Еселі интегралдардың Қолданулары. ҚИсық сызықты интегралдар
жүктеу/скачать 0,83 Mb.
|
Еселі интегралдарды олданулары. Исы сызы ты интегралдар
- Бұл бет үшін навигация:
- 6. Екі еселі интегралдың физикада қолданылуы
| 5. Беттің ауданын есептеу
Егер жылтыр бет теңдеуі арқылы берілсе, онда беттің ауданы келесі формула бойынша есептеледі: , мұнда берілген беттің жазықтығындағы проекциясы. Осылайша, егер бет теңдеуі арқылы берілсе, онда: , мұнда берілген беттің жазықтығындағы проекциясы. Егер беттің теңдеуі түрінде бнрілсе, онда: , мұнда берілген беттің жазықтығындағы проекциясы. 6. Екі еселі интегралдың физикада қолданылуы Егер пластинка жазықтығының облысын алып жатса және оның беттік тығыздығы айнымалы болса, онда пластинканың массасы екі еселі интеграл арқылы былай өрнектеледі: . Пластинканың және осьтеріне қатысты статикалық моменті келесі формулалар бойынша табылады: , . Пластинка біртекті болғанда . Пластиканың ауырлық центрінің координаталарын келесі формулалар арқылы есептеуге болады: , мұнда - пластинканың массасы, ал , - оның координаталар осьтеріне қатысты статикалық моменттері. Пластинка біртекті болса, онда ол формулалар келесі түрде болады: , мұнда - облысының ауданы. Пластинканың және осьтеріне қатысты инерция моменттері келесі формулалар бойынша табылады: ,, ал координаталар бас нүктесіне қатысты инерция моменті келесі формула бойынша есептеледі: . Бұл формулаларда деп алсақ, жазық фигураның геометриялық инерция моменттерін есептеуге арналған формулаларды аламыз. Үш еселі интеграл Айталық, функциясы шектелген тұйық кеңістіктік облысында анықталған болсын. облысын кез келген әдіспен диаметрлері және көлемдері болатын - элементар облыстарға бөлшектейік. Әрбір элементар облыста кез келген нүктесін таңдап алайық және функцияның нүктесіндегі мәнін осы облыстың көлеміне көбейтейік. функциясы үшін облысы бойынша интегралдық қосындысы деп келесі түрдегі қосындыны айтады: . Интегралдық қосындының элементар облыстарының диаметрлерінің ең үлкені нөлге ұмтылған кездегі шегін функциясынан облысы бойынша алынған үш еселі интеграл деп атайды және ол келесі түрде белгіленеді: . Бұл түрдегі ақырлы шек тек қана шектелген функция үшін ғана бар болады.. Егер облысында болса, онда үш еселі интегралы облысын алып жататын және тығыздығы айнымалы болатын дененің массасы болады (үш кеселі интегралдың физикалық мағнасы). Үш еселі интегралдың негізгі қасиеттері екі еселі интегралдың қасиеттеріне сәйкес болады. Декарттық координаталарда үш еселі интеграл келесі түрде болады: . Айталық, интегралдау облысы , (мұнда, - үзіліссіз функциялар) теңсіздіктерімен анықталсын. Сонда функциясынан облысы бойынша алынған үш еселі интеграл келесі формуланың көмегімен есептеледі: . Егер үш еселі интегралды есептегенде айнымалылларынан осы айнымалылармен , өрнектері арқылы байланысатын айнымалыларына көшу керек болса (мұнда , , - өздерінің бірінші ретті дербес туындыларымен бірге үзіліссіз функциялар), кеңістігінің облысы мен кеңістігінің облысының нүктелерінің арасында өзара бірмәнді және екі жаққа да үзіліссіз сәйкестік орнатылады және облысында якобианы нөлге айналмайды: , онда келесі формуланы пайдалану керек.: Дербес жағдайда, декарттық координаталардан осы координаталармен , , () өрнектері арқылы байланысатын цилиндрлік координаталарға көшу кезінде түрлендіру якобианы болады және үш еселі интегралды цилиндрлік координаталарға түрлендіру формуласы келесі түрде болады (17-сурет): декарттық координаталардан осы координаталармен , , () өрнектері арқылы байланысатын сфералық координаталарға көшу кезінде түрлендіру якобианы болады және үш еселі интегралды сфералық координаталарға түрлендіру формуласы келесі түрде болады (18-сурет): 17-сурет 18-сурет жүктеу/скачать 0,83 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|