Фононы. Фононы представляют собой кванты поля звуковых волн
жүктеу/скачать 78 Kb.
|
|
ФОНОНЫ. Фононы представляют собой кванты поля звуковых волн в макроскопическом теле. Теоретически они вводятся также как фотоны при квантовании электромагнитного поля. Электромагнитное поле может быть разложено в ряд Фурье по плоским волнам. При этом гамильтониан электромагнитного поля разлагается на сумму членов, каждый из которых эквивалентен гармоническому осциллятору. Квантами энергии этих гармонических осцилляторов и являются фотоны. Аналогично гамильтониан твердого тела, которое построено из атомов, образующих кристаллическую решетку, может быть аппроксимирован суммой членов, каждый из которых представляет гармонический осциллятор, соответствующий нормальному колебанию системы атомов. В классической механике нормальное колебание есть волна деформации плоскостей решетки, т.е. звуковая волна. В квантовой механике такие колебания порождают кванты, называемые фононами. Поэтому квантовое состояние кристаллической решетки, близкое к основному, должно характеризоваться числами имеющихся фононов с данными импульсами. Следовательно, при низких температурах твердое тело можно рассматривать как объем, содержащий газ невзаимодействующих фононов. Поскольку фонон является квантом некоторого гармонического осциллятора, он имеет характеристическую частоту и энергию . Состояние решетки, характеризующееся наличием одного фонона, соответствует звуковой волне, записанной в виде: , причем волновой вектор имеет величину , где с – скорость звука. Вектор поляризации не обязательно перпендикулярен волновому вектору . Таким образом, вектор поляризации имеет три независимые компоненты, соответствующие одному продольному колебанию – волне сжатия и двум поперечным колебаниям – волнам сдвига. Так как в возбужденном состоянии гармонический осциллятор может иметь любое число квантов, фононы подчиняются статистике Бозе, причем их полное число не сохраняется. Твердое тело, состоящее из N атомов, имеет 3N нормальных колебаний, поэтому должно быть 3N различных типов фононов с характеристическими частотами . Значения этих частот зависят от свойств решетки. В эйнштейновской модели решетки принимается, что все частоты равны между собой. Усовершенствованием этой модели является модель Дебая, который принял, что для определения частот, и только для этой цели, можно рассматривать твердое тело как упругий континуум объема V. Фононные частоты являются в этом случае 3N нижними нормальными частотами такой системы. Поскольку упругий континуум имеет непрерывное распределение частот, нас интересует число нормальных колебаний, частоты которых лежат между и d. Чтобы найти это число, нужно учесть граничные условия для звуковой волны в упругой среде. Выбирая граничные условия периодичности, находим, как обычно, , (1) причем вектор имеет целые компоненты .Интересующее нас число нормальных колебаний с частотами и d равно . (2) Множитель 3 появляется из-за того, что возможны три направления поляризации. Поскольку , имеем . (3) Максимальную частоту определим из условия , (4) откуда при получим . Длина волны, соответствующая , равна , т.е. примерно расстоянию между частицами. Вычислим статистическую сумму для газа фононов. Энергия состояния, в котором имеется фононов i-ого сорта, равна . Фононы, так же как фотоны, подчиняются статистике Бозе. Ввиду отсутствия закона сохранения частиц, химический потенциал фононной системы равен нулю. Поэтому (5) Поскольку , имеем: , (6) где - функция Дебая определяется следующим образом: , (3.64) а -температура Дебая равна . (7) Рис.1. Теплоемкость как функция температуры в модели Дебая. Поэтому энергия имеет вид: . (8) Соответственно, для теплоемкости получаем . (9) жүктеу/скачать 78 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|