Іс-қағаздарының қызметтері

  Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (31) 2013 
~ 
26 ~
 
 
Әдебиеттер тізімі 
1.  Күзекова  З.,  Ақбұзауова  Б.,  Тұмбаева  Р.
  Қазақ  тілі  және  мемлекеттік  тілде  іс 
қағаздарын  жүргізу  пәндерінен  студенттерге  білім  берудің  жаңа  үлгідегі 
тапсырмалары: жоғары оқу орындарының халықаралық қатынастар мен саясаттану 
факультетіндегі орыс тілді топтарына арналған. - Алматы: Қазақ университеті, 2008. 
- 168 бет, ISBN 9965-30-557-9. 
2.  Л.Дүйсенбекова    Іс  қағаздарын  қазақша  жүргізу.  –  Алматы,  2001. 
3. А.Алдашева, Қ.Қадашева  Ресми іс қағаздары. – Астана, 2000. 
4. В.Салагаев, Б.Шалабай  Іс қағаздарын жүргізу. – Алматы, 2000. 
5. Т.Ташметова, С.Шормақова  Ресми іс қағаздар үлгілерін мемлекеттік тілде оқыту. 
– Тараз, 2003. 
6. Қасымбеков, Әлімқұлов  Екі тілде іс жүргізу. – Алматы, 1999. 
7.  А.Алдашева,  З.Ахметжанова,  Қ.Қадашева,  Э.Сүлейменова    Қазақ  тілі.  Ресми 
қарым-қатынас, іс қағаздары тілі, - Алматы, 2001. 
 
Резюме 
В  статье  рассматривается  вопрос  о  государственной  ценности,  социальной 
значимости  казахского  языка  как  государственного,  разъясняются  важнейшие 
условия    функционирования    языка,  необходимые  для    ведения  документации  на 
государственном языке. 
Summary 
This  article  is  about  governmental  and  social  importance  of  writing  official 
documents in Kazakh language and it is the first step of the people s recogniring of the 
importance of Kazakh language usage as the national language. 

  Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (31) 2013 
~ 
27 ~
 
 
 
ФИЗИКА-МАТЕМАТИКАЛЫҚ ЖӘНЕ ТЕХНИКАЛЫҚ ҒЫЛЫМДАРЫ 
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ 
 
УДК 622.6 
Б.А. Жаутиков
1
, А.А. Айкеева
2
 Ф.Б. Жаутиков
2
, П.А. Мухтарова
2
 
Атырауский государственный университет имени Х. Досмухамедова 
1
, 
Карагандинский государственный университет имени академика Е.А. Букетова 
2
 
 
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА И 
ПРОЕКТИРОВАНИЯ РЕЗЕРВУАРОВ НЕФТЕХРАНИЛИЩ 
 
Аннотация 
Нефтяная  отрасль  занимает  важнейшее  место  по  своей  роли  в 
общественном  производстве,  экономической,  оборонному  и  социальному 
факторам.  Поэтому  перспектива  развития  государства  должна  быть  связана  с 
дальнейшим  совершенствованием  отрасли  и  необходимостью  его  экономически 
эффективного функционирования 
Ключевые  слова: 
Нефтехранилище,  резервуар,  напряженно-деформируемое 
состояние, метод конечных элементов. 
 
За  годы  независимости  нефтегазовый  сектор  Казахстана  стал  одним  из 
ключевых  элементов  поддержки  социально-экономических  реформ.  Отрасль 
обеспечивает порядка четверти ВВП страны и около двух третей государственного 
бюджета [1]. 
Наличие  изученных  нефтегазоносных  месторождений  Кашаган,  Тенгиз  и 
Карачаганак,  а  также  ресурсов  в  акватории  Каспийского  бассейна  гарантирует 
относительную  стабильность производства нефти компаниям,  занятым  в  секторе  в 
долгосрочной  перспектив  и  этот  фактор  является  ключевым  преимуществом, 
выгодно отличающим Казахстан от ряда прикаспийских республик. 
Казахстан  обладает  огромными  нефтяными и  газовыми  ресурсами,  наличие 
которых  в  любом  государстве  позволяют  успешно  решать  сложные  социально-
экономические, технологические, финансовые и валютные проблемы. 
Казахстан  должен  стремиться  к  эффективному  использованию  своего 
нефтегазового  потенциала.  Поскольку  наличие  крупных  запасов  сырья  – 
обязательное,  но  недостаточное  условие  для  развития  нефтегазовой  отрасли,  в 
связи,  с  чем  необходимо  определить  приоритетные  направления  ее  развития.  К 
таковыми можно отнести следующие направления: 
 Разведка  и  освоение  нефтегазовых  месторождений  (освоение  ресурсов 
казахстанского сектора Каспийского моря); 
 увеличение нефтедобычи; 
 модернизация  и  развитие  транспортной  инфраструктуры  для  обеспечения 
максимального доступа нефтегазодобывающих компаний к экспортным маршрутам; 
 реконструкция действующих и создание новых производств с опережающим 
строительством  мощностей  по  углублению  переработки  нефти,  повышению 
качества нефтепродуктов, производству катализаторов; 
 повышение эффективности нефтегазового комплекса; 

  Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (31) 2013 
~ 
28 ~
 
 
 развитие  законодательно-правовой  системы  в  нефтегазовом  комплексе, 
обеспечивающей привлечение инвестиций в нефтепереработку и нефтехимию. 
Таким  образом,  нефтедобывающая  отрасль  всегда  была  наиболее 
привлекательной  с  инвестиционной  точки  зрения и,  учитывая  тенденции  развития 
отрасли  в  долгосрочной  перспективе,  Казахстан  может  уверенно  ожидать 
увеличения  притока  инвестиций  и  войдет  в  ближайшей  перспективе  в  пятерку 
мировых стран по добыче нефти [2]. 
В  сложившейся  тенденции  особое  значение  приобретает  хранение  и 
транспортировка нефти и нефтепродуктов. 
Резервуары  для  хранения  нефти  и  нефтепродуктов  являются  одним  из 
основных  технологических  объектов  нефтебаз  и  магистральных  нефте-  и 
нефтепродуктопроводов. От их нормальной работы и эксплуатационной надежности 
зависит экологическая обстановка района, где расположена база хранения нефти и 
нефтепродуктов, центральные и промежуточные резервуарные парки, Обеспечение 
необходимого  уровня  надежности  стального  вертикального  цилиндрического 
резервуара  (РВС)  закладывается  на  этапах  проектирования  и  сооружения,  а 
осуществляется  -  на  этапе  эксплуатации.  Однако,  очевидно,  что  реально 
эксплуатируемый  резервуар  отличается  от  своего  проектного  варианта  и  условия 
его  эксплуатации  также  в  той  или  иней  мере  отличны  от  тех  условий,  которые 
предполагаются на стадии проектирования. Возрастная структура основных фондов 
является  одной  из  главных  проблем    -  около  55%  основных  фондов 
эксплуатируются свыше 20 лет [3].  
Таким 
образом, 
сочетание 
ряда 
причин: 
увеличение 
вместимости 
резервуаров, продолжение сооружения РВС методом рулонирования, необходимость 
строительства  резервуаров  в  районах  со  слабонесущими  водонасыщенными 
грунтами,  естественное  "старение"  основной  части  резервуаров,  ставит  проблему 
эксплуатационной  пригодности  резервуаров,  претерпевших  большие  осадки 
основания, а следовательно, и наличия простого и безопасного способа устранения 
этих  осадок.  Решение  этой  проблемы  позволит  избежать  больших  экономических 
потерь  как  от  недоиспользованных  объемов  существующих  парков  резервуаров  с 
одной  стороны,  так  и  потерь  от  экономического  и  экологического  ущерба  от 
возможных  аварий  при  отказе  от  своевременного  ремонта  оснований,  или  при 
выборе  научно  необоснованной  технологии  ремонта  резервуара.  Большой  вклад  в 
разработку  методов  расчета  напряженно-деформировонного  состояния  (НДС) 
резервуаров  внесли  ученые  А.М.Аизен  ,  А.С.Арэунян,  Н.И.Ашкинаэи,  В.Л.Березин, 
П.П,Бородавкин,  В,Б.Галеев,  А.Г.Гумеров, Б.А.Егоров,  К.К.Пономарев,  М.К.Сафарян, 
Г.С.Чолоян,  В.Е.Шутов,  их  усилиями  определены  основные  методы  прочностного 
расчета  РВС.  При  этом  большинство  работ  посвящены  исследованию  влияния 
неравномерных  осадок  основания  резервуара на изменение  НДС  всей  конструкции 
резервуара, в целом [4]. 
Одним  из  наиболее  опасных  дефектов,  нередко  приводящих  к  отказам  и 
разрушениям РВС,  является  неравномерная  осадка  его  наружного  контура. 
Проблема  оценки  изменения  напряженно-деформированного  состояния  в  стенке 
резервуара при развитии неравномерной осадки объясняется сложностью проблемы 
взаимодействия 
резервуаров, 
обладающих 
значительной 
цилиндрической 
жесткостью, 
с 
грунтовыми 
основаниями, 
сложенными 
различными 
по 
минералогическому  и литологическому составу,  прочности  и  деформируемости 
грунтами [5]. 

  Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (31) 2013 
~ 
29 ~
 
 
При  решении  задач  определения  напряженно-деформированного  состояния 
элементов  и  узлов  металлоконструкций  методом  конечных  элементов  основные 
матричные  выражения  получены  вариационными  методами.  В  основе  этих 
соотношений лежат уравнения теории упругости и пластичности. 
Для  рассматриваемого  класса  задач  проектирования  резервуаров  можно 
показать, 
что 
решение 
поставленной 
задачи 
совпадает 
с 
функцией, 
минимизирующей функционал [6]: 
 
   
   
   
dS
g
f
dV
p
f
dV
F
S
T
V
T
V
T








2
1
, 
         (1) 
 
где 
F
 - потенциальная энергия системы;  
V
 - реальный объем конструкции; 
 

 - вектор-столбец напряжений;  
S
 - граница конструкции;  
 
f
- вектор-столбец перемещений;  
 
p
 - распределенные массовые силы;  
 
g
 - распределенная внешняя нагрузка.  
 
Такая  трактовка  обусловливает  следующую  последовательность  проведения 
расчета методом конечных элементов.  
Разбиение  области  решения  на  конечные  элементы  является  первым  шагом 
на  пути  к  решению  задачи.  Этот  шаг  не  имеет  теоретического  обоснования. 
Считается,  что  искусство  разбиения  области  зависит  от  имеющихся  инженерных 
навыков и опыта моделирования. Однако наш опыт использования метода конечных 
элементов  показывает,  что  подробная  дискретная  модель  будет  приводить  к 
значительным  погрешностям  расчета,  если  даже  все  остальные  этапы  метода 
выполнены  с  достаточной  точностью.  С  другой  стороны,  разбиение  области  на 
очень мелкие конечные элементы приводит к резкому увеличению времени расчета 
даже  на  самых  современных  быстродействующих  персональных  компьютерах. 
Расчет  только  одной  из  тысяч  узловых  точек  исследования  может  продолжаться 
больше суток. 
Выбор типа, формы элемента и числа его узловых точек зависит от характера 
рассматриваемой задачи и от той точности решения, которую требуется обеспечить. 
При замене исходной конструкции резервуара его дискретной моделью необходимо 
было  обеспечить  как можно  большую  идентичность  в поведении конструкции и  ее 
модели. 
В качестве основных неизвестных в методе конечных элементов принимаются 
узловые  значения  искомой  функции  и  ее  частные  производные  до  m-го  порядка. 
Например, при решении краевых задач, описываемых уравнениями Лямэ (2m = 2), в 
качестве  неизвестных  в  каждой 
i
-й  узловой  точке  достаточно  принять  значение 
определяемой функции 
i
u
.  

  Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (31) 2013 
~ 
30 ~
 
 
Общее число неизвестных определяет число степеней свободы, от которого зависит 
точность  определения  искомой  функции  в  объеме  каждого  конечного  элемента,  а 
следовательно, и во всей области решения задачи.  
После  выбора  узловых  неизвестных  строится  аппроксимирующий  полином, 
который  выражает  закон  изменения  искомой  функции 


z
y
x
u
,
,
  по  объему 
конечного  элемента  через  значения  его  узловых  неизвестных.  Полученные 
полиномы  должны  обеспечить  непрерывность  функции 


z
y
x
u
,
,
  и  ее 
производных  до 


1

m
-го  порядка  включительно  во  всей  области  решения.  В 
каждом  из  полиномов  должны  содержаться  члены,  обеспечивающие  их  переход  к 
постоянным значениям при уменьшении размеров конечного элемента.  
Принято,  что  значение  непрерывной  функции 
 
e
u
  в  произвольной  точке 
e
-го 
конечного элемента аппроксимируется полиномом [6]: 
 
 
)
(
)
(
)
(
}
{
]
[
e
e
e
N
u


,                                             (2) 
 
где 
 
 
e
N
  -  матрица-строка,  элементы  которой  называются  функциями  формы 
конечного элемента;  
 
 
e

 - вектор узловых неизвестных 
e
-го конечного элемента.  
Тогда  аппроксимация  закона  изменения  искомой  функции 


z
,
y
,
x
u
  по  всей 
области решения определяется суммой  
 
 
}
{
]
[
}
{
]
[
)
,
,
(
1
)
(
)
(







M
e
e
e
N
N
z
y
x
u
,                          (3) 
 
где 
M
 - число конечных элементов дискретной модели;  
   
 
 
 
 
 


n
N
...
N
N
N
2
1

,  
 

 - вектор узловых неизвестных для всей совокупности конечных элементов.  
Система (3) является моделью искомой непрерывной функции.  
В  общем  случае  вектор 
 

  неизвестен.  В  вариационном  методе  конечных 
элементов  (МКЭ)  алгоритм  получения  основной  системы  разрешающих  уравнений 
основан на минимизации функционала (1) и состоит из следующих этапов [7]:  
Этап  1.  Выбор  функционала  F,  который  представляется  суммой  соответствующих 
функционалов, относящихся к отдельным конечным элементам: 
 
 



M
e
e
F
F
1
)
(
, 
                                          (4) 
 
где 
 
e
F
 - элементный вклад в функционал 
F
.  

  Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (31) 2013 
~ 
31 ~
 
 
Этап 2. Подстановка аппроксимирующего выражения (2) в уравнение функционала 
(1) и получение элементных вкладов в функционал 
F
.  
Этап  3.  Минимизация  по  вектору 
 

  функционала 
F
.  Для  этого  составляются 
уравнения [7]: 
 
0

)
e
(
)
e
(
}
{
F



.                                                  (5) 
 
Если  справедливо  выражение  (4),  то  суммирование  выражений  (5)  по  конечным 
элементам приводит к системе алгебраических уравнений [7]: 
 
 
 
   
,
0

 R
K

                                           (6) 
 
где 
 
K
 - матрица жесткости системы элементов; 
 
R
- вектор нагрузки.  
Этап 4. Решение системы (6), позволяющее определить неизвестный вектор 
узловых  значений.  Для  линейных  краевых  задач  система  уравнений  (6)  линейна. 
Для  ее  решения  обычно  используются  методы  Гаусса,  Холесского,  сопряженных 
градиентов и иногда, при очень высоком порядке системы, итерационные методы.  
Для  нелинейных  краевых  задач  система  (6)  нелинейна,  поскольку  матрица 
 
