Векторлардың сызықты тәуелділігі

Әр түрлі есептерді шығарған кезде, бір вектормен ғана емес кейбір бір тектес векторлар жиынымен әрекеттер жасауға тура келеді.Мұндай жиынды векторлар жүйесі деп атайды да, оларды бір әріппен және реттік нәмірмен белгілейді:

а₁,а₂,....,а_к (1)

1-анықтама. (1)өрнектегі векторлардың сызықтық комбинациясы деп мына түрдегі векторлады атайды:

b=λ₁а₁+λ₂а₂ +λ_ка_к (2)

Мұндағы,λ₁,...λ_к-кез-келген нақты сандар.

Мысалға айталық үш вектор берілсін, а₁=(1,2,0),а₂=(2,1,1)және а₃=(-1,-1,-2). Олардың 2,3 және 4 коэффициенттерімен бірге сызықтық комбинациясы: b=(4.15.-5)

(2)-теңдігіне сәйкес b векторы (1) вектор жүйесі арқылы сызықты өрнектелінеді немесе осы векторлар бойынша бөлініп ажырайды делінеді.

λ₁а₁+λ₂а₂+...+λ_к а_к=0 (3)

онда (1) векторлар жүйесі сызықты тәуелді деп аталады.

Егер (3) теңдігі (4) векторлар жүйесі үшін мына: λ₁=λ₂₌....=λ_к=0 жағдайда ғана орындалса, онда осы векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз делінеді.

Айтйлық (1) векторлар жүйесі сызықты тәуелді векторлар (3) қосындысын λ_s-коэффициенті нөлге тең емес(λ_s=0) қосындыларын таңдап алып, оларды басқа қосындылар арқылы өрнектейік:

а_s=- λ₁а₁/ λ_s- λ₂а₂ / λ_s -....- λ_s-1а_s+1/ λ₂-....- λ_к а_к / λ_s

Теңдіктен (1.7) сызықты тәуелді векторлар жүйесінің бір векторы, осы жүйенің басқа бір векторы арқылы өрнектелгені (немесе басқа векторлар бойынша бөлініп ажырағаны) байқалады.

1. Бір вектордан тұратын жүйе – сызықты тәуелді.

2. Нөлдік векторы бар жүйе әрқашанда – сызықты тәуелді.

3. Бірнеше векторлардан тұратын жүйе, векторлардың ішінде басқалармен сызықты өрнектелетін бір вектор болған жағдайда ғана сызықты тәуелді бола алады.

Геометриялық тұрғыдан қарасақ екі өлшемді векторлар жазықтықта, ал үш өлшемді векторлар кеңістікте сызықты тәуелді болуы мүмкін екені белгілі.Бір векторды екінші бір вектормен өрнектеген жағдайда:

а₂= λа₂ бұл векторлар коллинеарлы делінеді, яғни олар параллельді жазықтықта жатады, яғни олар компланарлы делінеді.Арнайы көбейткіштер арқылы осы векторлардың ұзындықтарын бейнелеу және біреуін екеуінің қосындысымен немесе солармен өрнектеу үшін түзету (енгізу) жеткілікті.

Төмендегі теорема осы айтылған мәселелер жөнінде маңызды.