Федеральное государственное автономное образовательное учрежение высшего образования
жүктеу/скачать 5,2 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема 2.
q p . В этом случае оказываются справедливыми равенства
1 1 1 I 1 1 , n j , 1 ,
c r n n r q r V n j j i n j j i n j j j i i 1 1 1 I I 1 1 , k i , 1 , из которых вытекает справедливость соотношений j i V n c V V I I I ,
i , 1 ,
j , 1 , где k
n, n c V , т.е. выполняются все неравенства критерия оптимальности стратегий игроков [12, с. 57]. Следовательно, векторы n n n n 1 ;...; 1 ;...;
1 ; 1 q p — это оптимальные стратегии игроков, а число
R — цена игры, заданной дважды обобщенно стохастической матрицей R
R n n
(
i j ), ч.т.д. Непосредственно из теоремы 1 следует справедливость следующего утверждения. Теорема 2. Пусть R — игра, заданная обобщенно стохастической по
строкам (по
столбцам) матрицей R
R k n
(
i j ), которая не содержит седлового элемента. Тогда если существует вектор 1 2 1 ;...; ;...;
; S k i p p p p p
321
2 2 1 ;...;
;...; ;
j q q q q q
такой, что n c p r k i i j i 1 , j
i k c q r n j j j i , 1 , то второй (первый) игрок имеет вполне смешанную оптимальную стратегию
n n 1 ;...; 1 ; 1 q
k k k 1 ;...; 1 ; 1 p , а число n c V
k c V R является ценой игры R . 1.5. Комбинированное применение статистических и антагонистических игр
Суть комбинированного применения статистических и антагонистических игр заключается в отождествлении исходной статистической игры с
игрой, характеризующей процесс принятия управленческих решений, т.е. с антагонистической игрой, платежная матрица которой совпадает с функционалом оценивания исходной статистической игры. Для поиска оптимальной стратегии лица, принимающего решения (ЛПР), можно решить антагонистическую игру, характеризующую процесс принятия управленческих решений. Отождествление статистической игры с антагонистической игрой, характеризующей процесс принятия управленческих решений, позволяет применять инструментарий теории
антагонистических игр для принятия решений с учетом неполноты информации, неопределенности, конфликтности и обусловленного ими
экономического риска.
Такое отождествление позволяет выбрать одно оптимальное решение или упорядочить все имеющиеся чистые стратегии ЛПР. Более того, отождествление статистической игры с соответствующей антагонистической игрой позволяет сформировать оптимальную смешанную стратегию ЛПР, если использование смешанных стратегий возможно и экономически целесообразно. Наконец, отождествление статистической игры с соответствующей антагонистической игрой позволяет не проводить многошаговые эксперименты, что, в частности, позволяет ЛПР экономить ресурсы, в первую очередь, временной и финансовый.
322
Д. Блекуэлл и М. А. Гиршик также отмечают этот факт. По их мнению, в статистических играх нужно учитывать «возможность принимать решения без испытаний, что иногда может быть желательно, когда стоимость наблюдений велика» [15, с. 105]. В теории статистических игр разработаны условия экономической целесообразности эксперимента (см., например, [16, с. 260]
). Но, дело не только в цене, которую необходимо заплатить за проведение испытаний. В случае принятия управленческих решений в экономике полноценное рассмотрение всех возможных обстоятельств реализаций всех возможных управленческих решений может оказаться невыполнимым. Во-первых, именно в силу наличия неполноты информации, неопределенности, конфликтности и обусловленного ими
экономического риска
точное прогнозирование будущих значений всех параметров и точное предвидение будущего состояния экономической среды невозможны. Во-вторых, реальное проведение испытаний (для получения априорной и/или апостериорной информации о поведении «природы») в условиях реальной экономики невозможно. В-третьих, проведение модельных экспериментов, которые имитируют поведение «природы», в экономических исследованиях часто малопродуктивно, т.к. невозможно точно отразить и учесть все возможные сценарии будущего развития условий реализации принятого управленческого решения и все возможные способы действий всех многочисленных участников. Собственно, эти и другие особенности экономики представляют собой следствие принципиальной невозможности точного знания состояния экономической среды (особенно, в будущем). Традиционное применение статистических игр имеет известные преимущества при принятии управленческих решений в технике, например, в случае проверки качества уже выпущенной партии изделий, когда возможно проведение испытаний с целью статистической проверки выдвинутой статистической гипотезы. Иная ситуация имеет место при принятии управленческих решений в экономике, особенно, в случае, когда реализация принятого сейчас решения растянута во времени, что типично, например, при реализации мегапроектов или в управлении корпорациями. Проведение любых испытаний сейчас (так сказать, «сегодня») с целью проверки гипотезы о 323
состоянии экономической среды, в котором оно окажется в будущем (так сказать, «завтра», «послезавтра» и т.п.), невозможно в принципе и бессмысленно по сути. Далее везде будем считать, что в статистических играх всегда первый игрок — это статистик (ЛПР), который активно и осмысленно выбирает свои стратегии, а второй игрок — это «природа» (экономическая среда), которая пассивно выбирает свои чистые стратегии, т.е. случайно и неосознанно оказывается в одном со своих возможных состояний, при этом функционал оценивания R обладает положительным ингредиентом [17, с. 12], т.е. значение элемента r
платежной матрицы
i n k r R R R
статистической игры задает выигрыш первого игрока в ситуации (
; j ), т.е. в случае, когда ЛПР применил свою чистую стратегию i, а «природа» оказалась в своем возможном состоянии j. Эти предположения не ограничивают общности рассуждений. Для определенности, рассматриваемые теоретико-игровые модели мы будем считать конечными играми. В конечномерном случае антагонистическая игра — это матричная игра, т.е. конечная игра двух лиц с нулевой суммой. Однако все исследования могут быть обобщены и на бесконечномерный случай: все предлагаемые подходы, методы и модели могут быть обобщены на случай бесконечных антагонистических игр, обладающих необходимыми свойствами. Пусть процесс
принятия управленческих решений характеризует статистическая игра, составными частями которой являются следующие элементы: 1.
первый игрок — это ЛПР, поведение которого сводится к осознанному выбору решения (чистой или смешанной стратегии), при условии, что задано множество k i;...; ;...;
2 ; 1 I
его чистых стратегий i; 2.
второй игрок — это экономическая среда («природа»), которая в момент реализации ЛПР своего принятого решения может случайным образом оказаться в одном из своих попарно несовместных возможных состояний из заданного множества n j;...; ;...;
2 ; 1 J его возможных состояний j; 3.
именно своем возможном состоянии окажется экономическая среда в момент реализации им своего принятого решения (какую свою чистую стратегию реализует второй игрок);
324
4.
отсутствие у ЛПР априорной информации о том, в каком именно
своем возможном состоянии окажется экономическая среда после реализации им своего принятого решения (какую свою чистую стратегию реализует в будущем второй игрок); 5.
полностью или частично заданный функционал оценивания (платежная матрица), при этом значение его элемента r i j характеризует выигрыш ЛПР, т.е. эффективность принятого решения в случае выбора (реализации) ЛПР своей чистой стратегии i в условиях, когда экономическая среда оказалась в своем возможном состоянии j, где
, 1 ,
j , 1 . Итак, исходя из приведенной выше схемы, процесс принятия управленческих решений можно формально описать игрой, т.е. следующей системой R ; ; J I , при этом принято выделять творческую и формальную составляющую процесса построения теоретико-игровой модели [17, с. 7-10]. Нужно учитывать, что в случае принятия статистических решений для данной ситуации принятия решений, заданной в поле имеющейся информационной ситуации (ИС) относительно стратегии поведения экономической среды, возможно применение разных критериев оптимальности, в том числе и принципа гарантированного результата. Если все предпосылки, впервые предложенные в статье [18], корректности комбинированного применения статистических и антагонистических игр в экономике справедливы, то схема комбинированного применения статистических и антагонистических игр для принятия управленческих решений в экономике может быть представлена в виде последовательности действий, состоящей из выполнения следующих девяти шагов. 1.
игрока, т.е. перечисление возможных решений ЛПР (статистика), а также интерпретация смешанных стратегий первого игрока и их компонент, если его чистые стратегии совместимы. 2.
Формирование множества чистых стратегий второго игрока, т.е. перечисление возможных состояний экономической среды («природы») или возможных сценариев будущего развития имеющейся ситуации. 3.
эффективности и полезности, построение функционала 325
оценивания, т.е. платежной матрицы игры, характеризующей процесс принятия управленческих решений в экономике. 4.
поведения «природы» (экономической среды). Комбинированное применение статистических и антагонистических игр абсолютно корректно в случае, если с точки зрения ЛПР ему нецелесообразно рисковать, т.е. в поле пятой ИС I 5 , когда интересы ЛПР и экономической среды антагонистичны [17, с. 13]. Однако комбинированное применение статистических и антагонистических игр
часто бывает
возможным, целесообразным и корректным и в поле других ИС I s . 5. Решение соответствующей антагонистической игры, характеризующей процесс принятия управленческих решений, точнее классической антагонистической игры (КАИ), если построенная платежная матрица известна полностью, или неоклассической антагонистической игры
(НАИ), если
построенная платежная матрица известна частично. 6.
На основе найденного решения антагонистической, характеризующей процесс принятия управленческих решений, выбор оптимального решения. 7.
Анализ корректности и эффективности, точнее математической корректности, экономической корректности, экономической целесообразности и экономической эффективности, выбранного оптимального управленческого решения. 8.
9.
Корректировка (по необходимости и возможности) выбранного оптимального управленческого решения в процессе его реализации, а также после его реализации. Вообще говоря, статистические игры допускают решение, как в чистых стратегиях, так и в смешанных стратегиях. Но, найденная оптимальная стратегия k i p p p p ;...;
;...; ; 2 1 p первого игрока (ЛПР)
может быть
реализована в качестве управленческого решения тогда и только тогда, когда этот вектор, его компоненты
и их значения допускают экономическую интерпретацию, адекватную рассматриваемой ситуации принятия решений. Принятие управленческих решений в экономике — это, вообще говоря, искусство, поэтому, ориентируясь на найденную ситуацию равновесия в антагонистической игре, 326
характеризующей процесс принятия управленческих решений, ЛПР не обязано строго придерживаться соответствующей оптимальной стратегии первого игрока. Принятие управленческих решений
в экономике, основанное на комбинированном применении статистических и антагонистических игр, обладает рядом достоинств, в т.ч. позволяет экономить средства ЛПР, адекватно учитывать нестационарность, случайность, хаотичность, неполноту информации, неопределенность, конфликтность, конкуренцию, противоречивость, альтернативность, многокритериальность, обусловленный ими экономический риск и оптимизировать уровень экономического риска. Еще одним преимуществом предлагаемой концепции является прозрачность методов принятия управленческих решений. Принятие управленческих решений
в экономике, основанное на комбинированном применении статистических и антагонистических игр, обладает и недостатками, например, чрезмерной осторожностью. Поэтому комбинированное применение статистических и антагонистических игр наиболее целесообразно использовать в условиях, когда ЛПР считает, что ему не следует рисковать. Кроме того, согласно предпочтениям ЛПР, имеющейся у него информации, его профессиональной квалификации, компетентности, опыта и интуиции оптимальное управленческое решение, которое оно выберет для реализации, может отличаться от оптимальной стратегии, на которой основывается это управленческое решение. Комбинированное применение статистических и антагонистических игр, даже в случае применения конечных игр, существенным образом расширяет сферу применения теоретико- игрового моделирования процесса принятия управленческих решений в экономике. Кроме того, комбинированное применение статистических и антагонистических игр совместно с такими разделами математики как энтропийный подход, нечеткая математика, теория вероятностей и математическая статистика, теория случайных процессов, прикладная статистика и эконометрия, конкретная математика и другими разделами математики позволяет успешно решать самые разные задачи принятия управленческих решений с учетом неполноты информации,
327
неопределенности, конфликтности и обусловленного ими экономического риска. В частности, позволяет решать задачу распределения ресурсов, находить структуру эффективного портфеля, выбирать наиболее надежные проекты, выбирать потенциальных заемщиков, обладающих наибольшим уровнем относительной репутации, определять значение индивидуальной ставки кредитования, оценивать интегральный потенциал предприятия и т.п.