K
 
является  функцией  определяемых  неизвестных  параметров 
 

.  При  решении 
нелинейной  системы  алгебраических  уравнений  используются  итерационные 
методы.  
Пусть  вектор 
 

  найден.  Тогда  с  помощью  зависимости  (2)  можно  определить 
вектор 
 
 
e

  для  каждого  элемента.  Компоненты  напряженно-деформированного 
состояния,  которые  нас  также  могут  интересовать  при  решении  краевых  задач, 
определяются  либо  дифференцированием  полученного  выражения  для 
 
e
u
,  либо 
непосредственно  через  узловые  значения  искомых  производных,  если  последние 
входят в состав вектора 
 

.  
Метод  конечных  элементов  позволяет 
определить  действительные 
напряжения  и  деформации  в  элементах  и  узлах  конструкции  резервуара.  От 
правильного решения данной задачи зависят прочность, надежность, долговечность 
и весовое совершенство конструкции.  
В  соответствии  с  вышеизложенным  алгоритмом  МКЭ  на  первом  этапе 
анализа  конструкций  следует  получить  дискретную  модель.  Разбиение  области  и 
выбор типов применяемых в модели конечных элементов являются важным шагом, 
сильно  влияющим  на  эффективность  расчета.  Простейшая  форма  идеализации 
двумерной  задачи  состоит  в  использовании  треугольных  элементов  с  узлами  в 
вершине в соответствии с рисунком 1. 
Этот элемент использовался в числе первых [6]. Дальнейшие исследования 
показали,  что  использование  элементов  с  большим  числом  степеней  свободы 
снижает  общее  число  степеней  свободы  системы,  необходимое  для  достижения 
заданной  точности.  При  этом  возрастает  время  счета.  Различия  в  деталях  при 

  Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (31) 2013 
~ 
32 ~
 
 
формулировке 
элементов, 
искусство 
программирования 
и 
совершенство 
персональных компьютеров влияют на получаемые выводы.  
 
 
Рисунок 1 – Типичный треугольный симплекс-элемент 
 
В  данной  работе  в  качестве  базовых  элементов  используются  треугольные 
элементы.  При  решении  ряда  задач  применяются  изопараметрические  элементы 
первого  и  второго  порядков.  Для  определения  перемещений  произвольной  точки 
внутри  элемента  задаются  некоторой  функцией  формы,  которая  определяет  их 
однозначность  в  зависимости  от  известных  узлов  перемещений.  Эту  зависимость 
представим как [8]: 
 
 
 
 
 
e
N
f


, 
                                        (7) 
 
где 
  

uvw
f 
  -  вектор-столбец  перемещений  некоторой  точки  внутри 
элемента; 
 
 
e

-  вектор-столбец  узловых  перемещений  элемента, 
 
 


m
e



...,
,
1

;  
 
 
N
- матрица формы;  
m
- число степеней свободы элемента.  
Каждая компонента матрицы 
 
N
 есть функция координат точек внутри элемента и 
равняется  нулю  за  пределами  данного  элемента.  Опишем  процесс  построения 
интерполирующих полиномов, которыми аппроксимируется искомая функция 
 
f
 в 
объеме конечного элемента.  
Треугольный симплекс-элемент. Допустим, что перемещения точек внутри элемента 
выражаются полиномом первого порядка от их координат х и у [8]: 
 

  Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (31) 2013 
~ 
33 ~
 
 









y
x
v
y
x
u
6
5
4
3
2
1






. 
                                      (8) 
 
Тогда выражение для перемещений произвольной точки внутри элемента имеет вид  
 
 


 
 
e
k
j
i
N
I
N
I
N
I
f





,                                       (9) 
 
где 
I
 - единичная матрица размерности 22, а  
 
S
y
c
x
b
a
N
i
i
i
i
2
'



.                                             (10) 
 
Здесь 
S
 - площадь элемента, 
.
,
,
j
k
i
k
j
i
j
k
k
j
i
x
x
c
y
y
b
y
x
y
x
a






  
Выбранная  функция  перемещений  автоматически  гарантирует  непрерывность 
перемещений между смежными элементами.  
Описанный  интерполирующий  полином  обеспечивает  непрерывность  функции 


z
,
y
,
x
u
  и  ее  производных  до 


1

m
-го  порядка  включительно.  Здесь  2m  - 
порядок определяющего дифференциального уравнения.  
При соблюдении этих условий в дальнейшем можно воспользоваться зависимостью 
(5.4)  



M
e
)
e
(
F
F
1
, 
где 
 
e
F
  -  значение  функционала 
F
  в  замкнутом  объеме 
e
-го  конечного 
элемента.  
Минимизируя функционал по всем элементам вектора всей области, получаем  
 
0
}
{
}
{
1
)
(
)
(




N
e
e
e
F
F






. 
                                (11) 
 
Для  линейных  задач  функционал  является  квадратичной  функцией  от 
u
  и  ее 
производных и, следовательно, 
e
-й член правой части (11) принимает вид 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e
e
e
e
e
e
e
e
R
C
M
K
F













, 
                              
(12) 
 
где 
 
 
e
K
- матрица жесткости,  

  Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (31) 2013 
~ 
34 ~
 
 
 
 
e
R
 - вектор узловых усилий.  
Используя зависимости Коши и Гука, можно получить выражения для компонентов 
деформации 
 

 и напряжений 
 

 
e
-го элемента: 
 
 
 
 
 
 
 
 
,
,




D
B
e


 
                                     (13) 
 
где 
 
B
  -  матрица  дифференциальных  операторов,  определяемых  содержанием 
зависимостей Коши;    
 
D
- матрица параметров, которыми характеризуются упругие свойства материала 
тела в пределах объема рассматриваемого конечного элемента.  
Подставим теперь уравнения для перемещений (7), деформаций и напряжений (13) 
в  функционал  (1)  и,  используя  выражение  (12),  получим  соотношения  для 
определения матрицы жесткости конечного элемента [8]: 
 


V
T
e
dV
B
D
B
K
]
][
[
]
[
]
[
)
(
;                                   (14) 
 
матрицы масс 
 
 
 
   
,
dxdy
N
N
t
M
T
e



                               (15) 
 
где 

 - массовая плотность материала;   
матрицы демпфирования  
 
 
 
   
;
dxdy
N
N
t
C
T
e



                               (16) 
 
узловых сил, обусловленных распределенными массовыми силами: 
 
dV
p
N
R
V
T
e
p



}
{
]
[
}
{
)
(
;                                  (17) 
 
сил, обусловленных распределенной внешней нагрузкой: 
 
dS
g
N
R
S
T
e
g



}
{
]
[
}
{
)
(
;                                  (18) 
 
 
узловых  сил,  соответствующих  начальным  напряжениям  {

0
}  и  деформациям 
{

0
}: 

  Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (31) 2013 
~ 
35 ~
 
 
 
dV
B
R
V
T
e


}
{
]
[
}
{
0
)
(


, 
                             (19) 
dV
D
B
R
V
T
e



}
]{
[
]
[
}
{
0
)
(


.                                  (20) 
 
Опишем  процедуры  построения  матрицы  жесткости  рассматриваемого  элемента  в 
соответствии с выражением (14). Для того чтобы записать закон Гука для плоской 
задачи в матричной форме (13), представим матрицу упругости в виде  
 















2
1
0
0
0
1
0
1
1
]
[
2




E
D
.                                          (21) 
 
Такая  запись  подразумевает,  что  деформации  объединены  в  вектор  в  следующем 
порядке: 
 


xy
y
x





.  
Матрица 
 
B
получается  при  помощи  дифференцирования  соотношений  (15)  и  ее 
можно представить в виде [8] 
 
 


k
j
i
B
B
B
B 
 
 
или  











k
k
j
k
j
k
j
i
i
i
j
i
b
c
b
c
c
b
c
b
c
c
b
b
S
B
0
0
0
0
0
0
2
1
]
[
. 
                           (22) 
 
Отметим,  что  в  этом  случае  матрица 
 
B
  не  зависит  от  координат  точек  внутри 
элемента и, следовательно, деформации в нем постоянны.  
Подставив теперь матрицы 
 
B
 и 
 
D
 в выражения (14) и (20) и проинтегрировав 
по объему конечного элемента, получим формулу для подсчета матрицы жесткости 
треугольного элемента  
 
 
 
    
,
St
B
D
B
K
T
e

 
                              (23) 
 
где S - площадь элемента;  
t - толщина элемента, и силы, обусловленные начальной деформацией,  
 

  Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (31) 2013 
~ 
36 ~
 
 
t
S
D
B
R
T
e



}
]{
[
]
[
}
{
0
)
(


. 
                             (24) 
 
Имея  матрицы  жесткости  отдельных  элементов,  можно  получить  глобальную 
матрицу жесткости рассматриваемой области 
 
e
K
. Для ее получения используется 
процедура 
объединения 
по 
элементам, 
т. 
е. 
элементная 
матрица 
 
 
e
K
прибавляется  к  системной  матрице 
 
e
K
  сразу  же  после  вычисления. 
Вектор-столбец узловых сил получается аналогичным образом.  
Часто  при  определении  НДС  изделия  вектор  нагрузки 
 
R
  формируется 
только  из  узловых  сил,  обусловленных  начальными  деформациями 
)
e
(
}
R
{

и 
зависимостью  упругих  параметров  материала  от  температуры 
)
(
}
{
e
R

,  а  также 
внешней  нагрузки 
)
(
}
{
e
g
R
.  Тогда,  после  объединения  конечных  элементов, 
решение  задачи  сводится  к  определению  неизвестных  перемещений  из  системы 
уравнений равновесия [8]: 
 
0
}
{
}
{
]
[
}
{
]
[
}
]{
[
2
2








F
t
M
t
C
K



,                          (25) 
 
В  результате  решения  системы  (25)  в  каждый  момент  времени 
t
  будем  иметь 
приращения  перемещений  на  данном  нагружении 
 

d
.  Приращение  деформаций 
конечного  элемента  определяется  в  виде 
 
 
 
 
e
d
B
d



  и  состоит  в  общем 
случае  из  приращений  упругой  деформации 


e
d
  и  приращений  термической 
деформации 


T
d
: 
 
  
 

T
e
d
d
d





. 
                                (26) 
 
 
Здесь  
 
 
dT
T
D
d
D
d
e
}
{
}
{
]
[
}
{
)
1
(
1









,                     (27) 
 
{d
T

}=

{I}dT. 
                                     (28) 
 

  Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (31) 2013 
~ 
37 ~
 
 
Для плоской задачи {I}={1 1 0}
T
, а для объемной  
  

T
I
0
0
0
1
1
1

. Слагаемое 
 
dT
T
D
}
{
)
1
(




 учитывает зависимость модуля упругости Е от температуры; 

 - 
коэффициент линейного теплового расширения материала.  
Для определения приращений напряжений воспользуемся законом Гука  
 
}
{
})
{
})
]({
[
}
{




E
dE
d
d
D
d
T



. 
                        (29) 
 
Суммируя  полученные  приращения  узловых  перемещений,  деформаций  и 
напряжений  на  данном  этапе  нагружения  с  результатами  на  предыдущем  шаге, 
получим упругое решение задачи: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
,
,
,
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
d
d
d


















 
                                   (30) 
 
где 
i
 - номер этапа нагружения. 
Обычное решение (30), полученное МКЭ, является приближением к истинному или 
точному  решению  задач  теории  упругости  и  является  вынужденной  заменой  при 
невозможности исследовать конструкцию путем точного решения [6-8].  

жүктеу/скачать 1,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: