Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика



Pdf көрінісі
бет334/527
Дата14.10.2023
өлшемі12,2 Mb.
#114644
1   ...   330   331   332   333   334   335   336   337   ...   527
Байланысты:
TaimanovMatem

Постановка задачи. 
Полоса с прямоугольным поперечным сечением конечных 
размеров содержит внутри себя нецентральное прямоугольное отверстие (рисунок 1). Она 
с момента времени 

= 0 подвергается динамическому воздействию в точках границы 
x
1
= 0,

x
2

прямоугольной области, которое сводится к заданию на этой границе 
вектора скорости смешения. Задача заключается в определении внутри прямоугольной 
области с нецентральным прямоугольным отверстием полей напряжений и скоростей, 
вызванных фронтами падающих и многократно дифрагированных упругих волн в момент 
времени 

> 0. 
В условиях плоской деформации волновой процесс во внутренних точках полосы с 
нецентральным прямоугольным отверстием описывается системой дифференциальных 
уравнений гиперболического типа, содержащей в качестве неизвестных безразмерные 
напряжения 
p

q
, , скорости перемещений v
1
, v
2
[1]: 
v
1,
t
– p
,
1
– q 
,
1

,
2
= 0 ; v
2,
t
– p 
,
2
+ q 
,
2

,
1
= 0 ; 
(1) 
2
(
2
– 1 ) 
-1

,
t
– v
1
,1
– v
2
,
2
= 0 ; 
2

,
t
– v
1
,1
+ v
2
,
2
= 0 ; 

, t 
– v
1 , 2 
– v
2 , 1 
= 0 . 
Безразмерные переменные введены по формулам [1]: 
t

tc


x

x
i

v = 
1
u
i

(

=1, 2 ) 

i
 






11 

 
22 

2
 
c
2


11 
 
22 


 
c
2
(2) 
 

12 

 
c
2
 

c


c

где b – характерный размер; –плотность материала; 
c
1

c
2
-скорости волн расширения и 
сдвига; 
11
,
22

12
- компоненты тензора напряжений; - постоянный параметр. В дальнейшем 
черта над безразмерными параметрами опускается. 
Краевая задача, формулируемая для разрешающих уравнений (1), предполагает, 
что в начальный момент времени 

= 0 тело находится в состоянии покоя 
v

(
x
1

x

;0) = v

(
x
1

x

;0) = 
p
(
x
1

x

; 0) = 
q
(
x
1

x

;0) = 
 
(
x
1

x

;0) = 0 
(3) 
В любой другой момент времени t>0 на лицевой границе 
прямоугольной области прикладывается внешняя нагрузка 
x

= 0, 
x




Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
309 




x
2



х


х




х


х


х





 
v
1


(
t
), v
2
= 0 
при 
x

= 0, – 

x
2
L

(4) 
Противоположная сторона x
1

l
,

x
2

считается жестко закрепленной 
v

= v

= 0 
при 
x




x

L

(5) 
Боковые стороны 
x
2
свободными от напряжений 

L
, 0
x


прямоугольной области предполагаются 


= 0, 
 
= 0 при 
x
2

L
, 0
x
1
l

(6) 
Контур прямоугольного отверстия предполагается свободными от напряжений 



= 0, 
 
= 0 при 
x
0

x
1
и 


x
0



x
1

(7) 









= 0, 
 
= 0 при 
x
0

x
1
и 


x
0



x
1

(8) 







Здесь 

(


–заданная функция, изменяющаяся во времени по закону непрерывно 
дифференцируемой функции, которая в начале монотонно возрастает до максимального 
значения f(t
0
), а затем монотонно убывает; 
x
0

x
1

x
0

1
постоянные числа, 
определяющие размеры отверстия. Таким образом необходимо найти решение 
поставленной задачи при сформулированных условиях (3) – (8). 
Рисунок 1 – Исследуемая область 
Методы. 
Поставленная задача решена методом пространственных характеристик, 
подробный алгоритм численной реализации которого изложен в [1]. Особенностью 
рассмотренного тела с нецентральным прямоугольным отверстием является то, что в 



Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
310 
угловых точках прямоугольного отверстия (рисунок 1) нарушается «привычная» для 
динамических задач гладкость функций, т.е. в этих точках первые и вторые производные 
искомых функций терпят разрыв первого рода. Именно на такие особенности не было 
распространено или вообще, как нам известно, не было метода решения таких задач. В 
дополнение к известным соотношениям [1] были получены конечно-разностные 
соотношения для нахождения искомых функций в особых угловых точках 
прямоугольного отверстия [2]. 
На границах прямоугольного отверстия PG, GS , QS, PQ необходимо использовать 
конечно–разностные уравнения, подобные уравнениям на границах NK, MN, MR, RK 
прямоугольной области, полученные в [1] и граничные условия (7)– (8) соответственно. 
Таким образом построен численный алгоритм решения поставленной 
нестационарной задачи теории упругости в особых точках, в которых входящие 
параметры терпят разрыв первого рода. На основе этого численного алгоритма создана 
единая программа расчетов на языке Фортран для персональных компьютеров. 


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   330   331   332   333   334   335   336   337   ...   527




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет