Решение. Рассмотрим окружность с центром в и радиусом m, которая проходит через точки а и с (см рис. ). Рис. Из равенства углов аbс и аdс
жүктеу/скачать 448 Kb.
|
| Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)
2.1. Какие значения может принимать выражение , если , , , ? Ответ: . Решение. Запишем данные равенства в другом виде: , , . Из условия задачи следует, что все выражения под знаком синуса находятся в первой четверти. На отрезке функция синус возрастает, следовательно: , , . Сложив эти равенства почленно, получим: , то есть . Отметим, что из полученных равенств следует, что x = y = z = . Рис. 2 2.2. Может ли квадрат являться разверткой треугольной пирамиды? Ответ: может. Решение. Рассмотрим квадрат AD1D2D3, в котором точки В и С – середины сторон D1D2 и D2D3 соответственно (см. рис. 2). Тогда, при его сгибании по прямым АВ, ВС и АС точки D1, D2 и D3 совместятся в одной точке D, образуя пирамиду ABCD. Осталось показать, что пирамида будет «невырожденной», то есть точки А, В, С и D не окажутся в одной плоскости. Для этого достаточно, чтобы выполнялось условие существования трехгранного угла при вершине А, то есть должно выполняться неравенство: ÐВАС < ÐВАD1 + ÐCАD3 (угол ВАС – наибольший из трех углов). В справедливости этого неравенства можно убедиться разными способами. Первый способ. В треугольнике AD1D2: АВ – медиана, AD1 – высота, биссектриса, проведенная из вершины А, лежит между ними, поэтому ÐВАD1 > ÐВАD2. Аналогично, ÐCАD3 > ÐCАD2. Сложив почленно эти неравенства, получим требуемое. Второй способ. Пусть сторона квадрата равна 2, тогда ÐВАD1 = ÐCАD3 = . Пусть K – середина ВС, тогда ÐВАС = 2 = 2 = 2 . Так как функция возрастает на интервале , то требуемое неравенство выполняется. Также можно было рассуждать в обратном порядке: рассмотреть пирамиду ABCD, у которой основанием является прямоугольный треугольник BCD: BD = CD = 1; BC = , а боковые ребра: AB = AC = ; AD = 2. Затем объяснить, почему такая пирамида существует и как его разрезать, чтобы получить квадрат. Отметим, что других квадратных разверток тетраэдра не существует, но доказать это не просто. Рис. 3 2.3. Из клетчатой доски размером 8´8 выпилили 8 прямоугольников размером 2´1. После этого из оставшейся части требуется выпилить квадрат размером 2´2. Обязательно ли это удастся? жүктеу/скачать 448 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|