Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика:
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл
249
6.
Полные алгебраические типы
p
(
x
)
S
(
A
) это в точности те типы, которые имеют
вид tp(
a/A
), где
a
– алгебраический элемент над
A
.
Степенью
элемента
a
над
A
,
обозначается deg(
a/A
), называется степень типа tp(
a/A
).
В настоящей работе мы рассматриваем различные модификации алгебраического
замыкания, относящиеся к множествам решений формул, ограниченным по мощности
некоторым натуральным числом и заданным множеством формул.
Определение
[4]. 1. Для
n
ω
\{0} и множества
A
элемент
b
называется
n-
алгебраическим
над
A
, если
a
acl(
A
) и это свидетельствуется формулой
θ
(
x, a
), для
a
A
,
имеющей не более
n
решений.
2.
Множество всех
n
-алгебраических элементов над
A
обозначается через acl
n
(
A
).
3.
Если
A
= acl
n
(
A
), то множество
A
называется
n-алгебраически
замкнутым.
4.
Тип
p
называется
n-алгебраическим
, если
p
имеет в любой модели не более чем
n
реализаций, т.е. deg(
p
)
≤ n
.
5.
Полные
n
-алгебраические типы
p
(
x
)
S
(
A
) это в точности те типы, которые
имеют вид tp(
a/A
), где
a
–
n
-алгебраический элемент над
A
, т.е. элемент с условием
deg(
a/A
)
≤ n
. Здесь deg(
a/A
) =k
≤ n
определяет
n-степень
типа tp(
a/A
) и элемента
a
над
A
.
6.
Если acl(
A
) = acl
n
(
A
), то минимальное такое значение
n
называется
степенью
алгебраизации
над множеством
A
и обозначается через deg
acl
(
A
)
.
Если же такое значение
n
не существует, то полагаем deg
acl
(
A
) =
. Супремум значений deg
acl
(
A
) по всем
множествам
A
данной теории
T
обозначается через deg
acl
(
T
) и называется
степенью
алгебраизации
теории
T
.
Напомним следующее алгебраическое понятие [5], которое позволяет связать
множества реализаций типов с группой автоморфизмов данной насыщенной структуры.
Определение.
Для множества
A
и элемента
a A-орбитой
Orb
A
(a) элемента
a
называется множество всех элементов
b
данной структуры, связаных с
a
некоторым
A
-
автоморфизмом.
Следующее предложение дает алгебраическую характеризацию для
n
-
алгебраических типов.
Предложение 1
[4].
Тип p является n-алгебраическим над A тогда и только тогда,
когда любая/некоторая
(
|A|+|T|
)
-насыщенная модель M, содержащая A, имеет конечное
число A-орбит O, состоящих из реализаций типа p, все эти орбиты конечны, и, более
того, объединение
O имеет не более n-элементов. Если p – полный тип, то такая A-
орбита единственна в M.
Аналогично лемме 6.2 из [1] доказывается следующее:
Предложение 2.
1.
A
acl
m
(
A
)
acl
n
(
A
)
acl(
A
)
для любых m
<
n
.
2.
Если A
B и n
1, то acl
n
(
A
)
acl
n
(
B
).
3.
Если множество A определимо
(
алгебраически
)
замкнуто
,
то A
= dcl(
A
) (
A
=
acl(
A
)).
4.
Если множество A n-алгебраически замкнуто
,
то A
= acl(
A
)
тогда и только
тогда, когда любая конечная орбита над A имеет не более чем n элементов.
5.
Кортеж b определен
(
является алгебраическим
)
над A тогда и только тогда,
когда b
dcl(A) (
b
acl(A)).
Замечание
[4]. По определению acl
1
(
A
) = dcl(
A
) для любого множества
A.
При
условии существования cl(
A
) для любого множества
A
теории
T
, получаем минимальное
значение для степени алгебраизации теории
T
: deg
acl
(
T
) = 1.
Следующая теорема описывает все возможные значения для степени
алгебраизации совместной теории.
Теорема
[4]. 1.
Для любой совместной теории T,
deg
acl
(
T
) ((ω + 1)\{0})
{ }.
Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика:
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл
250
n
n
deg
acl
(
T
λ
) = λ.
2.
Для любого
((ω + 1)\{0}) { }
существует теория T
λ
с условием
Следующие примеры иллюстрируют различные степени алгебраизации теорий,
описанные в теореме.
Примеры.
1. Рассмотрим дерево
D
n
[6], у которого каждая вершина имеет
фиксированную степень
n
ω. Обозначим через
T
n
теорию Th(
D
n
).
Если
n =
0, то дерево
D
n
одноэлементно, acl(
A
) = dcl(
A
) =
D
n
для любого
A
D
n
,
следовательно, deg
acl
(
T
0
) = 1.
Если
n =
1, то дерево
D
n
двухэлементно, acl(
A
) = acl
2
(
A
) =
D
n
для любого
A
D
n
,
следовательно, deg
acl
(
T
1
) = 2.
Если
n
2, то дерево
D
n
A
) = acl
2
(
A
) =
D
2
для любого
непустого
A
D
2
, следовательно, deg
acl
(
T
2
) = 2. Если же
n
3, то при сохранении
A
) =
D
n
для любого непустого
A
D
n
, acl
m
(
A
) конечно для любого конечного
A
и
оператор acl
m
не обладает свойством транзитивности. Тем самым, при
n
3, deg
acl
(
T
n
) =
.
2.
Рассмотрим граф Г
n
=
{
a
,
b
1
, ,
b
n
}
,
{
(
a
,
b
1
), ,(
a
,
b
n
)
}
,
n
ω\{0}. Поскольку
имеется
n-
элементная орбита над
и над {
a
} и эта орбита имеет максимальную
мощность среди всех орбит над подмножествами носителя Г
n
, то имеет deg
acl
(Th(Г
n
)) =
n.
Беря дизъюнктное объединение графов Г
n
по всем натуральным
n
, получаем граф
, для
которого deg
acl
(Th(
)) =
.
3.
Подходящим обогащением
M
графа Г, который получается бесконечным
тиражированием графов
, реализуется значение deg
acl
(Th(
M
)) = ω.
4.
Если
T –
теория отношения эквивалентности
E
, то deg
acl
(
T
) =
n
тогда и только
тогда, когда в моделях теории
T
имеются классы эквивалентности мощности
n
или
найдутся конечные
E-
классы одинаковой мощности
k
с условием суммарной мощности
n
по всем
E-
классам мощности
k
, а
E-
классы большей конечной мощности или большей
суммарной мощности с одинаковыми мощностями
k
для
E-
классов отсутствуют.
Равенство deg
acl
(
T
) =
для теории
T
отношения эквивалентности
E
означает, что имеются
E-
классы как угодно большой конечной мощности.
5.
Следуя [7], замечаем, что для любой линейно упорядоченной структуры
M
и
любого подмножества
A
M,
acl(
A
) = dcl(
A
), откуда получаем deg
acl
(Th(
M
)) = 1. Если же
структура
M
циклически упорядочена, то acl(
A
) = dcl(
A
) для любого непустого
подмножества
A
M
самым, в зависимости от циклически упорядоченной структуры
M
значение deg
acl
(Th(
M
))
может быть произвольным ненулевым натуральным числом.
6.
Если
T
– теория алгебраически замкнутого поля ненулевой характеристики, то
корни многочленов могут образовывать как угодно большие орбиты над множествами
коэффициентов этих многочленов. Таким образом, deg
acl
(
T
) =
.
Следующие понятия обобщают приведенные выше понятия, относящиеся к
n-
алгебраичности, применительно к данному множеству формул Δ.
Определение.
1. Для множества формул Δ, значения
n
ω
\{0} и множества
A
элемент
b
называется (Δ,
n
)
-алгебраическим
над
A
, если
a
acl(
A
) и это свидетельствуется
формулой
θ
(
x, a
), для
a A
и
θ
(
x,
y
), имеющей не более
n
решений.
2.
Множество всех (Δ,
n
)
-
алгебраических элементов над
A
обозначается через
acl
Δ
(
A
).
3.
Если
A
= acl
Δ
(
A
), то множество
A
называется (Δ,
n
)
-алгебраически
замкнутым.
|