Функцияның нүктедегі және жиындағы үзіліссіздігі

Бұл анықтамаға сәйкес, егер х₀ нүктесі функцияның үзіліс нүктесі болса, функция f(x) үшін шарты орындалады.

Жоғарыда берілген анықтама оң жақтықь үзіліс және сол жақтық үзіліс нүктелері үшін мына түрде айтылған болар еді:

Егер f(x)-тің х₀ нүктесіндегі мәні ол функцияның осы нүктедегі оң (сол) жақтық шегіне тең болмаса, яғни  шарты орындалса, х₀ берілген функция f(x)-тің оң (сол) жақтық үзіліс нүктесі деп аталады.

Үзіліс нүктелері былайша сұрыпталады:

1. 
   Егер х₀ нүктесінде f-тің ақырлы шегі де, f(x₀) мәні де бар болып, бірақ олар өзара тең болмаса, яғни болса, х₀ нүктесі жөнделінетін үзіліс нүктесі деп аталады.
   

 Мысалы, егер

Фугкциясы берілсе, х₀ = 0 нүктесі ол функция үшін жөнделінетін үзіліс нүктесі болады. Оған дәлел:  және f(0)=2 , яғни

2. 
   Егер х₀ нүктесінде f-тің ақырлы да, ақырсыз да шегі жоқ болса, х₀ нүктесі ол функцияның үзіліс нүктесі деп аталады.
   

1) х₀ нүктесінде f-тің оң жақтық және сол жақтық ақырлы шектері бар болғанменолар өзара тең болмаса,яғни  болған жағдай. Бұл жағдайда х₀ нүктесі f(x) функциясы арқылы секірмелі болатын үзіліс нүктесі деп аталады да, ал  саны f(x) функциясының х₀-дегі секірмесі деп аталады.

Мысалы, егер

Функциясы берілсе, х₀=2 нүктесі ол функцияның ақырлы секірмелі болатын үзіліс нүктесі болады, өйткені f (2-0) = 1 және f (2+0) = 3;

Сонымен бірге  саны функцияның х₀ = 2 нүктесіндегі секірмесінің шамасын көрсетеді.

2) х₀ нүктесінде f(x) функциясының бір жақтық шектері f(x₀-0) пен f(x₀+0)-тердің ең болмағанда біреуі шексіздікке айналатын не мүлде жоқ болған жағдай.

Мысалы, егер

Функциясын алсақ, ол х₀=0-де оң жағынан үзілісті функция, өйткені

3. 
   х₀ нүктесінде f(x) функциясының шегі шексіздікке айналса, х₀ ол функция үшін үздіксіз нүктесі болады.