По данным рисунка определите вид четырехугольника KMNP.
А
С
D
В
K
M
N
P
Доказательство теоремы
Доказательство: рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а,b и гипотенузой с.
Докажем, что
Достроим треугольник до квадрата со стороной а+b
а
b
c
с2=a2+b2
Дополнительные построения
Доказательство теоремы
Площадь S этого квадрата равна (а+b)2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½а·b и квадрата со стороной с (его площадь равна с2), поэтому
S=4 ·½аb+с2=2аb+с2,
Таким образом,
(а+b)2=2аb+с2 ,
Откуда
с2=a2+b2
Теорема доказана.
а
b
а
b
а
b
а
b
с
с
с
с
Закрепление материала
.
Вычислите, если возможно:
Сторону АС треугольника АВС
сторону MN треугольника KMN
А
В
С
М
К
N
1
2
Ответ: √5
12
13
Ответ: 5
Закрепление материала
Вычислите, если возможно:
диагональ ВD квадрата BCDF
сторону КР треугольника КРR
D
F
В
С
К
Р
R
1
3
5
Ответ: √2
Ответ: сторону треугольника вычислить
нельзя т.к.неясно, какой вид имеет треугольник.
Закрепление материала
Найдите сторону CD параллелограмма АВСD
Ответ:4√2
Вычислите высоту CF трапеции ABCD
D
D
А
В
С
Н
А
В
С
К
F
45˚
30˚
4
2
Ответ:√3
Задача из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.
Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены omcmoятu имать.
Решение
Р е ш е н и e. Треугольник АВС - прямоугольный
Пусть ВС = х стоп, тогда по теореме Пифaгopa АС2 + СВ2 =АВ2,
1172 +x2= 1252;
х2 = 1252 - 1172,
х2 = (125- 117)(125 + 117),
х2=8·242, х=44.
О т в е т: 44 стопы
А
С
В
117
125
Задача Бхаскары (индийского математика XII в.)
На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал... Бедный тополь упал. И угол прямой C теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река В четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, Осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота
Решение
Пусть, АВ- высота тополя, тогда АВ=АС+СD. Найдём СD. Треугольник АСD- прямоугольный. По теореме Пифагора СD²=АС²+АD²,
СD²=3² +4², откуда СD= 5 футов. Значит, АВ=3+5=8 футов
Из древнеиндийского трактата
Над озером тихим, C полфута размером, высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом Отнес его в сторону. Нет боле цветка над водой. Нашёл же рыбак его ранней весной B двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: Как озера вода здесь глубока?
А
2
С
В
½
Решение
Треугольник АВС – прямоугольный АВ = АС+ ½ Тогда по теореме Пифагора AB2=AC2+CB2, (АС + ½)2 = АС2+22, АС = 3¾ фута.
