Пайдаланған әдебиеттер тізімі

78 
 
ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ҒЫЛЫМДАРЫ МӘСЕЛЕСІ 
ВОПРОСЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК 
 
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ 
РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОЙ ОБРАТНОЙ  
ЗАДАЧИ АКУСТИКИ 
 
Тюлепбердинова Г.А. - 
к. ф-м. н., ст. преподаватель Каз НПУ им. Абая 
 
1.
 
Постановка задачи 
Рассматривается одномерная обратная задача акустики [1] 
      
,
0
,
0
,
)
(
)
(
2





t
x
u
x
x
u
u
x
xx
tt


                                               (1) 
              
,
0
,
0
|
0



x
u
t
                                                          (2) 
         
,
0
),
(
|
0




t
t
u
x
x

                                                     (3) 
              
.
0
),
(
|
0




t
t
g
u
x
                                                        (4) 
где  полагается 
).
,
0
[
,
0
,
0
)
(
1




C
x
x


  Требуется  найти  решение  прямой 
задачи    (1)-(3) 
)
,
( t
x
u
и  акустическую  жесткость  среды 
)
(x

  по  дополнительной 
информации  (4). 
Известно [2], что решение прямой задачи (1)-(3) имеет вид 
),
,
(
~
)
(
)
(
)
,
(
t
x
u
x
t
x
s
t
x
u




                                               (5) 
где   
)
,
(
~
t
x
u
  -  непрерывная  для 
0

x
  и  достаточно  гладкая  для 
0


x
t
 
функция, 




,
)
0
(
)
(
)
(



x
x
s
- тэта-функция Хевисайда. 
Подставляя    (5)  в  систему  (1)-(4),  получим  эквивалентную  ей  обратную 
задачу относительно 
)
,
( t
x
u
и 
)
(x
s
 
      
0
,
)
(
)
(
2





x
t
u
x
s
x
s
u
u
x
xx
tt
                                               (6) 
              
,
0
,
0
|
0



t
u
x
x
                                                          (7) 
         
,
0
),
(
)
0
,
(



x
x
s
x
x
u
                                                     (8) 
              
.
0
),
(
|
0




t
t
g
u
x
                                                        (9) 
2.
 
Конечно-разностная схема решения задачи 
Введем сетку 
.
,
kh
t
ih
x


 Представим уравнение (6) в конечно-разностном 
виде (3) 
,
2
)
(
)
(
2
2
(
2
(
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
h
s
s
s
s
h
s
s
h
u
u
u
h
u
u
u
k
i
k
i
i
i
i
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i




















            (10) 
откуда, выразив 
k
i
u
1

 получим 
.
2
2
)
)(
(
1
1
1
1
1
1
1
1












i
i
k
i
i
i
k
i
k
i
k
i
s
s
u
s
s
u
u
u
                            (11) 
Аппроксимируем граничное условие (7) [4] 
)
(
0
2
2
0
2
2
2
0
0
1
h
x
u
h
x
u
h
u
u
x
x
k
k










 

79 
 
)
(
0
)
0
(
)
0
(
2
2
2
2
0
2
1
0
0
1
0
2
0
h
x
u
s
s
h
u
u
u
h
u
x
k
k
k
k


















 
).
(
0
2
2
1
0
1
0
h
u
u
k
k





 
Таким  образом,  предполагая,  что  все  рассматриваемые  функции 
достаточно  гладкие,  запишем  обратную  задачу  (6)-(9)  в  конечно-разностном 
виде 
,
2
2
)
)(
(
1
1
1
1
1
1
1
1












i
i
k
i
i
i
k
i
k
i
k
i
s
s
u
s
s
u
u
u
                            (12) 
,
2
1
0
1
0
1




k
k
k
u
u
u
                                                (13) 
,
i
i
i
s
u

                                                         (14) 
.
0
k
k
g
u

                                                         (15) 
 
3.
 
Вывод дискретного аналога формулы Даламбера 
Используя известную методику [5], получим дискретный аналог формулы 
Даламбера. Сдвигая индексы в (12) получим цепочку равенств 
,
1
1
2
1
2
1
2
1
1












k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
Q
h
u
u
u
u
 
,
2
2
2
1
3
1
2
3
2
2
1














k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
Q
h
u
u
u
u
 

 
,
2
1
1
1
1
j
k
j
i
j
k
j
i
j
k
j
i
j
k
j
i
j
k
j
i
Q
h
u
u
u
u


















 
2


i
j

 
,
2
2
2
2
1
3
2
1
2
2
3














i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
Q
h
u
u
u
u
 
,
1
1
2
1
0
2
1
1
1
2













i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
Q
h
u
u
u
u
 
Откуда получим 
.
1
2
1
0
1
1
1













i
j
j
i
k
j
i
k
i
k
k
i
k
i
Q
h
u
u
u
u
                        (16) 
Учитывая (16) из (12) получим цепочку равенств 
,
2
1
2
1
1
1
1














i
j
j
i
k
j
i
k
i
k
k
i
k
i
Q
h
g
g
u
u
 
,
2
1
1
2
2
3
1
2
1
1

















i
j
j
i
k
j
i
k
i
k
k
i
k
i
Q
h
g
g
u
u
 
 
 
,
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1






















m
i
j
m
j
i
k
j
m
i
k
m
i
k
m
k
m
i
m
k
m
i
Q
h
g
g
u
u
 
1


i
m

 

80 
 
,
2
1
1
2
2
1
3
1
1
2
















j
j
i
k
j
i
k
i
k
i
k
i
k
Q
h
g
g
u
u
 
.
2
1
1
1
0
1










i
k
i
k
i
k
i
k
g
g
u
u
 
Откуда получим формулу Даламбера в дискретном виде 
,
2
1
0
1
2
2
1
1
1
















i
m
m
i
j
m
j
i
k
j
i
k
i
k
k
i
Q
h
g
g
u
                    (17) 
или, сделав замену s = i - m, получим 
.
2
1
1
2
2
1
1
1














i
s
s
j
s
j
i
k
j
i
k
i
k
k
i
Q
h
g
g
u
                  (18) 
 
4. Метод обращения разностной схемы 
 
Подставляя 
1


i
k
 в выражение (12) и учитывая (14), получаем  формулу 
вычисления неизвестной функции [6] 
1
1
2
1
2
1
1
2
2












i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
u
u
s
s
s
u
s
s
.                                        (19) 
Вычисления  будем  проводить  от  границы 
0

i
  вдоль  характеристик,  как 
показано  на  схеме  рис.1.  Сначала  посчитаем 
,
0
s
  затем,  зная  значение 
,
2
0
u
 
вычисляем 
1
s
. Далее из 
4
0
u
, вычисляя вдоль характеристики, определяем 
2
s
 и так 
далее. 
 
Рис.1: Обратная задача           Рис.2: Прямая задача 
                                 
Алгоритм решения дискретной задачи: 
1.
 
Вычисляем по формуле (15) значение 
.
0
0
0
0
g
u
s


 
2.
 
Вычисляем
1
s
: 
(a)
 
по формуле (15) значение
2
2
0
g
u

; 

81 
 
(b)
 
вычисляем по формуле (13) значение 
.
2
0
0
2
0
1
1
1
u
u
u
s



 
3.
 
Вычисляем 
2
s
: 
(a)
 
по формуле (15) значение 
4
4
0
g
u

; 
(b)
 
вычисляем по формуле (13) значение 
2
2
0
4
0
3
1
u
u
u


; 
(c)
 
вычисляем по формуле (19) значение 
2
s
. 
4.
 
Вычисляем
3
s
: 
(a)
 
по формуле (15) значение 
6
6
0
g
u

; 
(b)
 
вычисляем по формуле (13) значение 
2
4
0
6
0
5
1
u
u
u


; 
(c)
 
вычисляем по формуле (12) значение
4
2
u
; 
(d)
 
вычисляем по формуле (19) значение 
3
s
. 
5.
 
 И так далее, вычисляем 
N
i
s
i
,
4
,

: 
(a)
 
по формуле (15) значение 
i
i
g
u
2
2
0

; 
(b)
 
вычисляем по формуле (13) значение 
2
2
2
0
2
0
1
2
1




i
i
i
u
u
u
; 
(c)
 
вычисляем по формуле (12) вдоль характеристики значения 
функций 
1
1
2
2
2
,...,



i
i
i
u
u
; 
(d)
 
вычисляем по формуле (19) значение 
i
s
. 
 
