Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика


Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика



Pdf көрінісі
бет13/527
Дата14.10.2023
өлшемі12,2 Mb.
#114644
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   527
Байланысты:
TaimanovMatem

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
11 
ГРНТИ 27.17.23 
WEAK LEIBNIZ ALGEBRAS AND TRANSPOSED POISSON ALGEBRAS 
DZHUMADILDAEV A.S. 
Kazakh-British Technical University, Almaty, Kazakhstan 
 
A weak Leibniz 
algebra is defined by the following polynomial identities 
[𝑎, 𝑏]𝑐 = 2𝑎(𝑏𝑐) − 2𝑏(𝑎𝑐), 𝑎[𝑏, 𝑐] = 2(𝑎, 𝑏)𝑐 − 2(𝑎, 𝑐)𝑏. 
Example. 
Any two-sided Leibniz algebra is weak Leibniz. In particular, any Lie algebra 
is weak Leibniz. 
Example. 
Let 
𝜖
i
∈ 𝐾, 𝑓𝑜𝑟 𝑖 ∈ 𝐼, 
and 
𝐴
G
is an algebra with base 
𝑒
i
, 𝑖 ∈ ℤ

and 
multiplication 
𝑒
i
𝑒

= (𝑖 − 𝑗)𝑒
i+j 
+ ∑
s∈I 
𝜖
s
𝑒
i+j+s

Then the algebra 
𝐴
G
is non-Lie simple weak Leibniz algebra. Note that any simple Leibniz 
algebra is Lie. 
An algebra with two binary operations 
𝐴 = (𝐴,∘,•), 
is called 
transposed Poisson 
(see 
[1]), if 
(𝐴,∘) 
is Lie, 
(𝐴,•) 
is associative commutative and associative part acts on Lie part as 1
/
2- 
derivation, 
2𝑎 • (𝑏 ∘ 𝑐) = (𝑎 • 𝑏) ∘ 𝑐 + 𝑏 • (𝑎 ∘ 𝑐), 
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴. 
Theorem 1. 
(𝑝 ≠ 2) 
If A is weak Leibniz, then the algebra 
(𝐴,∘,•) 
is transposed Poisson, 
where 
𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑎𝑏 − 𝑏𝑎, 𝑎 • 𝑏 = 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎
. Conversely, if 
(𝐴,∘,•) 
is transposed Poisson, then the 
algebra A with multiplication 
𝑎𝑏 = 1/2(𝑎 ∘ 𝑏 + 𝑏 ∘ 𝑎) 
is weak Leibniz. 
An algebra 
(𝐴,∙,•) 
is called 
Novikov-Poisson, 
if 
I.
(𝐴,∙) 
is (left) Novikov, for any 
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, 
(𝑎 ∙ 𝑏 − 𝑏 ∙ 𝑎) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐) − 𝑏 ∙ (𝑎 ∙ 𝑐), (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = (𝑎 ∙ 𝑐) ∙ 𝑏, 
II.
(𝐴,•) 
is associative commutative, such that for any 
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, 
𝑎 • (𝑏 ∙ 𝑐) = (𝑎 • 𝑏) ∙ 𝑐, 𝑎 ∙ (𝑏 • 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏) • 𝑐 + 𝑏 • (𝑎 ∙ 𝑐), 
Proposition. 
Let 
𝐴 = (𝐴,∙,•) 
be Novikov-Poisson algebra. Then for any 
𝑢, 𝑣 ∈ 𝐴 
the 
algebra 
𝐴
u,v
= (𝐴,∘
u
, ,•
v
)
, where 
 
𝑎 ∘
u
𝑣 = 𝑢 • (𝑎 ∙ 𝑏 − 𝑏 ∙ 𝑎), 𝑎 •
v
𝑏 = 𝑣 • (𝑎 • 𝑏), 
is transposed Posson and the algebra 
𝐴
u,v
under multiplication 
𝑎𝑏 = 1/2(𝑎 ∘
u
𝑏 + 𝑎 •
v
𝑏) 
is 
weak Leibniz. 
A weak Leibniz algebra 
𝐴 = (𝐴,∙) 
is called 
special, 
if there exists transposed Poisson 
algebra 
𝐵
u,v
constructed by Novikov-Poisson algebra 
𝐵 
for some 
𝑢, 𝑣 ∈ 𝐵, 
such that 
𝐴 
is a 
subalgebra of 
𝐵
u,v





Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   527




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет