Процессы управления и устойчивость

Пример 1. Уравнение g(x) := e

x/3

− 1 = 0.

Ш. 1. x

0

= −1, d

0

= 1.

Ш. 2. σ = [−2, 5; 0, 5].

Ш. 3. L = e

0,5/3

/9.

Ш. 4. P

M

= Le

1/3

3 =

√

e/3 < 0, 550.

Ш. 5, 6. Расчеты показали, что помимо значительно большей скоро-

сти уменьшения оценки погрешности (сравнительно с ММН), и сами

итерации по методу ТР существенно быстрее сходились к решению,

как при хороших оценках на L и d

0

, так и при сильном огрублении.

k

x

k

y

k

f (x

k

)

f (y

k

)

d

k

d

0

k

0

-1,000e+00

-1,000e+00

-2,835e-01

-2,835e-01

1,000e+00

1,000e+00

1

1,868e-01

-3,450e-02

6,426e-02

-1,143e-02

2,748e-01

3,450e-02

2

-8,221e-02

-1,897e-03

-2,703e-02

-6,320e-04

1,718e-01

1,897e-03

3

3,096e-02

-9,478e-05

1,037e-02

-3,159e-05

1,025e-01

9,478e-05

4

-1,247e-02

-4,710e-06

-4,149e-03

-1,570e-06

5,922e-02

4,710e-06

5

4,899e-03

-2,340e-07

1,634e-03

-7,799e-08

3,351e-02

2,340e-07

6

-1,944e-03

-1,162e-08

-6,476e-04

-3,875e-09

1,872e-02

1,162e-08

7

7,680e-04

-5,774e-10

2,560e-04

-1,925e-10

1,039e-02

5,774e-10

8

-3,040e-04

-2,869e-11

-1,013e-04

-9,562e-12

5,738e-03

2,869e-11

9

1,202e-04

-1,425e-12

4,008e-05

-4,750e-13

3,163e-03

1,425e-12

k

y

1

k

f (y

1

k

)

d

1

k

y

2

k

f (y

2

k

)

d

2

k

0

-1,000e+00

-2,835e-01

1,127e+00

-1,000e+00

-2,835e-01

1,190e+00

1

4,792e-03

1,599e-03

1,221e-01

2,535e-02

8,486e-03

1,649e-01

2

-1,126e-02

-3,748e-03

1,226e-02

-6,664e-02

-2,197e-02

7,293e-02

3

-5,091e-04

-1,697e-04

1,506e-03

-4,700e-03

-1,566e-03

1,099e-02

4

4,541e-04

1,514e-04

5,428e-04

2,650e-03

8,837e-04

3,638e-03

5

-4,884e-06

-1,628e-06

8,382e-05

-2,196e-04

-7,319e-05

7,685e-04

6

8,094e-06

2,698e-06

8,942e-06

2,518e-04

8,393e-05

2,972e-04

7

2,787e-07

9,291e-08

1,127e-06

3,306e-06

1,102e-06

4,869e-05

8

-4,000e-07

-1,333e-07

4,485e-07

-7,568e-06

-2,523e-06

8,251e-06

9

-1,053e-08

-3,512e-09

5,895e-08

-4,400e-07

-1,467e-07

1,123e-06

Отметим, что выпуклость g в сочетании с g(x

0

) < 0 порождает

“перескок"итераций ММН через решение, нарушая их монотонность.

67

Пример 2. Уравнение g(x) := e

x/3

− 1 = 0.

Ш. 1. x

0

= 1, d

0

= 1.

Ш. 2. σ = [0, 5; 2, 5].

Ш. 3. L = e

2,5/3

/9.

Ш. 4. P

M

= Le

−1/3

3 =

√

e/3 < 0, 55.

Ш. 5, 6. Расчеты показали, что при хороших оценках на L и d

0

ме-

тод ТР помимо значительно большей скорости уменьшения оценки

погрешности (сравнительно с ММН), обеспечивает и более быструю

сходимость. При грубых оценках этих величин метод ТР также обес-

печивает значительную скорость уменьшения оценки погрешности

по сравнению с ММН, но сами итерации ММН сходятся быстрее,

чем в методе ТР. Что, правда, не гарантируется теорией.

