3. Бірқалыпты жинақталатын қатарлардың қасиеттері. 1) Егер қатары жиынында бірқалыпты жинақталса, ал функциясы осы жиында шектелген болса, онда қатары жиынында бірқалыпты жинақталады.
2) Егер функциялық қатары а) мүшелері жиынында үзіліссіз б) қатар жиынында функциясына бірқалыпты жинақталса, онда сол жиынында үзіліссіз функция болады.
3) Айталық функциялары жиынында үзіліссіз болсын және
(8)
қатары осы жиында бірқалыпты жинақталып, оның қосындысы болсын, онда
қатары да жиынынның ақырлы аралығында бірқалыпты жинақталады және бұл қатардың қосындысы бастапқы қатарлың қосындысының аралығындағы интегралына тең болады:
,
яғни қатарын мүшелеп интегралдауға болады.
Айталық функциялары жиынынның аралығында анықталсын және осы кесіндіде туындылары бар болсын.
Егер бұл аралықта қатары бірқалыпты жинақталса, онда бұл қатардың қосындысы бастапқы қатардың қосындысынан алынған туындыға тең болады:
,
яғни қатарын мүшелеп дифференциалдауға болады.
4. Дәрежелік қатарлар Жинақталу радиусы және жинақталу интервалы. (9)
түріндегі функциялық қатар дәрежелік қатар деп аталады.
Егер болса, онда
(10)
- нақты сандары қатардың коэффициенттері.
Абель теоремасы(дәрежелік қатардың негізгі қасиеті). Егер (9) немесе (10) қатарлары нүктесінде жинақталса, онда ол қатарлар -тің
, егерболса (11)
теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндерінде абсолют жинақталады.
Салдар 1. Егер дәрежелік қатар нүктесінде жинақталмаса, онда ол (11) шартын қанағаттандыратын кез келген нүктесінде жинақталмайды.
Салдар 2. Кез келген дәрежелік қатар үшін центрі нүктесінде орналасқан , яғни интервалы немесе жинақталу интервалы болады. Бұл интервалдың ішінде дәрежелік қатар абсолютті жинақталады, ал сыртында жинақталмайды.
саны – жинақталу интервалының жартысы- дәрежелік қатардың жинақталу радиусы деп аталады.
Дербес жағдайларда жинақталу радиусы не нөлге, не шексіздікке тең болуы мүмкін. Егер болса, онда дәрежелік қатар тек болғанда ғана жинақталады, ал егер болса, онда қатар бүкіл сан осінің бойында жинақталады.
Теорема. Кез келген (9) дәрежелік қатар үшін жинақталу радиусы бар болады, және де, егер болса, онда нүктесінде абсолютті жинақталады.
