Гамильтон теңдеуі. Пуассон жақшалары
жүктеу/скачать 482,47 Kb.
|
1 2
Байланысты:Гамильтон теңдеуі
- Бұл бет үшін навигация:
- Пуассон жақшасы
| 2. Пуассон жақшалары.
Еркіндік дәрежесі s механикалық жүйенің қозғалысы 2s Гамильтон теңдеулерімен анықталады: Осы (10)–теңдеулер жүйесін интегралдау деп, t уақытқа және 2s тұрақты шамаларға тәуелді pα жалпыланған импульстармен qα жалпыланған координаттарды табуды айтады. Осы табылған, р1, р2, …, рs; q1, q2, …qs функциялар жүйесі қанағаттандыратын мынандай φ(q1, q2,… qs; р1, р2, … рs, t) = С қатысты (10)–дифференциалдық теңдеулер жүйесінің бірінші интегралы деп атайды. Бірінші интегралдың сол жағында тұрған, pα жалпыланған импульстан, qα жалпыланған координаттардан және t уақыттан тәуелді функция, жүйе қозғалысы кезінде (алғы шарттарға байланыссыз) тұрақты болып қалады. (10) (11) Енді (11)–қатыс Гамильтон теңдеулерінің бірінші интегралы болуы үшін қандай шарттарды орындау керектігін табайық. Бірінші интегралдың анықтамасы бойынша, функциясы, мұндағы рα және qα айнымалылардың орынына, Гамильтон теңдеулерін шешкенде табылатын рα және qα айнымалылардың мәндерін қойғанда тұрақты болып қалуы керек. Сондытан, (12)–функциядан уақыт бойынша алынған толық туынды нольге тең болуы керек, яғни (12) (13) Осындағы және айнымалылардың (10)–Гамильтон теңдеулеріне сәйкес Н Гамильтон функциясымен алмастырсақ немесе (14) (15) мұндағы (16) Пуассон жақшасы деп аталады. Сонымен, кез келген f(qα,рα,t) функциясы қозғалыстың конондық теңдеулерінің бірінші интегралы болуының қажетті және жеткілікті шарты (17) Егер f функциясы уақытқа тікелей тәуелді болмаса , онда (H,f)=0, (18) яғни, f функциясымен Гамильтон функциясынан құрылған Пуассон жақшасы нольге тең болу керек. Пуассон жақшасын пайдаланып, (5)–Гамильтон теңдеулерін qα және рα айнымалыларға қатысты симметриалы түрде жазуға болады. Ол үшін (16)–Пуассон жақшасындағы f = рi, және f = qi қойсақ, онда (19) Сондықтан, (5)–қозғалыстың конондық тендеуін былай жазуға болады, (20) Пуассон жақшасын тек қана Н және f функциялары үшін ғана емес, кез келген қос функциялар f(q, p, t) және g(q, p, t) үшін де жазуға болады. Бұл жағдайда Пуассон жақшасы былай жазылады; (21) Егер f немесе g функциялары жалпыланған кординаттармен немесе жалпыланған импульстармен сәйкес келсе, онда (21)–Пуассон жақшасы (22) Егер осындағы f функциясы, qi және pi функцияларымен алмастырсақ, онда (qi, qk)= (pi, pk)=0, (pi, qk) = δik, (23) мұндағы (23)-өрнек негізгі немесе фундаментальды Пуассон жақшасы деп аталады. Кез келген qk және pk шамаларды конондық түйіндес шамалар деп атайды, егер олар мынандай шартты қанағаттандырса (qk, qk) = (pk, pk) = 0, (pk, qk) = 1. (24) (25) жүктеу/скачать 482,47 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
1 2