріне осы жіктеп, *і -1» х2 - 3 және Уі — 0, >> 2 = 4 тең болатынын көреміз. Сонымен қисыктардың киылысу нүктелері /і(і;0) жэне В( 3;4) болады. Демек, і отырған фигуранын ауданы (7.46) форму ' г ' 1 “Т і 1 2 X x 2 - l + l n x + X 1 - \ 1 1 3 8 + 1 п(з+ I)]- 8 10 2 болады. 3. х — 2\t sin /), 3 ; — 2(l — co s/) циклоидасының бір аркасымен және Ох өсімен шектелген жазык фигуранын ауданын есепте (70-сурет). 70-сурет Шешуі: Берілген теңдеулерден dx = 2(1 ) d t , ал t айнымалысы tx = 0 - ден t непзш де 2 /г В /2 2(1 2л f d t = 4 f l о о = 4 , I • , I 1 • I f - 2 s i n r + - f + - s m 2 f 2 4 2 л 1 2 ;г(кв. бірлік) болады. 4. р 2 =2cos2#> л( табыңыздар (71-сурет). Ж фигуран Шешуі. Суреттен көріп отырғандай ізделінді ауданнын төртен бір л бөлігінде Ө параметрі ^ — 0 - ден (р2 — — -ке дейін өзгереді, сондыктан (7.48) формуладан I f - S = 4 • — y.zos2(pd(p = 2 sin 2cp 4 = 2 (кв. бірлік) 2 о болады. 7.39 Қ исы қ лоғасы ны н үзы нды ғы н есептеу Егер у = / ( х ) кисыгы кесіндісінде тегіс болса, яғни у ' = f'(x ) туындысы үздіксіз, орда бұл кисыктын сэйкес доғасынын ұзындығы ь _____ \ L = J 1 + y ’-dx ( 7 . 49 ) a формуласымен есептелінеді. Егер кисык х = x(f), y = y(t) болатын параметрлік түрде берілсе (x(t) және y(t) - үзіліссіз дифференциалданатын функциялар), онда t параметрінін /,-ден /2-ге дейін монотонды өзгеруіне сәйкес кисык доғасынын ұзындығы I '2 j—---- - 1 = + y ' 2d t (7.50) '1 формуласы бойынша есептелінеді. Егер кйсык полярлык координатта р = р (^ ), а < < р < р тендеуімен берілсе, онда кнсыктың сәйкес доғасының ұзындыгы мына формуламен аныкталады: fi " ---- А * I ү L = j p 2 + p '2d (7.51) Берілген кисыктар доғасының ұзындығын есептеңіз: 1 • у я %* (v ^ 0) кисыгынын = 0 -ден х = 1 -ге дейінгі аралыктағы догасынын ұзындығын табыңыз. Шешуі: Берілген кисыкты дифференциалдаймыз, сонда у 9 = х . Демек І Ц > ^ _г . _ j : .. 2 -■ ' '» ізделінді доганын ұзындығы (7.49) формуласы бойынша 223 1 9 L = f \ + - x d x 1 . 4 о 4 2 9*3 / 1 + 9 л v 4 3 8 1 1 1 ® 8 у 2 7 1 4 27 8 27 13 8 1 3 -1 о болады. 2. Параметрлік түрде берілген х cos5/ , j> = sin5/ кисығы доғасынын л ұзындығын к = 0 -ден /2 = — -ге дейін табыңыз. Шешуі. Көрсетшген / параметрі бойынша туындыларды табамыз х —~5cos /s in /, у = 5 sin / c o s / . Сондыктан, (7.50) формуласы бойынша т с о cos /s in t) + 1 J } о / + cos6 tdt n к жүктеу/скачать 12,35 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|