Использование комбинированного применения статистических и антагонистических игр совместно с теорией случайных процессов неизбежно в случае, когда ситуацию принятия управленческих решений характеризует НАИ, заданная в поле седьмой ИС I 7 , когда элементы платежной матрицы представляют собой случайные функции и, в частности, случайные процессы [19, с. 245]. Подчеркнем, вопрос о характерных свойствах, которыми должны обладать заданные случайные процессы, представляется очень важным. В частности, особого внимания требует вопрос
классификационной принадлежности случайных процессов, являющихся элементами платежной матрицы. Рассмотрим теоретико-игровую модель
процесса формирования цены товара (например, некоторого финансового инструмента) в условиях конкурентного рынка, представляющую собой НАИ, заданную платежной матрицей R
R k n
(
i j ), все
элементы r i j которой являются случайными процессами. Эта модель впервые была подробно изложена автором в статье [20]. По своему определению, случайный процесс — это функция X
( t
), значение которой для любого фиксированного момента времени t
t 0 есть случайная величина X (
t 0
). Таким образом, аппарат теории случайных процессов позволяет моделировать реальные системы и явления в динамике их развития с учетом влияния случайных факторов. Поэтому применение случайных процессов в качестве элементов платежной матрицы позволит адекватно отобразить динамику изменения цены товара с учетом 328
неполноты информации, неопределенности, конфликтности и обусловленного ими экономического риска. Как известно, цена товара в значительной мере представляет собой результат сложившейся на рынке ситуации соотношения спроса и предложения на данный товар. Для простоты будем считать, что как спрос, так и предложение на данный товар могут оказаться в одном из своих
известных состояний, принадлежащих заданным конечным множествам. Введем обозначения: r i j — цена данного товара в условиях, когда величина спроса на него составила S j условных единиц, а величина предложения составила V i условных единиц, где k i , 1 ,
j , 1 ,
i j (
t
) — соответствующий случайный процесс, характеризующий возможные значения элемента r
в момент времени t, k — общее количество различных состояний предложения на данный товар, n — общее количество различных состояний спроса на данный товар.
Рис. 1. Схема моделирования процесса формирования цены
Схема (рис. 1) комбинированного применения статистических и антагонистических игр совместно с теорией случайных процессов для моделирования процесса формирования цены имеет следующий вид. 1. Формирование множества чистых стратегий первого игрока 2. Формирование множества чистых стратегий второго игрока 3. Построение функционала оценивания (платежной матрицы) игры
4. Анализ адекватности выбранных законов распределения 5. Решение соответствующей НАИ 6. Анализ ценовой ситуации и построение прогноза значения цены
329
1.
k i;...; ;...;
1
— множество чистых стратегий первого игрока, задаваемых возможными значениями V 1 ,…, V i ,…, V k
величины предложения рассматриваемого товара. 2.
n j;...; ;...;
1
— множество чистых стратегий второго игрока, задаваемых возможными значениями S 1 ,…, S j ,…, S n
величины спроса на рассматриваемый товар. 3.
R k n
(
i j ) — платежная матрица, где r i j — цена данного товара в условиях, когда величина спроса на него составила S j условных единиц, а величина предложения составила V
условных единиц, при этом возможное значение элемента r
в момент времени t характеризует случайный процесс R i j (
), заданный своим законом распределения, где k i , 1 ,
j , 1 . 4. Анализ
адекватности выбранных законов распределения случайных процессов R i j (
t
) наблюдавшимся значениям цен рассматриваемого товара в прошлом. Пусть случайные процессы
i j (
) соответствуют имеющейся информации, тогда следует выполнить следующие этапы. 5.
R R , , J I . 6.
На основе найденного решения НАИ, характеризующей процесс формирования цены, анализ ценовой ситуации и построение прогноза значения цены данного товара в будущем. Таким
образом, комбинированное применение статистических и антагонистических игр совместно с теорией случайных процессов позволяет, в частности, моделировать процесс формирования цены товара (например, некоторого финансового инструмента) в условиях конкурентного рынка, анализировать ценовую ситуацию, строить прогноз значения цены данного товара в будущем. Аналогичным образом выглядит модель изменчивости цены финансовых инструментов, основанная на комбинированном применении статистических и антагонистических игр совместно с теорией случайных процессов. Для расчета изменчивости цены финансовых инструментов применяют разные виды
волатильности [21]. Следует отметить, что теория случайных процессов, в первую очередь, теория мартингалов, эффективно применяется для исследования и оптимизации экономических процессов на финансовых рынках, а вот теория игр практически 330
не применяется для моделирования изменчивости цены финансовых инструментов. Теоретико-игровая модель изменчивости цены финансовых инструментов может быть построена самыми разными способами. Одной из игр, представляющей собой модель изменчивости цены финансовых инструментов, может служить игра, заданная матрицей R
R k n
(
i j ), в которой элемент r i j
представляет собой цену i-го финансового инструмента в ситуации (
), когда объем продаж этого финансового инструмента составляет определенную величину S i в условиях, когда совокупный объем продаж на финансовом рынке равен величине V j . Значения величин S i ,
, 1 , и V j ,
j , 1 , задает ЛПР в соответствии с имеющейся у него информацией, его профессиональной квалификацией, компетентностью, опытом и интуицией. Такая
игра будет
наиболее адекватной моделью изменчивости цены финансовых инструментов, если элементы r i j
платежной матрицы R
R k n
(
i j ) будут представлять собой соответствующие случайные процессы, что позволит учитывать динамические изменения цен финансовых инструментов. Так как аппарат теории случайных процессов позволяет моделировать реальные системы и явления в динамике их развития с учетом влияния случайных факторов, применение случайных процессов в качестве элементов платежной матрицы позволяет адекватно отображать динамику изменения цены товара, в т.ч. финансового инструмента, с учетом неполноты информации, неопределенности, конфликтности и обусловленного ими экономического риска. Введем следующие обозначения: 1.
R i j (
) —
случайный процесс, характеризующий возможное значение элемента r i j
платежной матрицы R
R k n
(
i j ) в момент времени t; 2.
i j — сечение случайного процесса R i j (
t
), т.е. соответствующая СВ R i j
R i j (
0
); 3.
i j (
t
) — реализация случайного процесса R i j (
t
), т.е. соответствующая неслучайная функция; 4.
m i j (
)
M (
R i j (
)
) — математическое ожидание случайного процесса R i j (
t
). 331
Итак, игра,
характеризующая формирование (или изменчивость) цены товара, представляет собой НАИ, заданную в поле ИС I 7 , когда элементы r i j
платежной матрицы R
R k n
(
i j ) представляют собой соответствующие случайные процессы R i j (
), заданные известными законами распределения. С одной стороны, если зафиксировать момент времени t
t 0 , то получим НАИ, заданную в поле ИС I 1 , когда элементы платежной матрицы R
R k n
(
i j ) представляют собой случайные величины, заданные известными законами распределения [19, с. 244]. С другой стороны, если произошло определенное событие, то получим НАИ, заданную в поле ИС I 2 , когда элементы платежной матрицы
R
R k n
(
i j (
t
) ) представляют собой соответствующие неслучайные функции одного аргумента t [19, с. 244]. Таким образом, для всех элементов платежной матрицы R
R k n
(
i j ), для которых неизвестны их точные истинные значения, одновременно имеют место две информационные ситуации: первая I 1 и вторая I 2 . Это и означает, что имеет место седьмая (смешанная) информационная ситуация I 7 . Как следствие, возможны два основных метода преодоления неполноты информации, т.е. приведения исходной НАИ к некоторой КАИ. 1.
Если зафиксировать момент времени t
t 0 , то получим НАИ, заданную в поле ИС I 1 . В поле ИС I 1 элементы платежной матрицы
R k n
(
i j ) следует заменить значениями определенных (одних и тех же для всех случайных величин) числовых характеристик этих случайных величин. Например, все элементы платежной матрицы R
R k n
(
i j ) можно заменить значениями их математических ожиданий, или значениями их модальных значений, или значениями их дисперсий, или значениями их стандартных отклонений, или значениями их других числовых характеристик. Так, применение значений их математических ожиданий приводит исходную НАИ к КАИ, заданной полностью известной платежной матрицей R
R k n
(
i j ), элементы r i j этой матрицы равны числам
0 0 M M t m t R R r j i j i j i . 2. Если произошло определенное событие, то получим НАИ, заданную в поле ИС I 2 . В поле ИС I 2 одним из методов решения НАИ является анализ зависимости оптимального
332
решения соответствующей игры от возможных значений аргумента t соответствующих функций. Такой анализ приводит к рассмотрению аналитических зависимостей оптимального решения соответствующей игры от возможных значений этого аргумента. В некоторых случаях этот анализ может представлять собой дискретный перебор наиболее типичных значений аргумента. Для окончательного выбора оптимального решения соответствующей игры может потребоваться применение методов распознавания образов, методов исследования операций, методов теории ожидаемой полезности или методов других теорий. Если для определенности использовать математические ожидания m i j (
t
)
M
( R i j (
)
) в фиксированный момент времени t
t 0 , то исходная НАИ будет приведена к КАИ, заданной полностью известной платежной матрицей R
R k n
(
i j ),
элементы r i j
этой матрицы равны
числам
0 0 M M
m t R R r j i j i j i . Наиболее полное изложение концепции комбинированного применения статистических и антагонистических игр, в целом, и комбинированного применения статистических и антагонистических игр совместно с теорией случайных процессов, в частности, приведено в монографии [19]. Литература 1.
Жлуктенко В. И., Бєгун А. В. Стохастичні моделі в економіці. — К.: КНЕУ, 2005. — 352 с. 2.
Маркова. — М.: Наука, 1987 — 414 с. 3.
Кемени Дж. Дж., Снелл Дж. Л. Конечные цепи Маркова. — М.: Наука, 1970. — 271 с. 4.
неотрицательные операторы — М.: Мир, 1989. — 207 с. 5.
Чжун Кай-лай. Однородные цепи Маркова. ‒ М.: Мир, 1964. ‒ 425 с.
6.
Р-50-605-80-93 Рекомендации. Система разработки и постановки продукции на производство. Термины и определения. — М.: ВНИИ стандартизацииГосстандарта России. — 1993. — [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://www.bestpravo.ru/rossijskoje/so- postanovlenija/t8g/index.htm. 7.
цикла продукта: монография / Е. В. Семенычев. — Самара: САГМУ, 2012. — 148 с. 333
8.
Семенычев Е. В. Жизненный цикл экономических объектов: методология и инструментарий параметрического моделирования: монография / Е. В. Семенычев. — Самара : Изд-во СамНЦ РАН, 2015. — 388 с. 9.
Сюдсетер К. Справочник по математике для экономистов / К. Сюдсетер, А. Стрем, П. Берк ; пер. с норвежск. Г. Н. Захаровой. Под ред. Е. Ю. Смирновой. — СПб. : Экономическая школа, 2000. — X + 229 с. 10.
Грэхем Р. Л., Кнут Д. Э., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. — М.: Мир, 1998. — 703 с. 11.
Сигал А. В., Яценко Л. Ф. Конкретная математика. Учебное пособие. — Симферополь: КИПУ 2007. — 178 с. 12.
Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков / Н. Н. Воробьев. — М. : Наука, 1985. — 272 с. 13.
Карлин С. Математические методы
в теории
игр, программировании и экономике / С. Карлин ; пер. с англ. Н. А. Бодина, Н. И. Горькова, А. А. Корбута, А. Н. Ляпунова, Н. М. Митрофановой, А. Н. Смирнова, Е. Б. Яновской. Под ред. Н. Н. Воробьева. — М. : Мир, 1964. — 838 с. 14.
Васин А. А. Теория игр и модели математической экономики (учебное пособие) / А. А. Васин, В. В. Морозов. — М. : МАКС Пресс, 2005. — 272 с. 15.
Д. Блекуэлл, М. А. Гиршик ; пер. с англ. И. В. Соловьева. — М. : ИЛ, 1958. — 318 с. 16.
пособие / И. Д. Протасов. — 2-е изд. — М. : Гелиос АРВ, 2006. — 368 с. 17.
Трухаев Р. И. Модели принятия решений в условиях неопределенности / Р. И. Трухаев. — М. : Наука, 1981. — 258 с. 18.
Сигал А. В. О принятии управленческих решений в экономике на основе сочетания применения антагонистических и статистических игр / А. В. Сигал // Анализ, моделирование, управление, развитие экономических систем (АМУР-2013) : сб. научных трудов V
I I Междунар. школы-симпозиума АМУР-2013 (Севастополь, 12-21 сентября 2013). — Симферополь : ТНУ им. В. И. Вернадского, 2013. — С. 303-312. 19.
монография / А. В. Сигал. — Симферополь : ДИАЙПИ, 2014. — 308 с. 20.
Sigal A. V. Risk Modeling of Changes in the Price Based on the Use of Games with Incomplete Information / A. V. Sigal // Modelling and Analisys of Safety and Risk in Complex System : Proc. of the 10 th International Scientific School MA SR-2010 (Saint-Petersburg, Russia, July 6-10, 2010). — SPb. : SUAL, 2010. — P. 146-151. 21.
рисками на основе анализа волатильности / М. Чекулаев. — М. : Альпина Паблишер, 2002. — 344 с.
|