3.2. Алгоритмы численного моделирования
нелинейных динамических систем
Реальные технические объекты и технические системы описываются, как правило, системами нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений. Для большинства задач, представляющих практический интерес, решение их аналитическими методами невозможно. Результаты могут быть получены путем построения приближенных решений с помощью численных методов интегрирования, в частности конечно-разностных методов.
Общая идея численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ)
заключается в том, что производится дискретизация независимой переменной – времени на интервале и замена ее рядом значений (принцип ). Расстояние между двумя соседними значениями называется шагом интегрирования. В частном случае он может быть постоянным на всем заданном интервале изменения переменной . В результате, системе дифференциальных уравнений тем или иным способом ставится в соответствие система конечно- разностных уравнений
,
где – некоторая вектор-функция, определяемая способом построения метода;
– количество предыдущих точек, которые используются в методе интегрирования.
Процедура интегрирования предполагает решение полученной системы конечно-разностных уравнений для фиксированных моментов времени , начиная с момента , для которого определено начальное состояние исследуемой системы . Соответственно, решение получается в виде совокупности значений для заданных моментов времени.
В теории численных методов разработано большое число различных методов интегрирования, каждому из которых соответствует своя система конечно-разностных уравнений.
Общее представление о них можно получить, разделив их на группы, например, на основе следующей классификации:
методы явные и неявные;
методы одношаговые и многошаговые;
методы первого, второго и т.д. порядков;
методы с постоянным шагом и методы с автоматическим выбором шага.
Достарыңызбен бөлісу: |