k

x

k

y

k

f (x

k

)

f (y

k

)

d

k

d

0

k

0

1,000e+00

1,000e+00

3,956e-01

3,956e-01

1,000e+00

1,000e+00

1

1,496e-01

1,665e-01

5,113e-02

5,705e-02

2,748e-01

1,665e-01

2

3,969e-02

4,479e-02

1,332e-02

1,504e-02

1,718e-01

4,479e-02

3

1,106e-02

1,204e-02

3,694e-03

4,023e-03

1,025e-01

1,204e-02

4

3,121e-03

3,238e-03

1,041e-03

1,080e-03

5,922e-02

3,238e-03

5

8,835e-04

8,703e-04

2,945e-04

2,901e-04

3,351e-02

8,703e-04

6

2,504e-04

2,339e-04

8,346e-05

7,798e-05

1,872e-02

2,339e-04

7

7,096e-05

6,288e-05

2,365e-05

2,096e-05

1,039e-02

6,288e-05

8

2,011e-05

1,690e-05

6,705e-06

5,634e-06

5,738e-03

1,690e-05

9

5,702e-06

4,543e-06

1,901e-06

1,514e-06

3,163e-03

4,543e-06

k

y

1

k

f (y

1

k

)

d

1

k

y

2

k

f (y

2

k

)

d

2

k

0

1,000e+00

3,956e-01

1,127e+00

1,000e+00

3,956e-01

1,190e+00

1

1,203e-01

4,092e-02

2,472e-01

9,660e-02

3,272e-02

2,869e-01

2

-2,717e-02

-9,015e-03

9,968e-02

-6,495e-02

-2,142e-02

1,253e-01

3

1,712e-02

5,722e-03

3,321e-02

1,023e-02

3,416e-03

5,014e-02

4

-3,086e-03

-1,028e-03

1,301e-02

-9,359e-03

-3,115e-03

1,549e-02

5

1,212e-03

4,039e-04

2,995e-03

2,781e-04

9,272e-05

5,851e-03

6

-4,494e-04

-1,498e-04

1,147e-03

-1,979e-04

-6,596e-05

3,630e-04

7

1,647e-04

5,491e-05

4,236e-04

2,389e-05

7,963e-06

1,412e-04

8

-6,013e-05

-2,004e-05

1,550e-04

-1,646e-05

-5,487e-06

3,062e-05

9

2,191e-05

7,305e-06

5,654e-05

2,201e-06

7,336e-07

1,196e-05

Отметим, что выпуклость g в сочетании с g(x

0

) > 0 благоприятна

для метода Ньютона и обеспечивает монотонность итераций.

68

Пример 3. Уравнение g(x) := x + sin x = 0.

Ш. 1. x

0

= π/3, d

0

= π/3.

Ш. 2. σ = [−π/6, π5/6]. Ш. 3. L = 1.

Ш. 4. P

M

=

L

1 + cos x

0

,

d

0

=

2 sin π5/12

√

3

π

6

< 0, 698 < 2

√

2 − 2.

Ш. 5, 6. Расчеты показывают, что метод ТР значительно быстрее

сходится, чем ММН, а, главное, оценка погрешности у ТР умень-

шается убедительно скорее. То же и с ухудшенными оценками d

0

и

P

M

.

k

x

k

y

k

f (x

k

)

f (y

k

)

d

k

d

0

k

0

1,047e+00

1,047e+00

1,913e+00

1,913e+00

1,047e+00

1,047e+00

1

-2,283e-01

5,087e-02

-4,546e-01

1,017e-01

3,655e-01

5,087e-02

2

7,478e-02

5,665e-03

1,495e-01

1,133e-02

2,997e-01

5,665e-03

3

-2,488e-02

6,109e-04

-4,976e-02

1,222e-03

2,392e-01

6,109e-04

4

8,291e-03

6,564e-05

1,658e-02

1,313e-04

1,860e-01

6,564e-05

5

-2,764e-03

7,051e-06

-5,527e-03

1,410e-05

1,414e-01

7,051e-06

6

9,212e-04

7,573e-07

1,842e-03

1,515e-06

1,054e-01

7,573e-07

7

-3,071e-04

8,133e-08

-6,142e-04

1,627e-07

7,726e-02

8,133e-08

8

1,024e-04

8,736e-09

2,047e-04

1,747e-08

5,593e-02

8,736e-09

9

-3,412e-05

9,382e-10

-6,824e-05

1,876e-09

4,009e-02

9,382e-10

k

y

1

k

f (y

1

k

)

d

1

k

y

2

k

f (y

2

k

)

d

2

k

0

1,047e+00

1,913e+00

1,096e+00

1,047e+00

1,913e+00

1,121e+00

1

3,758e-02

7,514e-02

8,645e-02

3,074e-02

6,147e-02

1,040e-01

2

-1,939e-02

-3,877e-02

2,949e-02

-3,225e-02

-6,449e-02

4,107e-02

3

2,604e-03

5,207e-03

7,500e-03

6,506e-05

1,301e-04

8,755e-03

4

-2,128e-03

-4,255e-03

2,768e-03

-1,781e-04

-3,563e-04

1,951e-04

5

6,006e-05

1,201e-04

5,806e-04

-1,448e-05

-2,897e-05

3,141e-05

6

-1,321e-04

-2,641e-04

1,467e-04

6,597e-06

1,319e-05

1,033e-05

7

-8,776e-06

-1,755e-05

2,343e-05

-1,016e-06

-2,031e-06

2,715e-06

8

6,258e-06

1,252e-05

8,398e-06

7,187e-07

1,437e-06

9,803e-07

9

-3,071e-07

-6,142e-07

1,833e-06

-3,825e-08

-7,650e-08

2,233e-07

Пример 4. Уравнение g(x) :=

x

x

2

+ 6x + 5

= 0.

Ш. 1. x

0

= 0, 15 , d

0

= 0, 15.

Ш. 2. σ = [−0, 075; 0, 375],

69

Ш. 3. L = 0, 611.

Ш. 4. P

M

= 0, 6456.

Ш. 5, 6. Расчеты показывали сходное с предыдущим примером по-

ведение итераций по методу ТР и ММН.

k

x

k

y

k

f (x

k

)

f (y

k

)

d

k

d

0

k

0

1,500e-01

1,500e-01

2,533e-02

2,533e-02

1,500e-01

1,500e-01

1

-2,848e-02

7,539e-03

-5,896e-03

1,494e-03

4,842e-02

7,539e-03

2

1,307e-02

6,015e-04

2,574e-03

1,202e-04

3,631e-02

6,015e-04

3

-5,066e-03

4,357e-05

-1,019e-03

8,713e-06

2,628e-02

4,357e-05

4

2,118e-03

3,130e-06

4,225e-04

6,259e-07

1,846e-02

3,130e-06

5

-8,594e-04

2,247e-07

-1,720e-04

4,493e-08

1,265e-02

2,247e-07

6

3,531e-04

1,613e-08

7,058e-05

3,226e-09

8,512e-03

1,613e-08

7

-1,443e-04

1,158e-09

-2,887e-05

2,316e-10

5,652e-03

1,158e-09

8

5,912e-05

8,312e-11

1,182e-05

1,662e-11

3,718e-03

8,312e-11

9

-2,420e-05

5,967e-12

-4,839e-06

1,193e-12

2,430e-03

5,967e-12

k

y

1

k

f (y

1

k

)

d

1

k

y

2

k

f (y

2

k

)

d

2

k

0

1,500e-01

2,533e-02

1,606e-01

1,500e-01

2,533e-02

1,659e-01

1

4,484e-03

8,920e-04

1,510e-02

2,901e-03

5,782e-04

1,882e-02

2

-4,805e-03

-9,667e-04

5,810e-03

-7,599e-03

-1,534e-03

8,323e-03

3

3,050e-05

6,100e-06

9,736e-04

-4,715e-04

-9,435e-05

1,195e-03

4

-6,499e-05

-1,300e-05

7,081e-05

3,121e-04

6,240e-05

4,118e-04

5

-3,224e-06

-6,447e-07

9,041e-06

-1,699e-05

-3,398e-06

8,272e-05

6

2,605e-06

5,210e-07

3,213e-06

3,108e-05

6,217e-06

3,464e-05

7

-5,836e-08

-1,167e-08

5,497e-07

1,476e-06

2,952e-07

5,037e-06

8

1,217e-07

2,434e-08

1,327e-07

-1,626e-06

-3,252e-07

1,935e-06

9

5,975e-09

1,195e-09

1,698e-08

-1,567e-08

-3,133e-09

3,248e-07

Литература

1. Михеев С. Е. Нелинейные методы в оптимизации. СПб.: Изд-во

СПбГУ, 2001. 276 с.

2. Мысовских И. П. О сходимости метода Л.В. Канторовича реше-

ния функциональных уравнений и его применениях // Докл. АН

СССР, 1950. Т. 70, №4. С. 565–568.

70

Олемская М.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Об описании класса систем дифференциальных

уравнений с отклоняющимся аргументом,

представленных в пространстве

последовательностей векторов и имеющих

специальное решение

Рекомендовано к публикации профессором Овсянниковым Д.А.

Рассматривается система из n линейных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми откло-

нениями аргумента, содержащимися только в правой части уравне-

ния, записанная в следующем матричном виде

du

dt

=

N

j=−M

a

j

χ(t + τ j)u(t + τ j) + f (t).

(1)

Здесь и далее χ(t) – характеристическая функция интервала

[0, +∞), a

j

– (n×n)-матрицы c вещественными компонентами; N, M

– целые положительные числа, τ > 0 – вещественное число, f (t) –

вектор-функция, заданная на интервале [0, +∞), непрерывная на ин-

тервалах [kτ, (k + 1)τ ), k = 0, 1, 2 . . . , и ограниченная на интервале

[0, +∞).

Решается следующая начальная задача 1 для уравнения (1):

найти абсолютно непрерывную вектор-функцию u(t), являющуюся

решением уравнения (1) на интервале [0, +∞) и принимающую в

точке +0 значение z

0

(вектор размерности n).

Для уравнения (1), содержащего только члены с запаздывающим

аргументом

du

dt

=

0

j=−M

a

j

u(t + τ j) + f

1

(t),

(2)

основная начальная задача формулируется следующим образом:

найти абсолютно непрерывную вектор-функцию u(t), совпадающую

на интервале [−M τ, 0) с начальной вектор-функцией ϕ

0

(t), являю-

щуюся решением уравнения на интервале [0, +∞) и принимающую

в точке +0 значение z

0

.

71

Основная начальная задача для уравнения (2) переопределением

неоднородности

f (t) =

f

1

(t) +

−1

j=−M

a

j

ϕ

0

(t + jτ ),

t ∈ [0, M τ ),

f

1

(t),

t ∈ [M τ, +∞),

может быть сведена к рассматриваемой начальной задаче 1 для урав-

нения вида (1) с новой вектор-функцией f (t). В частности, для одно-

родного уравнения получаем начальную задачу 1, но уже для неод-

нородного уравнения.

Рассмотрим задачу представления решений систем линейных

дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и

соизмеримыми отклонениями аргумента (1) в пространстве после-

довательностей l

p

(1 ≤ p ≤ +∞) векторов (каждый элемент после-

довательности – транспонированный вектор размерности n).

Построим бесконечную матрицу

A =

















a

0

a

1

. . . a

N

0

0

. . . 0

. . .

a

−1

a

0

. . . a

N−1

a

N

0

. . . 0

. . .

a

−2

a

−1

. . . a

N−2

a

N−1

a

N

. . . 0

. . .

. . .

. . .

. . . . . .

. . .

. . .

. . . . . .

. . .

0

0

. . . a

−M

a

−M+1

a

−M+2

. . . a

N

. . .

. . .

. . .

. . . . . .

. . .

. . .

. . . . . .

. . .

















.

Полагаем, что каждому элементу матрицы A соответствует матрич-

ная (n × n)-клетка. Конструкция матрицы A такова: матричные ко-

эффициенты уравнения (1) выписываются в строку, начиная с мини-

мального значения j = −M , далее эта строка сдвигается на единицу,

матрица A получается отчеркиванием по вертикали от a

0

получен-

ной таблицы, свободные места при этом заполняются нулевыми клет-

ками. Бесконечная матрица A, действующая на вектор-элемент про-

странства l

p

по обычному правилу умножения вектора на матрицу,

задает ограниченный линейный оператор в пространстве последова-

тельностей l

p

(1 ≤ p ≤ +∞) векторов [2].

Рассмотрим дифференциальное уравнение с матрицей-операто-

ром A в пространстве l

p

dZ(x)

dx

= AZ(x) + F (x),

x ∈ [0, τ ).

(3)

Здесь вектор-функция F (x) со значениями в пространстве l

p

опре-

деляется как F (x) = {f (kτ + x)}

k=0,1,2...

, x ∈ [0, τ ). Формулируемая

72

далее теорема устанавливает связь между решениями уравнений (1)

и (3) [1].

Пусть E – бесконечная единичная матрица; S – бесконечная мат-

рица правостороннего сдвига – поддиагональ единичных (n × n)-

клеток под главной клеточной диагональю, остальные элементы –

клеточные нули; последовательность η (η ∈ l

p

) – вектор, имеющий

первой компонентой вектор z

0

, остальные компоненты – нули.

Теорема 1. Пусть вектор-функция F (x) со значениями в про-

странстве последовательностей векторов l

p

непрерывна на интер-

вале [0, τ ],

F (x) = {f

0

(x), f

1

(x), . . . , f

k

(x), . . .},

f

k

(x) = f (kτ + x),

x ∈ [0, τ ),

k = 0, 1, 2, . . . ;

F (τ ) = lim

x→τ −0

F (x),

F (τ ) ∈ l

p

.

Пусть Z(x) вектор-функция, имеющая представление в про-

странстве последовательностей векторов

Z(x) = exp (Ax)ξ +

x

0

exp (A(x − s))F (s)d s,

где вектор ξ — решение в пространстве последовательностей век-

торов l

p

уравнения

(E − S exp (Aτ )) ξ = η + S

τ

0

exp (A(τ − s))F (s)d s.

(4)

Тогда функция u(t), определяемая на интервале [0, ∞) как

u(t) = z

жүктеу/скачать 30,48 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: