Халықаралық ғылыми-тәжірибелік конференция материалдары

353
 
 
получены. Для проверки эффективности предлагаемого алгоритма расщепления 
(25)-(29) планируется численный эксперимент на модельном примере. 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1
 
Роуч П.  Вычислительная гидродинамика.-М.: Мир, 1980, -616 с. 
2
 
Том  А.,  Эйплт  К.  Числовые  расчеты  полей  в  технике  и  физике.-М.: 
Энергия, 1964. -208 c. 
3
 
Вабищевич П.Н. Реализация краевых условий при решении уравнений 
Навье-Стокса  в  переменных«функция  тока-вихрь  скорости»  //Докл.АН  СССР, 
1983, Т.273(1), -С.22-26. 
4
 
Данаев  Н.Т.,  Смагулов  Ш.  Об  одной  методике  численного  решения  
уравнений Навье-Стокса в переменных 
)
,
(
 //Моделирование в механике, 1991, 
Т.5(22), №4, -С.38-47. 
5
 
Воеводин  А.Ф.  Устойчивость  и  реализация  неявных  схем  для 
уравнений  Стокса  //Ж.  вычисл.  матем.  и  матем.  физ.,  1993,  Т.33,  №1,  -С.119-
130. 
6
 
Воеводин  А.Ф.  Об  устойчивости  разностных  граничных  условий  для 
функции  вихря  на  твердой  стенке  //  Ж.  вычисл.  матем.  и    матем.  физ.,  1998, 
Т.38, №5, -С.855-859. 
7
 
Аменова  Ф.С.Оценка  скорости  сходимости  итерационных  алгоритмов 
для  уравнений  несжимаемой  жидкости  в  переменных 
,
//  Вестник  КазНУ 
им.аль-Фараби, 2011, №4(71), - С. 41-47. 
8
 
Danaev  N.,  Amenova  F.  About  one  Method  to  Solve  Navier-Stokes  in 
Variables 
)
,
(
  //  Advances  in  Mathematical  and  Computational  Methods, 
2013,№3:2, 72-78 рр. 
9
 
Weinane E., Jian-Guo Liu Vorticity Boundary Condition and Related Issues 
for Finite Difference Schemes // Journal of ComputionalPhysics, 1996, №124,68-382 
рр. 
10
 
Gottlieb  S.,Tone  F.,  Wang  C.,  WangX.,  Wirosoetisno  D.  //  Long  Time 
Stability  of  a  Classical  Efficient  Scheme  for  Two-dimensional  Navier-Stokes 
Equations, SIAM J. Numer. Anal., 2012, №50(1), 126–150 рр. 
11
 
Иванов  К.С.  Численное  решение  нестационарных  уравнений  Навье-
Стокса // Вычислительные технологии, 2008, №13(4), -С.35-40. 
12
 
Самарский А.А. Теория разностных схем. -М.: Наука, 1983. -616 с. 
 
ӘОЖ 517.(075.8) 
ЧАМАКАЕВА А.Х., ЕРҒАЛИЕВ Е.Қ. 
Р. Марсеков орта мектебі» КММ, Қасым Қайсенов кенті, Ӛскемен қ., 
Қазақстан 
С. Аманжолов атындағы ШҚМУ, Ӛскемен қ., Қазақстан  
 
ҤШІНШІ ЖӘНЕ ТӚРТІНШІ ДӘРЕЖЕЛІ АЛГЕБРАЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ 
ШЕШУДЕ КОМПЛЕКС САНДАР ТӘСІЛІН ҚОЛДАНУ 
 
Мектептегі  математика  курсы  бағдарламасында  сандар  теориясы  натурал 
сандар,  бҥтін  сандар,  рационал  және  иррационал  сандар  жиындарында,  яғни 
нақты сандар жиынында енгізіліп, бҥкіл сан осінде кескінделетіні белгілі. Бірақ, 

354
 
 
сегізінші  сыныптың  ӛзінде  ақ  теріс  таңбалы  дискриминанты  болатын 
квадраттық  теңдеулерді  шешу  барысында  нақты  сандар  қоры  «таршылық» 
таныта бастайды. Сол себепті, теріс сандардың квадрат тҥбірлерінің мағынасы 
болатындай  нақты  сандар  қорын  комплекс  сандардың  кӛмегімен  толықтыру 
қажет болды. 
Комплекс  сандар  ҧғымы  оқушылардың  санақ  жҥйесі  жайлы  білімдерін 
шыңдап,  алгебралық  және  геометриялық  мазмҧндағы  кӛптеген  есептерді 
шешуге  мҥмкіндік  беріп,  кез-келген  дәрежедегі  алгебралық,  сонымен  қатар, 
параметрлі  теңдеулер  дағды  қалыптастыратындықтан  жҧмыстың  негізгі 
комплекс сандарға қатысты таңдауды дҧрыс санадық. 
0
3
2
2
1
3
0
a
x
a
x
a
x
a
  тҥріндегі  кубтық  теңдеудің  шешімін  нақты  мысалда 
қарастырайық.  
Мысал 1. 
0
13
6
6
2
3
x
x
x
 теңдеуін шеш. 
Шешуі.  Берілген  теңдеуді 
2
3
0
1
y
a
a
y
x
  ауыстыруының  кӛмегі  арқылы 
белгісіз  айнымалының  квадраты  болмайтындай 
0
3
q
py
y
  тҥріндегі  теңдеуге 
келтіреміз. Яғни  
0
13
2
6
2
6
2
2
3
y
y
y
 
теңдеуі шығады. 
Жақшаны  ашып,  бірыңғай  мҥшелерді  біріктіргеннен  соң 
0
9
6
3
y
y
 
тедеуіе келеміз, мҧндағы 
6
p
, 
9
q
 және 
.
2
y
x
 
Кубтық теңдеудің тҥбірі ҥшін 
 
0
3
q
py
y
                                                            (1) 
тҥріндегі  Кардано  формуласы  орынды.  Шын  мәнінде  бҧл  формуланы 
Ферро – Тартальи – Кардано формуласы деп атауға болады.    
Алғаш  рет  келтірілген  кубтық    теңдеуді  Болон  университетінің 
профессоры  Сципион  дель  Ферро  XV  ғасырдың  соңында  шешкен.  Содан  соң 
1535 жылы бҧл формулаларды Николо Тартальей қорытып шығарды. 
Кардано формуласы келесі тҥрде болады: 
i
i
i
v
u
y
, 
)
3
,
2
,
1
(i
 
мҧндағы 
3
2
1
,
,
u
u
u
 –радикал мәні 
;
3
2
2
27
4
2
3
3
2
3
3
2
p
q
q
p
q
q
u
     
.
3
i
i
u
p
 
Ал 
3
2
1
,
,
y
y
y
 тҥбірлері оңайырақ табылады.  
1
u
  –  дегеніміз  u    радикалының  бір  (кез-келген)  мәні  болсын.  Онда  қалған 
екеуінің мәндерін келесі тҥрде анықтауға болады:   
1
1
2
e
u
u
; 
2
1
3
e
u
u
 
мҧндағы e1 және е2 – (1) тҥріндегі кубтық теңдеудің тҥбірлері, яғни   
;
2
3
2
1
1
i
e
 
.
2
3
2
1
2
i
e
 
Егер де  
,
3
i
i
u
p
 тҥрінде анықтасақ, онда  
2
1
2
e
v
v
; 
1
1
3
e
v
v
. 

355
 
 
Шынында да,  
.
2
3
2
1
1
3
3
3
2
1
1
1
1
1
1
2
2
e
i
e
u
p
e
u
p
u
p
 
Дәл осылайша  
1
1
3
e
v
v
 теңдігі дәлелденеді.  
Алынған 
i
u
  және 
i
v
  мәндерін   
i
i
i
v
u
y
, 
)
3
,
2
,
1
(i
  формуласына  қойып, 
келесі формулаларды аламыз: 
1
1
1
v
u
y
; 
1
1
1
1
2
2
3
2
1
v
u
i
v
u
y
; 
1
1
1
1
3
2
3
2
1
v
u
i
v
u
y
. 
Біздің жағдайымызда: 
.
2
8
4
49
2
9
3
2
2
3
3
3
3
2
p
q
q
 
Осылайша 
2
1
u
 деп алып, 
;
1
3
i
i
u
p
 мәнін табамыз. 
Олай болса, 
3
1
y
, 
2
3
2
3
2
i
y
, 
2
3
2
3
3
i
y
. 
Соңғы теңдіктерден 
2
y
x
 екенін ескеріп, алатынымыз:   
3
1
x
, 
2
3
2
7
2
i
x
, 
2
3
2
7
3
i
x
. 
Жауабы: 
3
1
x
; 
2
3
2
7
2
i
x
; 
2
3
2
7
3
i
y
. 
Келтірілген кубтық   
 
0
3
q
px
x
                               
 
                   (2) 
теңдеудің дискриминанты  
3
2
3
2
p
q
D
 
формуласымен анықталады. 
Келесі жағдайлар кездеседі: 
а)  егер
0
D
  болса,  онда  (2)  теңдеуінің  бір  нақты  және  екі  тҥйіндес 
комплекс тҥбірлері болады; 
б) егер 
0
D
 болса, онда (2) теңдеуінің екеуі ӛзара тең болатын ҥш нақты 
тҥбірлері болады;  
в) егер 
0
D
, онда (2) теңдеуінің әртҥрлі ҥш нақты тҥбірлері болады.  
Олай болса қандай жағдайда болсын нақты коэффициентті  (2) теңдеуінің 
тым болмағанда бір нақты тҥбірі болады.   
Енді  4-дәрежелі  теңдеуді  Феррари  тәсілімен  шешуді  нақты  мысалда 
қарастырайық.    
Мысал 2. 
0
10
5
3
2
3
4
x
x
x
x
 теңдеуін шеш. 
Шешуі. 

356
 
 
4
x
және 
3
x
 қосылғыштарын теңдеудің сол жағында қалдырамыз: 
10
5
3
2
3
4
x
x
x
x
. 
Алынған теңдеудің сол жағын толық квадратқа дейін толықтырсақ: 
10
5
3
4
1
4
1
2
2
2
3
4
x
x
x
x
x
x
, 
немесе 
 
.
10
5
4
13
2
2
2
2
x
x
x
x
                                                (3) 
(3) теңдеуіне r параметрін енгіземіз: 
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r
x
x
r
x
x
r
x
x
 
Қарапайым тҥрлендіруден кейін алатынымыз:  
 
),
10
(
)
5
(
4
13
2
2
2
2
2
2
r
x
r
x
r
r
x
x
                               (4) 
r параметрінің мәнін (3) теңдеуінің оң жағының дискриминанты нӛлге тең 
болатндай етіп таңдап аламыз.   
.
105
70
12
8
4
13
2
)
10
(
4
)
5
(
2
3
2
2
r
r
r
r
r
r
D
 
D  дискриминанты нӛлге тең болады, егер де r саны келесі теңдеудің тҥбірі 
болса:   
0
105
70
12
8
2
3
r
r
r
; 
0
35
4
3
2
2
r
r
. 
Біздің  жағдай  ҥшін, 
0
D
,  егер 
2
3
r
  болса. 
2
3
r
  мәнін  (4)  теңдеуіне 
апарып қойсақ: 
4
49
2
7
4
1
2
3
2
2
2
2
x
x
x
x
, 
немесе 
2
2
2
2
7
2
1
2
3
2
x
x
x
. 
Бҧдан, 
0
2
7
2
1
2
3
2
2
2
2
x
x
x
, 
 
0
5
2
2
2
x
x
x
, 
 
0
2
2
x
x
 немесе 
0
5
2
x
. 
Олай болса,  
i
x
2
7
2
1
1
; 
i
x
2
7
2
1
2
; 
5
3
x
; 
.
5
4
x
 
Жауабы: 
i
2
7
2
1
; 
i
2
7
2
1
; 
5
; 
.
5
 

357
 
 
Аталған жҧмыста  ҥшінші және тӛртінші дәрежелі алгебралық теңдеулерді 
шешуде  комплекс  сандар  тәсілінің  қолданылуы  мен  олардың  қасиеттері 
қарастырыпып,  нақты  мысалдардың  негізінде  теориялық  материалдар 
бірізділікпен баяндалды. Бҧл жерде әр есептің ӛзіндік ерекшеліктерін ескеру – 
кӛптеген  әдіс  тәсілдерінің  ішінен  ең  тиімді,  оңай,  дҧрыс  тҥрін  таңдап  алуға 
ықпалын  тигізетіндігін  атап ӛткен  жӛн.  Есептің  шартына нақты  талдау  жасау, 
оны дҧрыс шешудің бірден-бір жолы болып табылады. 
 
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 
1.
 
Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М.: 
Просвещение, 1975. 
2.
 
Гордиенко  Н.А.,  Беляева  Э.С.,  Фирстов  В.Е.,  Серебрякова  И.В. 
Комплексные  числа  и  их  приложения:  Учебное  пособие.  –  Воронеж:  ВГПУ, 
2004. 
3.
 
Орысша-қазақша  терминологиялық  сӛздік  –  математика.  «Рауан» 
баспасы, Алматы, 1999. 
 
ӘОЖ 510.47 
ШАКЕНОВА М.Е., ИСЛЯМОВА Г.Н.  
Ӛскемен қаласы әкімдігінің «№26 орта мектебі» КММ, Ӛскемен қ., 
Қазақстан 
 
ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ПӘНІНДЕ ЖАҢА ОҚЫТУ ТЕХНОЛОГИЯСЫН 
ҚОЛДАНУ МЕН ӚЗЕКТІ МӘСЕЛЕЛЕРІ 
 
Қазақстан  Республикасының  Президенті  Н.Ә.  Назарбаев  Қазақстан 
халқына  арнаған  Жолдауында:  «Бәсекеге  қабілетті  дамыған  мемлекет  болу 
ҥшін біз сауаттылығы жоғары елге айналуымыз керек.Қазіргі әлемде жай ғана 
жаппай  сауаттылық  жеткіліксіз  болып  қалғалы  қашан.  Біздің  азаматтарымыз 
ҥнемі  ең  озық  жабдықтармен  және  ең  заманауи  ӛндірістерде  жҧмыс  жасу 
машығын меңгеруге дайын болуға тиіс»-деген болатын. 
Олай болса әлемдік бәсекелестік заманда әрбір адамның білім санасын, 
қабілеттік  деңгейін,іскерлік  мҥмкіндігін  анықтайтын  адам  ресурстарын 
дамыту кҥн тәртібіне ӛткір қойып отыр. 
Шебер  педагог  білімді,  тәжірибесі  мол,  жан-жақты  бола  отырып, 
оқушыларды  жеке  тҧлға  етіп  қалыптастыру  мақсатында  білім  мен  тәрбиені 
ҧштастыра алуы қажет. 
Қазіргі  «ақпараттар  заманы»  тҧсында  ӛсіп  келе  жатқан  бала  жан-жақты 
білімді, ӛмір сҥруге бейім, іскер, ӛзіндік ой-талғамы бар, адамгершілігі жоғары 
қабілетті  тҧлға  болу  ҥшін,  біз  жаңа  технологияларды  оқып  ҥйреніп,  баланың 
ашылмаған қабілетін ашып, ӛзіне деген сенімін арттырып, кӛп ізденуіне ықпал 
етуіміз керек.Ӛйткені, бҧл біздің білім берудегі негізгі мақсатымыз. 
Кҥнделікті сабақты ҧйымдастырған кезде тек оқулықтағы материалдармен 
шектелмей,  интернет  жҥйесінен  керекті  мәліметтер  алып,  ҧлттық 

358
 
 
энциклопедия,  қоғам  мәдениеті  мен  әдебиетін  оқытатын  қосымша 
материалдармен толық мәлімет берумен шҧғылданғанда ғана оқушының тҧлға 
ретінде жетілетіні сӛзсіз. Баланың оқыған дҥниесінің 10℅-ы, естігенінің 20℅-ы, 
кӛргенінің 30℅-ы, ал ойлап, ой қорытып, ӛзі жасауға тырысқан дҥниесін 90℅-ы 
есінде  қалатыны  нақты  дәлелденген.  Олай  болса,  «нағыз  білім  –  ӛз  бетінше 
оқып алған білімде» екенінде сӛз жоқ. 
Жаратылыстану  -  табиғат  туралы  ғылымның  жиынтығы,табиғат 
қҧбылыстары  мен  олардың  дамуының  жалпы  заңдылықтарын  танумен 
шҧғылданатын ғылымдар жҥйесі. 
Табиғат 
пен 
адам 
қатар 
ӛмір 
сҥріп 
келеді. 
Адамзаттың 
табиғатқа,жаратылыс әлеміне қаншалықты айланғандығы»,тәуелділігі,қарыздар 
екендігін жас ҧрпаққа ҧғындыру парыз. 
География, 
биологияны, 
физиканы, 
химияны, 
астрономияны, 
картогрофияны,математиканы  байланыстырып  философиямен  ҥйлестіру 
нәтижесінде «Жаратылыстану» ғылымының пайда болуына мҥмкіндік жасады. 
Жаратылыстану  ғылымдарының  ішінде  географиялық  білім  табиғат  пен 
қоғамда  болып  жатқан  процестер  мен  қҧбылыстарды  тҥсіндіріп,  қоғамдық 
ӛндірістің 
табиғи 
және 
әлеуметтік-экономикалық 
негіздерімен 
таныстырып,қоршаған  ортадағы  адамдардың  саналы  және  ар-ождандық 
қылықтарын  бағыттайтын,ӛмірге,айналадағы  ортаға  қҧштарлығын  арттыратын 
бірден-бір пән. 
Оқу процесін ҧйымдастыруда оқушылардың ӛз бетінше танымдық әрекетін 
кӛрсететін технологияларын қолдану неғҧрлым тиімді. 
Оқытудың әдістеріне; 
1.Дамыта оқыту. 
2.Модульдік оқыту. 
3.Саралап деңгейлік оқыту. 
4.Тірек сигналдары арқылы оқыту 
5.Кіріктіре оқыту. 
6 «Сын тҧрғысынан ойлауды дамыту» 
7.Проблемалық оқыту. 
Саралап деңгейлеп оқыту бҧл жағдайда; 
1.Оқушының оқу материалын жеңілден кҥрделіге қарай жҥйелі меңгеруі. 
2.Алынған нәтижені ӛлшеуге болатындығы. 
3.Оқу процесін жарыс тҥрінде ҧйымдастырылуы. 
4.Бағалаудың жетелеушілік қасиеті. 
5.дамыта оқытудың әдіс-тәсілдерін қолдануға ыңғайы. 
1  деңгейдегі  тапсырмаларға:  алдыңғы  сабақта  жаңадан  меңгерілген 
білімнің ӛңін ӛзгертпей қайталап пысықтауына мҥмкіндік берілуі тиіс. 
2 
деңгейдегі 
тапсырмаларға;ойлау 
қабілетін 
жетілдіруге 
байланысты,логикалық 
есептер, 
ребустар 
мен 
сӛз 
жҧмбақтар, 
номенклатураларды шешу. 
3  деңгейдегі  тапсырмалар  танымдық  –іздену  (эвристикалық  )  тҥріндегі 
тапсырмалар,білімдерін тереңдетіп, жетілдірумен қатар,ӛзі ҥшін жаңалық ашуы 

359
 
 
тиіс,  ӛмірден  алынған  мәліметтер  негізінде  диаграмма,  графиктер  салу 
жергілікті жағдайда ӛлшеу жҧмыстарын жҥргізу. 
Кӛрнекі қҧралдар дайындау. 
Кіріктіре  оқыту  кезінде оқушы  жеке  қҧбылыстың  тек  бір  ғана  ғылымның 
нысаны  еместігін  оны  жан-жақты  зерттеу  ҥшін,әр  ғылым  саласының 
негіздеріне деген қызығушылығы қалыптасады. 
  Проблема  (тҥпнҧсқасы  грек,  латын  тілінен  аударғанда  «тапсырма»-
ізденіс,  зерттеулер  жҥргізу  арқылы  шешімін  табатын  кҥрделі  теориялық 
сҧрақтар  мен  практикалық  тапсырмаларды  айтады.  Проблемалық  сабақта 
оқушылар тӛмендегідей іс-әрекет орындайды: 
-проблеманың мәнін ашу; 
-проблеманың себебін іздеу. 
-проблеманың шешу жолдарын анықтау. 
-ӛз ойын шығармашылықпен жеткізе білу. 
Компьютерлік  технологияларды оқу  ҥрдісінде  пайдалануда  слайдтар, 
бейнеҥзіктер.оқу фильмдері, диаграммалар, кестелер сияқты әртҥрлі дәрежедегі 
медианысандарды  сабақты  тҥсіндіру,  бекіту  және  оқушылардың  алған 
білімдерімен  іскерлік  дағдыларын  тексеру,  ӛз  беттерімен  ҥй  жҧмыстарын 
орындау, жинақтап қайталау кезеңдерінде қолданамын. 
Жаңа ақпараттық технологияны пайдалана отырып,электронды оқулықпен 
білім беру ерекшеліктері мыналар болмақ. 
-тҥрлі анықтамалық ақпарат алады. 
-оқушылар ӛздігінен білім алады. 
-пәнге қызығушылығы артады. 
-шығармашылық ізденісі жоғарлайды. 
-қосымша терең білім алады. 
-Ӛзі-ӛзі тексереді 
-Бейне кӛріністі тамашалап талдайды. 
-Дидактикалық материалды қолдану тиімділігі артады. 
-Сарамандық жҧмыстар,деңгейлік тапсырмалар орындайды. 
-Тестік тапсырмалар шешеді. 
Сын  тҧрғысынан  ойлау  бағдарламасында  кӛптеген  стратегиялар  бар. 
Қазіргі  кезде  мен  қолданып  жҥрген  стратегиялар  Венн  диаграммасы,  «Т» 
кестесі,эссе.ой қозғау,инсерт,джигсо,кубизм,синквей,т,б. 
«Сын  тҧрғысынан  ойлау»  сабақтарының  алғашқы  бӛлігі  міндетті  тҥрде 
қызығушылықты  оятуға  арналады.(сҧрақ  қою),  екінші  «мағынаны  тану» 
кезіңінде  (жауаптар  іздеу,  мәселені  зерттеу)  мәтінді  жан-жақты  және  әр 
тҧрғыдан  талдау  жҧмысы  жҥреді.Ҥшінші,  білім  «ой  толғаныс»  арқылы 
жалпылама жҥйеленеді. 
-Әр баладан еркін жауап алуға жағдай жасау. 
-Сенімділікке тәрбиелеу, 
-қиялын дамыту, «менің ойымша ......» дегенге жауап алуға жағдай жасау. 
-Әр тҥрлі жауапты соңына дейін тыңдау, дҧрыс жауапты саралау. 

360
 
 
-Жауап  беруге  тілек  білдірмеген  баланы  қинап  сабақ  сҧрамау,бірақ 
деңгейлік 
тапсырмадада қызығушылығын ояту. 
-Рухани ӛсуіне әр сабақта жағдай жасау. 
- 
жеке  тҧлға  ретінде  «мен»  деген  рӛлін  кӛтеру,ӛз  пікірін 
қалыптастыру.Осы  «Сын  тҧрғысынан  ойлау»  сабақтарында  қандай  нәтижеге 
қол жеткізе алдық. 
 
Кесте 
Мҧғалімнің іс-әрекеті 
Оқушының іс-әрекеті 
Ақпарат беруші 
Мәселені анықтаушы 
Бағыт-бағдар беруші 
Міндетті орындаушы 
Идея ҧсынушы 
Зерттеуші,іздеуші 
Бақылаушы 
Жоба қорғаушы 
Кеңес беруші 
Сҧхбат алушы. 
 
      Мҧғалім  оқушыға  жеке,  жҧптық  және  топтық  жҧмыс  тҥрлерін 
орындатып,  ӛмірлік  тҧжырымдарға  сҥйене  отырып,  ойлау  жҥйесіне  қозғау 
салса, оқушы алдына шешімін табатын проблемалық сҧрақтар қойса, сауалнама 
беріп  ынталандырса,  мҧны  білім  мазмҧнының  жаңартылған  жобасы  деп 
қабылдауымыз керек. Оқушы ойын сауалнама беріп айқындаған кезде, ҧшқыр 
қиялдан  туындаған  пікірлерді  оқып  саралайсың,  шәкірттердің  ынтасы  мен 
қабілетін кӛріп шаттанасың. 
       Сӛз  соңында  айтарым,  ғылымды  кҥшті  меңгерген  және  оны  сҥйетін 
мҧғалім  ғана  ӛз  шәкірттерінің  бәріне  жемісті  ықпал  жасайтын  болады.  Ел 
баласын  оқытуда  ҥлкен  жҥкті  арқалап  келе  жатқан  ҧстаздардың  әлі  де  жетер 
жетістігі, алар асуы, бағындырар белесі кӛп болғай! 
      Қорыта  келе,қазіргі  кездегі  барлық  білім  беру  технологияларының 
алдына  қоятын  мақсаты-білім  алушының  жеке  басының  дара  және  дербес 
ерекшеліктерін 
ескеріп, 
оларды 
ӛз 
бетінше 
ізденуін 
арттырып, 
шығармашылығын  қалыптастыру  болып  табылады.Шәкірттің  жан  дҥниесінің 
ізгілікті жағын дамытуға бағыттайды. 
 
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 
1.Қазақстан  Республикасының  Президенті  –  Елбасы  Н.Ә  Назарбаевтың 
Қазақстан  халқына  жолдауы.  «Қазақстан-2050»  стратегиясы  қалыптасқан 
мемлекеттің жаңа саяси бағыты. 2012 жыл. 
2.С.Мирсеитова  Оқыту  ізденіс  ретінде  және  ізденіс  оқыту  ретінде. 
Қарағанды,2011. 
3. «География және табиғат» журналы. №4-5,2011, №1,2013. 
 
 
 

361
 
 
УДК 338.771 
ШАРАПИЕВА М.Д. 
Әл-Фараби атындағы  ҚҦУ, Алматы қ., Қазақстан 
 
БЕЛГІСІЗДІК ЖАҒДАЙЫНДАҒЫ КӚЛІКТІК-ЛОГИСТИКАЛЫҚ 
ҤДЕРІСТЕРДІ БАСҚАРУДАҒЫ МАТЕМАТИКАЛЫҚ ӘДІСТЕР 
 
Белгісіздік  жағдайындағы  логистикалық  ҥдерістерді  оптималды  басқару 
дегеніміз  кӛлікті  басқаруда  белгісіздік    жағдайдағы    оптималды  шешімдерді 
қабылдау  теориясы  қазіргі  таңда  сҧраныста  болып  тҧр.  Теория  бойынша 
белгісіздікке  алып  келетін  сыртқы  факторларды  ескеру  қажет.  Осы  теорияны 
қолдану  барысында  қолданылмай  қалған  немесе  қолдануға  мҥмкін  емес 
қорларды басқарудағы дәстҥрлі теориялар орынды болып тҧр.  
Модель  форматы  бойынша  белгісіздік  жағдайындағы    жылдық  шығынды 
минимизациялауды  емес,  соңғы  нәтижедегі  экономикалық  нәтижені 
максимизациялау. Негізінен, белгісіздік жағдайындағы логистикалық қорларды 
оптималды басқару моделі әрбір әрекетті сценарий әдісі бойынша қадағалауды 
ҧсынады, яғни мҥмкін болатын барлық сыртқы факторларды алдын ала болжау 
немесе  қадағалау.  Сонымен  қатар  соңғы  экономикалық    қорытындыға  әсер 
ететін, барлық мҥмкін оқиғаларды топтастыру қажет [1].   
Соңғы  экономикалық  қорытындыға  әсер  ететін  бірнеше  кездейсоқ 
жағдайларды топтастырайық: 
1) жылдық ӛнімді қолдану тӛмен,  ӛнімнің ӛзіндік қҧнынан тӛмен болған 
жағдайда,  сонымен  қоса  барлық  наразылықтар  ӛнімнің  сақталу  мерзіміне 
байланысты, пайданың бірінші және екінші дистрибьюторда қалуы; 
2) жылдық қолдану ӛнімнің ӛзіндік бағасынан жоғары болғанда,  сонымен 
қоса  барлық  наразылықтар  ӛнімнің  сақталу  мерзіміне  байланысты,  пайданың 
бірінші және екінші дистрибьюторда қалуы; 
3)  жылдық  қолдану  тӛмен,  ӛнімнің  ӛзіндік  бағасынан  жоғары  болғанда,  
сонымен  қоса  барлық  наразылықтар  ӛнімнің  сақталу  мерзіміне  байланысты, 
пайданың бірінші және екінші дистрибьюторда қалуы; 
4)  жылдық  ӛнімді  қолдану,  ӛнімнің  ӛзіндік  қҧныда  жоғары    болған 
жағдайда,  сонымен  қоса  барлық  наразылықтар  ӛнімнің  сақталу  мерзіміне 
байланысты, пайданың бірінші және екінші дистрибьюторда қалуы; 
5)  жылдық  қолдану,  ӛнімнің  ӛзіндік  бағасыда  тӛмен  болғанда,    сонымен 
қоса  барлық  наразылықтар  ӛнімнің  сақталу  мерзіміне  байланысты,  пайда 
бірінші  дистрибьюторда жоғалады, ал екінші дистрибьюторда пайда қалады; 
6)  жылдық  ӛнімді  қолдану  жоғары,  ӛнімнің  ӛзіндік  қҧны  тӛмен  болған 
жағдайда,  сонымен  қоса  барлық  наразылықтар  ӛнімнің  сақталу  мерзіміне 
байланысты,  пайданың  бірінші  дистрибьюторда  жоғалуы,  ал  екінші 
дистрибьюторда қалуы; 
7)  жылдық  ӛнімді  қолдану  тӛмен,  ӛнімнің  ӛзіндік  қҧны  жоғары  болған 
жағдайда,  сонымен  қоса  барлық  наразылықтар  ӛнімнің  сақталу  мерзіміне 