5. Вычислительный эксперимент 
Для  проверки  работы  алгоритма  по  решению  обратной  задачи  зададим 
точную функцию 
)
(x
s
, затем решим прямую задачу, возьмем след решения при 
0

x
, тем самым определим функцию 
)
(t
g
 дополнительную информацию. 
Опишем схему решения прямой задачи: 
,
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1












k
i
i
i
i
k
i
i
k
i
k
i
u
s
s
s
u
s
u
u
                            (20) 
,
2
1
0
1
1
0




k
k
k
u
u
u
                                                (21) 
,
i
i
i
s
u

                                                         (22) 
.
0
k
k
g
u

                                                        (23)        
Здесь  по  известным 
i
s
,  вычисляя  вдоль  характеристик,  определяем 
i
g
 
(рис.2). 
 
6. Метод итераций Ландвебера 
Для  проверки  работы  алгоритма  по  решению  обратной  задачи  зададим 
точную  функцию  s(x),  затем  решим  прямую  задачу  методом  обращения  раз-
ностной схемы, возьмем след решения при х = 0, тем самым определим функ-
цию  g(t)  -  дополнительную  информацию.  Теперь  опишем  вычислительные 
эксперименты для различного вида функций s(x) [7]. 
6.1    Линейная функция s(x), параметр шума 
01
.
0


 
Для следующих параметров N = 200, l= 1, h = l/N = 0.005 с функцией вида 
s(x)  =  -  0.5х  -  1  была  решена  прямая  задача  и  получена  функция  g(t).  После 

82 
 
добавления  случайной  ошибки  функция  g(t)  приняла  вид  результаты 
вычислительного эксперимента представлены на рисунке 3.  
 
 
Обозначения: сплошная линия - точное 
решение  s(x);  точечная  линия  - 
приближенное решение,  
Рисунок  3  -  Графики  восстановления 
параболической функций s(x) 
при возмущении 
0019
.
0
~


s
s
 
 
Обозначения:  сплошная  линия  - 
точная  функция  g(t);  точечная 
линия  -  возмущенная  функция 
дополнительной информации 
Рисунок  4  -  График  функции 
дополнительной информации g(t) 
для  периодического  типа  решения 
при 
014
.
0
~


g
g
 
 
Обозначения: сплошная линия - точное 
решение  s(x);  точечная  линия  - 
приближенное решение,  
Рисунок 
5 
- 
Восстановление 
периодической  функции  s(x)  при 
023
.
0
~


s
s
 
 
Обозначения:  сплошная  линия  - 
точная  функция  g(t);  точечная 
линия  -  возмущенная  функция 
дополнительной информации 
Рисунок  6  -  График  функции 
дополнительной  информации  g(t) 
для ступенчатого типа решения при 
003
.
0
~


g
g
 

 
 
 
Обозначения: сплошная линия - точная 
функция 
s(x); 
точечная 
линия 
приближенное решение,  
Рисунок  7  -  Восстановление  функции 
s(x) методом МОРС при 
02
.
0
~


s
s
 
 
 
 
Обозначения:  сплошная  линия  - 
точная  функция  g(t);  точечная 
линия 
возмущенная 
функция 
дополнительной информации 
Рисунок  8  -  График  функции 
дополнительной  информации  g(t) 
для ступенчатого типа решения при 
01
.
0
~


g
g
 

84 
 
 
 
Обозначения: сплошная линия - точная 
функция 
s(x); 
точечная 
линия 
приближенное 
решение, 
восстановленное методом МОРС 
Рисунок  9  -  Восстановление  функции 
s(x) методом МОРС при 
02
.
0
~


s
s
 
 
Обозначения:  сплошная  линия  - 
точная функция s(x); пунктирная ли-
ния  -  приближенное  решение, 
восстановленное методом АМиЛ 
Рисунок 10 - График восстановления 
периодической функции s(x) 
методом АМиЛ 
 
Рисунок 11 – График зашумленной 
функции 
)
(
3
x
f
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 12 – График функционала  J
2
(q
n
) 

 
85 
 
 
Обозначения:  сплошная  линия  -  значения  функционала 
);
(
1
n
q
J
  пунк-
тирная  линия  -  значения  функционала 
);
(
2
n
q
J
  точечная  линия  -  значения 
функционала 
);
(
3
n
q
J
 
Рисунок 13 - График функционала метода АМиЛ 
 
 
Обозначения: сплошная линия - точная функция s(x); пунктирная ли-
ния - приближенное решение, восстановленное методом АМиЛ 
Рисунок 14 - График восстановления периодической функции s(x) 
 
 
Обозначения: сплошная линия - значения функционала 
);
(
1
n
q
J
 
пунктирная линия - значения функционала 
);
(
2
n
q
J
 точечная линия - 
значения функционала 
);
(
3
n
q
J
 
 

жүктеу/скачать 1,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: