Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика
Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика
жүктеу/скачать 12,2 Mb. Pdf көрінісі
|
TaimanovMatem
| Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика:
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 431 2𝑥 { 𝑡𝑔(𝑥 + 𝑦) = 1 − 𝑎 2 , 𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝑦 = 𝑎 2 𝑡𝑔𝑥 + 𝑡𝑔𝑦 2𝑥 𝑡𝑔𝑥 + 𝑡𝑔𝑦 2𝑥 = {1 − 𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝑦 = 1 − 𝑎 2 , 𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝑦 = 𝑎 2 теңдеудің екі жағын (1 − 𝑎 2 )˗ға бөлеміз, сонда келесі теңдеуді 1 − 𝑎 2 1 − 𝑎 2 аламыз: 𝑡𝑔𝑥 + 𝑡𝑔𝑦 = 2𝑥 . Берілген жүйеміз мынадай түрге келеді: 𝑡𝑔𝑥 + 𝑡𝑔𝑦 = 2𝑥, { 𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝑦 = 𝑎 2 бұдан 𝑡𝑔𝑥 = 𝑎, 𝑡𝑔𝑦 = 𝑎 болады. { 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍, жүйенің теңдеулерін мүшелеп қосамыз. Сонда 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎 + 𝜋𝑚, 𝑚𝜖𝑍 𝑥 + 𝑦 = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎 + 𝜋(𝑛 + 𝑚) болады. Осы ӛрнекті берілген жүйенің бірінші теңдеуіне қоямыз. Сонда 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎 + 𝜋(𝑛 + 𝑚) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2x 1–a 2 теңдеуін алдық . Есептің шарты бойынша |𝑎| < 1 болғандықтан, — π < 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎 < 4 π π | ∙ 2 кӛбейтеміз, 4 π 2x π — 2 < 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎 < 2 дәл осы аралықта 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1–a 2 бұрышы да болады. Демек, − 2 < 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2x 1–a 2 < π ,ендеше 𝑛 + 𝑚 = 0 болғанда ғана орындалады, яғни 𝑚 = −𝑛 . 2 Жауабы: 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎 + 𝜋𝑛, { 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎 − 𝜋𝑛 𝑛𝜖𝑍 . 5-мысал. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√𝑥 2 + 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√𝑥 2 + 𝑥 + 1 = π теңдеуін шешіңіз [2]. 2 Шешуі . 𝑥 2 + 𝑥 = 𝑘 белгілеуін енгізейік. Сонда берілген теңдеу тӛмендегідей түрге келеді: 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√𝑘 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√𝑘 + 1 = π . 2 𝑧 = √𝑘, 𝑧 = √𝑘 + 1, 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧 монотонды ӛспелі функциялар болып табылады. Бұдан 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√𝑘 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√𝑘 + 1 монотонды ӛспелі функция болады. Егер функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) монотонды ӛспелі болса, онда 𝑓(𝑥) = 𝑐 (𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) теңдеуінің бірден кем емес шешімі бар. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√𝑘 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√𝑘 + 1 = π теңдеуінің кем дегенде бір түбірі бар. 𝑘 = 0 2 түбірі осы теңдеудің шешімі екендігі анық. Онда 𝑥 2 + 𝑥 = 0 𝑥 1 = 0 және 𝑥 2 = −1 Жауабы : −1; 0. 6-мысал. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 √3 теңдеуін шешіңіз [3]. 2 Шешуі . [−1; 1] кесіндісінде орындалатын 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 = π 2 тепе-теңдігін қолданамыз. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 √3 = π теңдігін ескеріп мынадай жүйеге келеміз. 2 6 −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝜋 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 = , 6 𝜋 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 = ⎩ 2 −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, { 𝜋 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 = 3 |