362
 
 
байланысты,  пайда  бірінші    дистрибьюторда  жоғалуы,  ал  екінші 
дистрибьюторда пайданың қалуы; 
8)  жылдық  ӛнімді  қолдану,  ӛнімнің  ӛзіндік  қҧныда  жоғары    болған 
жағдайда,  сонымен  қоса  барлық  наразылықтар  ӛнімнің  сақталу  мерзіміне 
байланысты,  пайданың  бірінші  дистрибьюторда  болуы,  ал  екінші 
дистрибьюторда жоғалуы; 
9)  жылдық  қолдану,  ӛнімнің  ӛзіндік  бағасыда  тӛмен  болғанда,    сонымен 
қоса  барлық  наразылықтар  ӛнімнің  сақталу  мерзіміне  байланысты,  пайданың 
бірінші  дистрибьторда болуы, ал екінші дистрибьюторда пайданың жоғалуы. 
10)  жылдық  ӛнімді  қолдану  жоғары,  ӛнімнің  ӛзіндік  қҧны  тӛмен  болған 
жағдайда,  сонымен  қоса  барлық  наразылықтар  ӛнімнің  сақталу  мерзіміне 
байланысты,  пайданың  бірінші    дистрибьюторда  болуы,  ал  екінші 
дистрибьюторда пайданың жоғалуы. 
11)  жылдық  қолдану  тӛмен,  ӛнімнің  ӛзіндік  бағасынан  жоғары  болғанда,  
сонымен  қоса  барлық  наразылықтар  ӛнімнің  сақталу  мерзіміне  байланысты, 
пайданың бірінші  дистрибьторда болуы, ал екінші дистрибьюторда пайданың 
жоғалуы. 
12)  жылдық  ӛнімді  қолдану,  ӛнімнің  ӛзіндік  қҧныда  жоғары    болған 
жағдайда,  сонымен  қоса  барлық  наразылықтар  ӛнімнің  сақталу  мерзіміне 
байланысты,  пайданың  бірінші    дистрибьюторда  болуы,  ал  екінші 
дистрибьюторда пайданың жоғалуы. 
13) жылдық қолдану, ӛнімнің ӛзіндік бағасыда тӛмен болғанда,  сонымен 
қоса  барлық  наразылықтар  ӛнімнің  сақталу  мерзіміне  байланысты,  пайданың 
бірінші және екінші дистрибьюторда жоғалуы. 
14) жылдық қолдану ӛнімнің ӛзіндік бағасынан жоғары болғанда,  сонымен 
қоса  барлық  наразылықтар  ӛнімнің  сақталу  мерзіміне  байланысты,  пайданың 
бірінші және екінші дистрибьюторда жоғалуы. 
15) жылдық ӛнімді қолданутӛмен,  ӛнімнің ӛзіндік қҧнынан тӛмен болған 
жағдайда,  сонымен  қоса  барлық  наразылықтар  ӛнімнің  сақталу  мерзіміне 
байланысты, пайданың бірінші және екінші дистрибьюторда жоғалуы. 
16)  жылдық  ӛнімді  қолдану,  ӛнімнің  ӛзіндік  қҧныда  жоғары    болған 
жағдайда,  сонымен  қоса  барлық  наразылықтар  ӛнімнің  сақталу  мерзіміне 
байланысты, пайданың бірінші және екінші дистрибьюторда жоғалуы[2]. 
Белгісіздік  жағдайында  логистикалық  ҥдерістерді  басқаруда  оптималды 
шешімдерді  қабылдау  ҥшін  бірнеше  альтернативалық  шешімдерді  қабылдау 
керек.  Лайық  альтернативалық  шешімдерді  шешімдерді  қабылдаушы  тҧлға 
таңдайды. Тҧлға мынандай шешімдерді қабылдау керек: 
-дистрибьюторды таңдау; 
-тапсырыс кӛлемін анықтау; 
-кӛпқабатты орамдарды қолдану немесе олардан бас тарту.  
Логистикалық ҥдерістерді басқаруда графиктер теориясының  анықтамасы 
және негізгі тҥсініктері қолданылады. Бағананың даму қағидасының  дамуы екі 
облысты  қҧрайды  :  алгебралық  және  оңтайландыру.  Мысал:  V-  Бірнеше 
кӛпшілік V =  v1 , v2 ,...,vn  , алvi элементтердің шыңы. 

363
 
 
U – кӛпшілік реттеулі тең шыңы (vi, vj). 
V және U кӛрсетілген кӛпшілігінің терімі – бағананың реті деп аталады. 
Ағымдық  алгоритімді  оңтайландыру  пішідегі  негізгі  ҧғымдары  мен 
анықтамаларын  қарастырайық.  Бағандағы  ағым  туралы  айтқанда,бір  пунктен 
екінші  пунтке  кейбір  объектірлердің(жҥк,тауар,жолаушы  және  т.б)  жіберілу 
әдісі  анықталды  деп  тҥсінеді,яғни  бір  баған  басынан  екінші  баған 
басына.Объектіні  тасымалдайтын  басын  ,тасымалдау  кӛзі  деп  атайды  және  S 
әрпімен белгілейді.Объетілерді  тасымалдау  аяқталатын жерді  сток дейді,оны t 
әрпімен  белгілейді.Тасымалданатын  объектілерді  ағым  бірліктері  деп  атайды 
немесе жай ғана бірліктер дейді[2]. 
Егер доға арқылы ӛтетін(x,y) ағым бірліктерінің саны шектеулі болса,онда 
осы  доға  шектеулі  ӛткізушілік  қабілетке  ие.Доғаның  максималды  ӛткізушілік 
қабілетін с(x,y) деп белгілеп,доғаның ӛткізу қабілеті деп атаймыз.Бҧдан басқа а 
(x,y) символымен доғадағы ағым бірліктерінің тасымалдау бағасын белгілейміз. 
Ӛткізу қабілеті тіркелген әрбір доғаны торап деп атайды.Егер  торапта кандай 
да бір ағым бар болса,онда әрбір ағым бірлігі ҥшін қозғалыс машруты белгілі 
болады.Доға  арқылы  ӛтетін  ағым  бірлік  санын    ,берілген  доғанын  ағымы  деп, 
(x,y)деп белгілейміз.0≤ (x,y)≤с(x,y) белгілі екені анық. 
Бағандағы әрбір доғаны мына типтерге жатқызуға болады: 
1)ағымды  не  ҥлкейте  алмайтын  не  кішірейте  алмайтын  доға-бейтарап 
доғалар(N символымен белгіленеді). 
2)ағымды кӛбейте алатын доғалар-кӛбейтілетін доға(I). 
3)ағым азайиылатын доғалар-азайтылатын доғалар(R). 
4)ағымды  кӛбейте  алатын  жәыне  азайтуғы  болатын  доғалар-аралық 
доғалар (IR). 
Қосымша тҥсініктер: 
 
i(x,y) – доғадағы ағымның масималды дәрежеде болатын арттыру ,I және 
IR доғалар бойынша,яғни i(x,y)= с(x,y) - (x,y);
 
 
r(x,y)  –  доғадағы  ағымның  минималды  дәрежеде  тӛмендету,R  және  IR 
типті 
доғалар 
бойынша,яғни 
r(x,y)= 
(x,y);(қарама-қарсы 
ағымдар 
қарастырылмайды). 
Алгоритмнің  негізгі  идеясы    -  ағаштың  S  басынан  кҧрылатын,боялған 
доғалардан тҧратын,S басынан қосымша ағым бірліктері жіберілуі.Ол t басына 
жеткізлуге тәуелділігіне байланысты,келесідей ситуацияларді аламыз: 
1)сток  t  боялған  болады(боялған  доғалардан  қҧрылған  ағаштың  тек  бір 
тізбек S басынан t-дағы тізбекте ағымды арттырады). 
2)сток  t-ны  бояй  алмаймыз(S-тен  t-ға  дейінгі  арттыратын  ағым  тізбегі 
болмайды). 
Ағым тізбегін арттыратын іздеу алгоритмініңпроцедурасын қарастырайық: 
Қадам  1.  N,I,R,IR  тізбетегі  қҧрамын  анықтаймыз.N  доғасын  ары  қарай 
қарастырмаймыз.S басын бояймыз. 
Қадам 2. Тӛмендегі ережелер бойынша сток t боялғанша дейін доғаларды 
баяймыз,егер ол сток боялмаса басқа доғсларды бояй алмамйыз. 

364
 
 
Бояу  ережелері:  х-тің  кейбір  бастары  боялсын  делік.Боялмаған  кӛрщілес 
бастарын қарастырып,келесі шешімдерді қабылдамйыз: 
Егер  сәйкес  доға  тҥзу  болса,яғни  доға  (x,y)  I    және  IR  жататын  болса,y 
басын  және  (x,y)  доғасын  бояймыз.  Егер  сәйкес  доға  кері  болса,  яғни  (x,y) 
доғасы R және IR жататын болса,онда y басын және (x,y) доғасын бояймыз. 
Басқаша  жағдайларда  сәйкес  доғаны  және  оның  басын,  бояу  болмайды, 
басқа бастарды қарастыруға кӛшеді[3]. 
Максималды  ағымның  іздеу  алгоритм  модификациясы.  Ағым  тізбегін 
арттыратын  іздеу  алгоритмі  қҥрастырғанда  ӛз  бетінше  бояуға  келетін  доғаны 
және  басын  таңдауға  болады.Алгоритм  модификациясында  берілген  бояйтын 
доға мен басты таңдау ҥшін келесідей жасау қажет:әрбір басты қоымша санмен 
белгілейміз,боялатын  реті  бойынша,(S  кӛзі  1  номерімен  белгіленеді).  Ағым 
тізбегін  арттыратын  іздеу  алгоритмі  бірінші  кезекте  боялмаған  доғаларды 
қарастыру  қажет,олар  боялған  бастар  аралығында  болуы  керек  және  ең  кіші 
номерді иеленеді. Осындай процедураларды жоспарлап біз боялған доғалардан 
тізбекағымын  арттырамыз.  Бҧл  модификациялық  алгоритмды  аяқтау  ҥшін 
маңызды рӛлді атқарады. 
Бірнеше  кӛздер  мен  стоктар  бойынша  максималды  ағымның  іздеу 
алгоритм модификациясы. Жҥйеде бірнеше S кӛздері және  t  стоктары болсын 
делік.Бҧл бойынша фиктивті екі бас болады.Олар: 
 
Фиктивті шығатын жері, яғни шығу кӛзі S 
 
Фиктивтік ағым T. 
Келесі қарастыратынымыз транспорттық мақсаттың қойылымы және оның 
математикалық  қалыбы.  Дәстҥрлі  транспорттық  мақсаттың  тҥсінігінде 
тапсырушының тасымалы, жоспары тҥсіндіріледі. Бірыңғай тауардың кӛлеміне 
жеткізушінің тобынан тҧтынушының тобына тасымалдың ізделінетін жоспары 
керек [4]. 
Сҧраныс  тасымалдың  мынадай  жоспарын,  яғни  -  тауардың  xij, 
тасымалының  кӛлемдерін    i,-  жеткізушінің    j-,  тҧтынушыға  (i  =  1,2, 
қарамастан.,m және j =1,2,.,n ), минималды шығындарын табу керек. Бҧл ретте 
транспорттық  шығындар  тасымалдауға  жеткізушінің  i-,  к  j-  тҧтынушыға  қиын 
емес  сияқты  тауардың  бірлігінің  тасымалының  лайықты  қҧнының  туындысын 
кӛлемге мынадай белгілі нысанға келтіреді. 
Тасымалдар  тҥрінде  cij  ∙  xij  .  Ақырында,  транспорт  мақсаттың  ӛлшемі 
мынадай кӛрініске ие: 
 
c11 ∙ x11 + … + cij ∙ xij +… + cmn ∙ xmn → min при i = 1,2,..,m и j =1,2,..,n    (1) 
 
Транспорт  мақсатының  шарттарының  кӛрінісін  -  тауардың  сомасының 
кӛлеміне  және  жеткізушінің  тобынан  тҧтынушылардың  арнайы  топтарына  
белгілі. Бҧл ретте жеткізушінің сомасының бастапқы қорларлары тең сомамен 
болуы керек. Осы жерден транспорт мақсатының негізгі шартын анықтаймыз. 
 
а1 + … + аi +… + аm = b1 + … + bj +… bn’    
 
 
 
 
 (2) 

365
 
 
 
Транспорт  мақсаттың  негізгі  жоспары  және  оның  ҧйғарымының  әдістері 
айтылмыш  шарт  орындалса,  онда  транспорттық  мақсат  дҧрыс  теңгерімге  ие. 
Соңғы  оқиғада  кіргізуге  қажет  жетер-жетпес  босалқы  қорларлармен,  жалған 
жеткізушінің  немесе  тҧтынушының  жетер-жетпес  қажеттілікпен  кӛрініс 
табады. Бҧл ретте тасымал қҧндары нӛлдік кӛрсеткішпен қабылданады [4]. 
Есепті  математикалық  жазу  тҥрінде  былай  беруге  болады:  Сонымен, 
берілгені: сызықтық функция (1), шарттар (3), шектеулер жҥйесі (2). Шешімдер 
жиынынан  (2)  сызықтық  функцияның  (1)  минимумы  болатын  теріс  емес 
шешімін тау керек: 
 
Егер  жҥк  жеткізушідегі  жҥктің  жиынтық  кӛлемі  тҧтынушыға  керек 
жҥктің  жиынтық  кӛлеміне  тең  болса,  онда  транспорттық  есеп  жабық 
(балансталған) деп аталады: яғни, тӛмендегі теңдік орындалса: 
 
Егер  тӛмендегі  шарттардың  бірі  орындалса,  онда  транспорттық  есеп 
ашық (балансталмаған) деп аталады: 
 
 Транспорттық есептің шешімі болу ҥшін ашық модельді жабық модельге 
айналдыру керек. 
 
Егер    шарты орындалса, онда фиктивті (n+1)-ші пунктті 
 
Bn+1  кіргіземіз,  яғни  есепке  қосымша  баған  кіргізіледі.  Бҧл 
тҧтынушының сҧранысы мынаған тең болады: 
 
Тасымалданатын жҥктің қҧны нӛлге тең болады, яғни, . 
 
Егер  шарты  орындалса,  онда  фиктивті  (m+1)-ші  жеткізушіні  Am+1 
кіргіземіз,  яғни,  есепке  қосымша  жол  кіргізіледі.  Бҧл  жеткізушідегі  жҥк 
мынаған тең деп алынады [5]. 
Тасымалданатын  жҥктің  қҧны  нӛлге  тең  болады,  яғни,  ашық  модельді 
жабық  модельге  айналдырғанда  мақсаттық  функция  ӛзгермейді,  ӛйткені 
қосымша жҥк тасымалына сәйкес келетін қосылғыштар нӛлге тең. 
Халықаралық  нарықта  транспорттық  кәсіпорынның  жҧмыс  істеуінің 
әдетегі  белгілері  транспорттық  фирмалар  және  әр  тҥрлі  транспорттың  тҥрлері 
арасындағы  бақталастықтың  кҥшеюі  ретінде  объективті  жағдайлар, 
тҧтынушылардың  тарифтерге  және  транспорттық  қызмет  кӛрсету  сапасына 
қатаң  талап  қоя  бастауы  болып  келеді.  Батыстағы  халықаралық  транспорт 
сервисінің  соғыстан  кейінгі  жарты  ғасырлық  тәжірибесі  кӛрсеткендей, 
транспорт қызметі бизнестің нарықтық инфрақҧрылымның, яғни кең ауқымды 
логистикалық сервистің әлдеқайда ҥлкен бӛлігін алып отыр. 
 
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 
1.  В.И.  Бодров,  Т.Я.  Лазарева,  Ю.Ф.  Мартемьянов.  Математические 
методы  принятия  решений.  Учебное  пособие  /  В.И.  Бодров,  Т.Я.  Лазарева, 
Ю.Ф. Мартемьянов.- Тамбов Издательство ТГТУ, 2004.-83с 
2. Урицкая О.Ю. Теория принятия решений: Курс лекции. М. 2000.-35с. 
3.Экономико-математические  методы  и  модели:  Учеб.  пособие  /  Н.И. 
Холод,  А.В.  Кузнецов,  Я.Н.  Жихар  и  др.;Под  общей  ред.  А.В.  Кузнецова. 
Мн.:БГЭУ, 2009.- 413 с. 

366
 
 
4. Теория прогнозирования и принятия решения. Под ред. С.А. Саркисяна. 
М., 2012. 
5.  Сараев  А.Д.,  Щербина  О.А.  Системный  анализ  и  современные 
информационные  технологии  //Труды  Крымской  Академии  наук.  - 
Симферополь: СОНАТ, 2014. - С. 47-59, 
 
УДК 514(075.8)  
ЮНГ Т.А. 
КГУ «Средняя школа имени Р. Марсекова», п. Касыма Кайсенова, ВКО, 
Казахстан 
 
 
ФОРМИРОВАНИЕ УМЕНИЙ И НАВЫКОВ РЕШЕНИЯ 
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ 
 
Формирование  умений  –  это  овладение  всей  сложной  системой  операций 
по  выявлению  и  переработке  информации,  содержащейся  в  знаниях  и 
получаемой  от  предмета,  по  сопоставлению  и  соотнесению  информации  с 
действиями. 
Формирование  умений  выступает,  прежде  всего,  как  продукт  все 
углубляющихся  знаний.  Умения  формируются  на  основе  освоения  понятий  о 
различных  сторонах  и  свойствах  изучаемых  объектов.  Главный  путь 
формирования умений – это приучение учащихся видеть различные стороны в 
объекте, применять к нему разнообразные понятия, формулировать в понятиях 
многообразные отношения этого объекта.  
Говоря об умениях решать тригонометрические уравнения и неравенства, 
нужно  иметь  в  виду,  что  эти  умения  образуют  целый  комплекс,  в  который 
среди прочих входят следующие: 
-  умения  отыскать  на  числовой  окружности  точки,  соответствующие 
заданным числам, выраженных в долях числа   (
3
,
4
7
 и т.д.) и не выраженных 
в долях числа   (М(2), М(-7), М(6) и т.д.); 
-  умение  изображать  числа  точкой  числовой  окружности  и  надписывать 
точки  (имеется  в  виду  определять  все  числа,  которые  соответствуют  данной 
точке); 
- умение изображать числа на числовой окружности по значению одной из 
тригонометрических функций; 
- составлять двойные неравенства для дуг числовой окружности;[20] 
-  умение  провести  анализ  предложенного  уравнения  или  неравенства  с 
целью  получения  оснований  для  отнесения  уравнения  к  одному  из  известных 
видов; 
- умение осуществить обоснованный выбор приема решения; 
- умение решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства 
и иллюстрировать решение с помощью графика, тригонометрического круга; 

367
 
 
-  умение  применять  свойства  тригонометрических  функций  при  решении 
уравнений и неравенств; 
-  умение  выполнять  тождественные  преобразования  тригонометрических 
выражений, которое, в свою очередь, предполагает умение применять приемы 
преобразований 
алгебраических 
выражений 
и 
соответствующие 
тригонометрические формулы; 
-  умение  решать  алгебраические  уравнения  определенных  видов 
(линейные,  квадратные,  дробно-рациональные,  однородные,  сводящиеся  к 
совокупностям алгебраических уравнений указанных видов) и др.[11] 
Перечисленные  умения  формируются  в  течение  длительного  времени, 
рядом  из  них  учащиеся  должны  владеть,  приступая  к  изучению 
тригонометрических  уравнений.  Но  рассмотрение  приемов  решения 
тригонометрических  уравнений  или  неравенств  предполагает  своего  рода 
перенос этих умений на новое содержание. 
В 
процессе 
формирования 
у 
школьников 
умений 
решать 
тригонометрические уравнения рекомендуется выделить три этапа: 
1. Подготовительный; 
2.  Формирование  умений  решать  простейшие  тригонометрические 
уравнения и неравенства; 
3.  Введение  тригонометрических  уравнений и  неравенств  других  видов  и 
установление приемов их решения. 
Цель  подготовительного  этапа  состоит  в  том,  чтобы,  во-первых,  начать 
формирование  у  школьников  умения  использовать  тригонометрический  круг 
или  график  функции  для  решения  уравнения;  во-вторых,  познакомить 
учащихся  с  применением  свойств  тригонометрических  функций  для  решения 
уравнений  вида 
0
,
1
cos
,
1
sin
tgx
x
x
и  т.п.;  в-третьих,  специально  обратить 
внимание  школьников  на  применение  различных  приемов  преобразований 
выражений при решении тригонометрических уравнений. 
Реализовать  этот  этап  рекомендуется  в  процессе  систематизации  знаний 
школьников  о  свойствах  тригонометрических  функций.  Основным  средством 
могут  служить  задания,  предлагаемые  учащимся  и  выполняемые  либо  под 
руководством учителя, либо самостоятельно. 
 Приведем примеры таких заданий: 
1)  найти  все  числа  отрезка 
2
;
2
,  для  которых  верно 
2
2
cos
;
2
3
sin
 и т.п., 
2)  отметить  на  единичной  окружности  точки  P
t
,  для  которых 
соответствующие значения t удовлетворяют равенству 
3
;
2
1
sin
tgt
t
и т.п., 
3)  используя  график  функции 
x
y
cos
,  указать  множество  чисел,  для 
которых верно 
,
2
3
cos
;
7
8
cos
;
2
1
cos
 
4) решить уравнения:  

368
 
 
1. 
1
cos x
,  2. 
x
x
x
2
2
sin
cos
3
cos
,  3. 
1
3
sin
2
cos
3
cos
2
sin
x
x
x
x
,   
4. 
1
sin
2
1
2
cos
2
3
x
x
,  5. 
1
cos
2
cos
1
2
x
x
, 
5) решить уравнения:  
1. 
0
2
cos
sin
x
x
,  2. 
0
sin
1
tgx
x
,  3. 
1
4
sin
2
1
cos
2
2
x
x
. 
Обратим  внимание  на  два  последних  задания.  В  основе  решения 
предложенных  уравнений,  как  правило,  –  применение  определений  синуса, 
косинуса числа (либо таких свойств тригонометрических функций, как наличие 
корней, наличие экстремумов у функций синус и косинус). Выполнение пятого 
задания  предполагает  решение  совокупностей  тригонометрических  уравнений 
рассматриваемого  вида  (например,  последнее  уравнение  преобразуется 
следующим  образом: 
,
1
2
cos
2
sin
2
cos
1
x
x
x
 
0
2
sin
1
2
cos
x
x
,  то  есть  имеем 
совокупность  уравнений 
0
2
cos x
или 
1
2
sin x
).  Следует  специально  обратить 
внимание  учащихся  на  цель  преобразований  тригонометрических  выражений 
при  решении  предложенных  уравнений:  замена  данного  выражения, 
тождественно  ему  равным  и  зависящим  от  одной  тригонометрической 
функции,  либо  преобразование  выражения  в  произведение  линейных 
множителей относительно тригонометрических функций. 
Реализация 
второго 
этапа 
обучения 
школьников 
решению 
тригонометрических уравнений, на котором происходит формирование умений 
решать  простейшие  уравнения,  предполагает  введение  понятий  «арксинус 
числа»,  «арккосинус  числа»  и  т.д.,  получение  общих  формул  решения 
простейших 
тригонометрических 
уравнений, 
формирование 
умений 
иллюстрировать  решение  простейших  тригонометрических  уравнений  с 
помощью графика соответствующей функции или тригонометрического круга. 
В настоящее время понятия арксинуса, арккосинуса числа и т.д. вводятся 
без  обращения  к  функции,  которая  является  обратной  по  отношению 
соответственно к функциям синус, косинус и т.д. В качестве основы введения 
указанных  понятий  используется  так  называемая  теорема  о  корне.  Указанная 
теорема  применяется  и  для  введения  способа  решения  простейших 
тригонометрических  уравнений.  Это  требует  выделять  в  процессе  получения 
формул,  задающих  множества  их  решений,  несколько  пунктов:  1) 
рассматривается 
промежуток, 
длина 
которого 
равна 
наименьшему 
положительному периоду функции, представленной в левой части уравнения и 
на котором определено понятие арксинуса, арккосинуса или арктангенса числа 
(в  зависимости  от  предложенного  уравнения);  если  эта  функция  –  синус  или 
косинус, то промежуток разбивается на два); 2) данное уравнение решается на 
каждом  промежутке;  основой  решения  служит  теорема  о  корне,  которая 
конкретизируется  для  соответствующей  тригонометрической  функции;  3)  на 
основе  свойства  периодичности  рассматриваемой  тригонометрической 
функции  делается  вывод  о  том,  что  числа 
k
2
или 
Z
k
k,
(здесь 
- 
решение  уравнения,  принадлежащее  выделенным  промежуткам)  являются 

369
 
 
решениями  данного  уравнения;  этот  вывод  используется  для  получения 
формулы решений. 
Рекомендуем предложить учащимся и другой способ получения формулы 
решений  простейшего  тригонометрического  уравнения.  Раскроем  его  суть, 
обратившись к решению уравнения 
 (
R
 и 
1
a
). 
Так  как 
1
a
,  то  данное  уравнение  обязательно  имеет  решения,  одно  из 
которых  принадлежит  промежутку 
2
;
2
.  Обозначим  его  .  Тогда 
a
sin
)
arcsin
(
a
.  С  учетом  принятых  обозначений  данное  уравнение  приводим  к 
виду: 
0
sin
sin x
.  Преобразуем  левую  часть  уравнения  в  произведение: 
0
2
cos
2
sin
2
x
x
  ;  это  дает  возможность  заменить  данное  уравнение 
равносильной  совокупностью  простейших  тригонометрических  уравнений 
0
2
sin
x
  или 
0
2
cos
x
.  Используя  свойство  функций  синус  и  косинус 
(множество  корней),  получаем: 
Z
k
k
x
,
2
или 
Z
n
n
x
,
2
2
.  Теперь 
осталось 
выразить 
x
через 
a
arcsin
 
(
Z
k
k
a
x
,
2
arcsin
или 
Z
n
n
a
x
,
2
arcsin
)  и  записать  общую  формулу  для  нахождения  решений 
уравнения. 
Предложим  рекомендации,  связанные  с  методикой  организации 
деятельности 
учащихся 
на 
втором 
этапе 
обучения 
решению 
тригонометрических  уравнений.  При  этом  будем  ориентироваться  на 
использование  второго  способа  получения  общей  формулы  решений 
простейшего тригонометрического уравнения. 
Во-первых,  мотивировать  целесообразность  получения  общего  приема 
решения  простейших  тригонометрических  уравнений  можно,  обратившись, 
например,  к  уравнениям 
2
cos
2
3
2
4
sin
2
x
x
, 
x
x
4
cos
8
cos
1
.  Используя 
знания  и  умения,  приобретенные  на  подготовительном  этапе,  учащиеся 
приведут  предложенные  уравнения  к  виду 
2
3
2
sin
x
; 
0
2
1
4
cos
4
cos
x
x
,  но 
могут затрудниться в нахождении множества решений каждого из полученных 
уравнений.  Указанных  затруднений  можно  избежать,  если  обратиться  к 
соответствующей  иллюстрации  (решение  уравнения  графически  или  с 
помощью  тригонометрического круга),  но и  в  этом  случае  остается  открытым 
вопрос:  нельзя  ли  получить  общие  формулы  для  записи  множеств  решений 
тригонометрических  уравнений  вида 
, 
  (
0
a
  и 
1
a
), 
  (
0
a
), которые дадут возможность сразу фиксировать искомые множества. 
Во-вторых,  следует  обратить  внимание  учащихся,  что  получение  общих 
формул  для  записи  множеств  решений  уравнений  указанного  вида 
предполагает введение понятий арксинуса, их арккосинуса числа и т.д. Ввести 
эти понятия должен учитель, демонстрируя школьникам применение теоремы о 
a
x
sin
a
x
sin
a
x
cos
a
tgx

370
 
 
корне к каждой из тригонометрических функций на определенном множестве. 
При этом целесообразно обратиться к графическому способу решения задачи о 
нахождении  множества  решений  уравнения  вида 
, 
, 
  на 
промежутках 
2
;
2
, 
;
0
  и 
2
;
2
  соответственно  (решить  такую  задачу 
учащиеся могут самостоятельно). 
В-третьих, следует провести работу по формированию у учащихся умений 
находить  значения  выражений  вида 
a
arcsin
, 
a
arccos
, 
arctga
  при  данных 
значениях  . С этой целью полезно предложить учащимся задания типа 
1)
 
Вычислить:  
 
; 
2)
 
Найти значение выражения: 
 
5
3
arccos
sin
,
5
4
arcsin
sin
,
1
cos arctg
и т.п. 
Учитель  должен  обратить  внимание  учащихся  на  способ  выполнения 
каждого  из  заданий,  дать  соответствующий  образец.  В  первом  случае  способ 
задается  следующим  предписанием:  нужно  найти  такое  действительное  число 
,  которое  удовлетворяет  двум  условиям  (укажем  эти  условия,  имея  в  виду 
пример 
2
1
arcsin
:  это  число  принадлежит  промежутку 
2
;
2
;  синус 
искомого числа равен 
2
1
, то есть 
2
2
 и 
2
1
sin
. Способ выполнения 
второго  задания  основан  на  применении  понятий  «арксинус  числа», 
«арккосинус числа» и т.д. и, возможно, тригонометрических тождеств. Особое 
внимание следует обратить на выполнение последнего примера этого задания. 
В-четвертых, целесообразно провести работу по актуализации у учащихся 
приемов  преобразования  суммы  (разности)  тригонометрических  функций  в 
произведение,  обратить  внимание  школьников  на  роль  этих  приемов  при 
решении тригонометрических уравнений.  
В-пятых,  начать  работу  по  введению  способа  решения  простейших 
тригонометрических  уравнений  следует  с  постановки  вопроса:  при  каких 
значениях параметра   уравнение вида 
 (
,
,
R
a
) имеет (не 
имеет)  действительного  решения  и  почему.  Выделение  множества  решений 
параметра,  при  которых  указанное  уравнение  разрешимо  в 
R
,  дает  основание 
для  поиска  способа  его  решения.  Заметим,  что  в  практике  обучения 
школьникам  достаточно  разъяснить  суть  такого  способа  для  одного  из 
уравнений, например, 
, 
1
a
. При этом нужно лишь обратить внимание 
учащихся  на  то,  что  если  мы  заменим  число 
значением  функции  синус 
некоторого  аргумента,  то  данное  уравнение  сводится  к  уравнению,  способ 
решения  которого  уже  известен.  Поэтому,  по  сути,  большая  часть  работы, 
a
x
sin
a
x
cos
a
tgx
a
4
5
arccos
,
1
,
2
2
arccos
,
2
1
arcsin
arctg
a
a
x
sin
a
x
cos
a
tgx
a
x
sin
a

371
 
 
связанной  с  получением  формулы  решений  рассматриваемого  уравнения, 
может быть выполнена учащимися самостоятельно. Учитель выступает в роли 
консультанта и помогает школьникам сделать обобщения. Получение формул, 
задающих  множества  решений  уравнений 
, 
  целесообразно 
представить учащимся для самостоятельной работы. 
 
СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ 
1.
 
Клещев  В.А.  Обобщение  метода  интервалов  на  тригонометрической 
окружности //Математика в школе. 1992. № 6. С. 17-18. 
2.
 
Шабунин  М.  Тригонометрические  уравнения.  //  Математика. 
Приложение к газете «Первое сентября» № 12,13, 1995г. 
3.
 
Филатов  В.Г.  О  потере  корней  при  решении  тригонометрических 
уравнений //Математика в школе. 1991. №2. С.57-59. 
 
 
a
x
cos
a
tgx

372
 
 

жүктеу/скачать 7,69 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: