ПОЧТИ МНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВЧАСТНЫХ

20  Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(6) 2011 

 





















































!

,

,

,

,

,

,

,

1

,

,

,

0

0

0

0

0

1

0

0

k

t

t

P

ψ

t

t

Х

t

t

P

ψ

t

t

Х

ψ

t

t

Х

k

k











 

При  условии 







N

где

N

t

t

0

  достаточное  большое  положительное  число,  получим 

можарантный  ряд   

 

PN

k

k

e

k

N

P

N

P

PN

















!

!

2

1

2

2

 

Отсюда  заключаем,  что  матричный  ряд 

 

4 ,  представляющий  собой  матрицент 

уравнения 

 

1 , сходится абсолютно и равномерно при  

N

t

t





0

. 

Предположим, что матрицант 









,

,

,

0

t

t

X

 допускает расцепление в виде   









Х

Х

Х

 

где 





Х

и

Х

 являются частными решениями векторно-матричного аналога  уравнения 

 

1 , удовлетворяющие условиями   

    

















;

,

,

,

;

,

,

,

0

0

0

0

0

0

t

t

при

Ве

ψ

t

t

Х

t

t

при

Ве

ψ

t

t

Х

t

t

γ

t

t

γ























                                         

 

6  

 

с постоянными 

.

0

,

1







B

 

Составим матрицу  

                      





































;

,

,

,

;

,

,

,

,

,

,

0

0

0

0

0

t

t

при

ψ

t

t

Х

t

t

при

ψ

t

t

Х

ψ

t

t

X

                      

 

7  

Кроме того, положим, что  

    









Å

t

t

X

t

t

X





















,

,

,

0

,

,

,

0

,                             

 

8  

где 



Å

  единичная  матрица  размерности,  .

n   Очевидно,  что  матрица 



Х

    при 

0

t

t



 

удовлетворяет уравнению 

 

1 . 

При выполнении условий 

 

7  и 

 

8  векторно-матричное уравнение 

 

1  называется 

некритическим  относительно  класса 

 

δ

Н

n

,



.  Объединив  условия 

 

7 , 

 

8 ,  можно 

написать условия некритичности более компактно следующим образом  

              





,

,

,

,

0

0

0

t

t

при

Ве

ψ

t

t

X

t

t

γ











                         

 

9  

                                     









.

,

,

,

0

,

,

,

0

E

ψ

t

t

X

ψ

t

t

X













                

Замечание   I. Для линейной неоднородной системы задача Коши 

                                        









 

10

,

,

,

,

,









t

W

x

t

P

Dx





 

                                   

















,

,

,

0

0

x

t

x



 

 где 





















k

m

t

R

C

t

W







1

1

,

1

,

0

,

,

,

,









,  имеет  решение,  которое  представляется 

формулой  











 











ψ

t

t

ξ

ψ

t

t

λ

x

ψ

t

t

Х

ψ

t

x

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0

0

0

0

0

 











 





ds

ψ

t

s

ξ

ψ

t

s

λ

S

W

ψ

t

s

X

t

t

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0







. 

21  Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(6) 2011 

 

Замечание   2.  Если матрица 





P

t

P







,

,

 постоянна то из 

 

4  следует что 









0

,

,

,

0

t

t

p

e

t

t

X









 

и  некритичность  уравнения 

 

1   означает,  что  все  собственные  значения  матрицы 

P

 

имеют отличные от нуля вещественные части  

 





.

,

,

1

0

Re

n

m

m

i

P

i











 

 

Рассмотрим  некоторые  свойства  матрицанта  линейного  уравнения 

 

1   при 

выполнении условий 

 

 

2

1

S

и

S

.  

Лемма  1.    Если  матрицант  уравнения 

 

1   удовлетворяет  условию  некритичности 

   

,

9

,

8

то при 

0

4

0















B

 имеет место оценка  

                             

 

11

0

2

t

t

e

B

X

X





























 

для  всех 

k

m

R









,

    где 

,

2

,

2

1

1

2

















B

L

P

B

B

а норма левой части 

 

11   означает 

сумму норм производных матрицы 



Х

 по всем координатам вектора 

.

,





 

Теорема  1.  Если  линейная  система 

 

1   некритическая  и  выполнены  условия  

 

 

2

1

S

и

S

 то для всех 

   

.

,

0

,

,

0













 

Система 

 

10  допускает единственное почти многопериодическое по части переменных 

решение 





ψ

t

f

,

,



 из класса 

 

δ

Н

n

,



. 

 

ЛИТЕРАТУРА 

1.

 

Зенкович О. Метод конечных элементов в технике. М. Мир, 1975.-541с. 

2.

 

Тихонов  А.Н.,  Самерский  А.А.  Уравнения  математической  физики.-М.,  1972г.-

512с. 

3.

 

Пискунов  М.С.  Диффепенциельное  и  интегральное  начисления-М:  физматиз. 

1964.-544с. 

 

РЕЗЮМЕ 

Получены  достаточные  условия  дифференциальных  уравнений  решения  систем 

уравнений. 

 

ТҮЙІНДЕМЕ 

Белгісіз  бір  бос  бӛлшегі  бірдей  елеулі  сызықсыз  бірінші  ретті  дербес  туындылы 

дифференциалдық  теңдеулер  жүйесінің  кӛп  периодты  дерлік  шешімі  бір  және  оның 

жалғыз болуының жеткілікті шарты алынған. 

 

 

 

 

 

 

22  Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(6) 2011 

 

 

ПОЧТИ МНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ РЕШЕНИЙ 

СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 

 

Жакашбаев Б.Ж. – к.ф.-м.н., доцент, Зейнел Ғ. – магистрант (г.Алматы, КазгосженПУ) 

 

&1. Рассмотрим некоторые вспомогательное понятия и предложения. говорят, что 

последовательность   



 











,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

0













t

b

t

b

t

b

n

                                        

 

1  

функций, заданных на множестве 

m

R

N





1

, равномерно сходится к функций 









,

,

t

b

, 

определенной   на том же множестве, если  

 

 

      

b

b

b

b

k

m

R

i

i















1

sup

,

0

lim

                                            

 

2  

Для  того  чтобы  последовательность 

 

1   равномерно  сходилось  достаточно 

выполнения неравенств 

                            

i

i

a

b

b







1

                                   







,

2

,

1



i

 

где числа 

i

a  образует сходящих ряд. 

Приведем  без  доказательства  основную  теорему  Каччиололи  –  Банаха  (принцип 

сжатых отображений).  

Теорема. Пусть имеется непустое семейство функций 

 

b определенных на одном 

и том же множестве 

N

обладающих свойством; 

1.

 

Каждая функция  b ограничена 

b

b





 

2.

 

Предел равномерно сходящей последовательности функций семейства также есть 

функция этого семейства.  

3.

 

На  данном  семействе 

 

b   определена  оператор 

 

,

b

A

  который  каждую  функцию 

этого семейства переводит в функцию того же семейства.  

4.

 

Для любой пары 

2

1

b

и

b

семейства  

                

   

,

2

1

2

1

b

b

b

A

b

A









                                                 

 

3  

где 

1

0







. 

Тогда уравнение  

                        

 

b

A

b



 

имеет единственное решение среди функций 

 

b . 

&2.  Линейная векторно-матричное линейное уравнение  

                                  





x

t

P

Dx





,

,



                                               

 

4  

где 





n

x

вектор 









,

,

t

P

- квадратная матрица размерности 

n

n



. 

Матирцант уравнение  

 

4 , при  

0

t

t



 обращающийся в единичную 

n

n



 матрицу 

Е

, будем искать как решение матричного интегрального уравнения  







 









 













t

t

ds

t

s

t

s

s

t

t

s

t

s

S

P

E

t

t

X

0

.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0

0







































 

5  

Пусть матрица 









,

,

t

P

 удовлетворяет условиям 

 

:

2

S

 

4)

 

ограничена  и равномерно непрерывна при всех  





k

m

R

t







1

,

,





. 

5)

 

имеет ограниченные и равномерно непрерывные частные производные первого 

порядка по координатам векторов  

;

,







R

R

m





 

23  Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(6) 2011 

 

6)

 

относительно 



,

t

 почти много периодичны с 





вектор – почти периодом 

 

v

,



 

равномерно по 





R



. 

При выполнение условии 

 

2

S

 имеют место неравенства  







 







,

,

,

,

,

,

,

,

1

0

































P

t

P

t

P

P

t

P

            

 

6  

где 



1

0

, P

P

 положительные постоянные. 

Матирцант  









,

,

,

0

t

t

X

 можно представить в виде суммы ряда  

                                  





 





,

,

,

,

,

,

,

0

0

0













t

t

Х

t

t

X









                                   

 

7  

члены которого определяются из следующих рекуррентных соотношений:  





n

Е

t

t

Х







,

,

,

0

0

 

 







 













 







ds

t

s

t

s

s

t

X

t

s

t

s

S

P

t

t

X

t

t

k

k









0

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0

1

0











































,

3

,

2

,

1





                                                                                                    

 

8  

Из рекуррентных соотношений  

 

8  имеем  





















































!

,

,

,

,

,

,

,

1

,

,

,

0

0

0

0

0

1

0

0

k

t

t

P

t

t

Х

t

t

P

t

t

Х

t

t

Х

k

k























 

При условии 







N

где

N

t

t

0

 достаточное большое положительное число, получим 

можарантный  ряд   

PN

k

k

e

k

N

P

N

P

PN

















!

!

2

1

2

2

 

Отсюда  заключаем,  что  матричный  ряд 

 

7 ,  представляющий  собой  матрицент 

уравнения 

 

4 , сходится абсолютно и равномерно при  

N

t

t





0

. 

Предположим, что матрицант 









,

,

,

0

t

t

X

 допускает расцепление в виде   









Х

Х

Х

 

где 





Х

и

Х

  являются  частными  решениями  векторно-матричного  аналога 

уравнения 

 

4 , удовлетворяющие условиями   

                                    

















;

,

,

,

;

,

,

,

0

0

0

0

0

0

t

t

при

Ве

t

t

Х

t

t

при

Ве

t

t

Х

t

t

t

t



































                           

 

9  

 

с постоянными 

.

0

,

1







B

 

Составим матрицу  

                      





































;

,

,

,

;

,

,

,

,

,

,

0

0

0

0

0

t

t

при

t

t

Х

t

t

при

t

t

Х

t

t

X













                      

 

10  

&3. Рассмотрим систему уравнений в частных пройзводных первого порядка 

24  Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(6) 2011 

 

   



















  

11

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

































x

t

Q

t

W

x

t

P

x

t

b

t

a

t

Dx





































 

где 





n

Q

W

x

,

,

векторы-  столбцы, 







,

положительные  параметры,  а  остальные 

величины имеют прежний смысл. 

 

Пусть 













n

k

m

R

x

x

R

x

R

R

R

t































:

,

:

,

:

,













 

Будем  говорить,  что  выполнены  условия 

 

3

S

,  если  вектор-функция    имеют  место 

соотношения 



 













,

,

,

,

,

,

,

x

t

Q

t

W

  ограничены  и  равномерно  непрерывны  по 

,

,

,

,

,

,









x

t

  обладают  ограниченными  и  равномерно  непрерывными  частными 

производными  первого  порядка  по  координатам  векторов 

x

,

,





  при  всех 



















,

,

0

,

,

,

,

0

1













R

x

R

t

k

m

  относительно 



,

t

  почти  многопериодичны  с 



- 

вектор 

– 

почти 

периодом 

 





,

 

равномерно 

по                                                                                                                             









0

0

,

0

,

,

0

,

,





















R

x

R

k

 

Объединив условия  

     

,

,

,

3

2

1

S

S

S

назовем условиями 

 

.

S  

Очевидно при выполнении условии 

 

3

S

 имеют место соотношения: 

 























 







,

,

0

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0

,

,

,

,

,

,

1

0

0

x

x

t

Q

x

t

Q

W

t

W

t

W

Q

t

Q

W

t

W













































































 

для всех 











R

x

x

R

R

R

t

k

m

,

;

,

,

,

,









; 

 

При 

0





из 

 

11  получим систему  

                 













,

,

,

,

,

,

,

,

,

0

0

0

0

















x

t

Q

t

W

x

t

P

x

D







                    

 

13  

Которую назовѐм условно – вырожденной, здесь 

 

 























t

b

t

a

t

D

0

0

0

. 

Теорема 1. Если линейная система 

 

6  некритическая и выполнены условия  

 

S  

то  для  всех 

   

.

,

0

,

,

0













  Система 

 

11   допускает  единственное  почти 

многопериодическое  по  части  переменных  решение 









,

,

t

f



  из  класса 

 



,



n

Н

 

обращающееся  при 

0





в  почти  многопериодическое  по  части  переменных  решение 

условно-  вырожденной  системы 

 

13 ,  а  при 

0





  в  почти  многопериодическое  по 

части переменных решение порождающей системы 

 

13 . 

 

ЛИТЕРАТУРА 

4.

 

Зенкович О. Метод конечных элементов в технике. М. Мир, 1975.-541с. 

5.

 

Тихонов  А.Н.,  Самерский  А.А.  уравнения  математической  физики.-М.,  1972г.-

512с. 

6.

 

Пискунов  М.С.  диффепенциельное  и  интегральное  начисления-М:  физматиз. 

1964.-544с. 

РЕЗЮМЕ 

Получены  достаточные  условия  дифференциальных  уравнений  решения  систем 

уравнений. 

 

ТҮЙІНДЕМЕ 

Белгісіз  бірінші  ретті  дифференциалдық  теңдеулердің  қажетті  шарты  алынған, 

бағалау қарастырылған. 

25  Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(6) 2011 

 

 

жүктеу/скачать 2,92 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: