Диэлетриктегі өріске арналған Остроградский – Гаусс теоремасы. Электрстатикалық индукция векторы

Диэлектриктегі өрістің кернеулігі дегеніміз – физикалық шексіз кішкентай көлемдегі шын өрістің орташа мәнін табу арқылы анықталған - нің мәні. Диэлектриктегі шын (микроскопиялық) өріс молекула аралық қашықтықтарда айтарлықтай өзгереді. Алайда, өрістің макроскопиялық денеге әсерлерін қарастырғанда, бұл өзгерістер білінбейді де өрістің денеге әсері мәнінің орташа (макроскопиялық) санын табу арқылы анықталады.

Макроскопиялық өріс екі өрісті беттестірудің нәтижесінде алынады: еркін зарядтардың, жанасқанда бір денеден екіншісіне ауыса алатын зарядтардың туғызатын өрісі және байланысқан зарядтың еркін зарядтардың өрісі байланысқан (поляризатцияланған) зарядтардың еркін зарядтардан айырмашылықтары болады. Байланысқан зарядтарды олардың серіктерінен, қарама – қарсы таңбалы зарядтардан бөліп әкетуге болмайды. Өрістердің суперпозиция принципі бойынша:

(2.7)

Диэлектриктердің поляризациясы осы өріс қосындысының әсерімен пайда болады. Демек, осы - ні (2.3) формуласына қоямыз.

(2.7) өрнегімен анықталатын векторы үшін Остроградский – Гаусс теоремасын мына түрде жазу керек:

(2.8)

Мұндағы - ді байланысқан зарядтардың қосындысы, яғни тұйықталған бет үшін вектор ағынын есептегенде тек еркін зарядтардың ғана емес, осы беттің ішіндегі байланысқан зарядтардың да алгебралық қосындысын есептеу керек. Сондықтан, (2.8) диэлектриктегі векторды табу үшін жарамсыз болады.

Енді поляризациялану векторының ағынын қарастырайық:

(2.9)

Бұл байланысқан зарядтарды (2.8) өрнегінен шығарып тастап, оны вектордың ағынымен алмастыруға мүмкіндік береді. (2.8) және (2.9) формулаларынан мынаны алуға болады:

Мұндағы интеграл таңбасының астында жақшада тұрған өрнекті деп белгілейік:

- электрстатикалық индукция векторы немесе электрстатикалық ығысу деп аталады. Бұл қосалқы вектордың физикалық мағынасы жоқ. (2.10) формула шамасының ортаның электрлік қасиеттеріне тәуелсіз болатынын көрсетеді (2.11)өрнегін (2.10) өрнегіне қойып, мынаны аламыз:

Егер еркін зарядтар тұйықталған беттің ішінде көлемдік тығыздықтан бөлініп таралған болса, (2.12) өрнегі мына түрде өзгерер еді:

(2.12) мен (2.13) өрнектері диэлектриктердегі өріске арналған Остроградский – Гаусс теоремасын бейнелейді. Ол былай тұжырымдалады:

Тұйықталған бет арқылы өтетін электрстатикалық индукция веторының ағыны осы беттің ішіндегі еркін зарядтардың алгебралық қосындысына тең.

Вакуумде =0 болады, олай болса, (2.12) өрнегімен анықталатын шамасы - ге, ал (2.12) мен (2.13)

өрнектеріне айналады.

(2.11) формуласына үшін (2.3) өрнекті қойып, мынаны аламыз:

(2.14)

Өлшемсіз мына шаманы:

ортаның салыстырмалы диэлектрик өтімділігі немесе жай ғана диэлектрик өтімділік деп атайды.

Демек, (2.14) қатысты мына түрде жазуға болады:

(2.16)

Бұдан вакуумдағы нүктелік зарядтардың кернеулігін анықтайтын формуланы еске алсақ, осындай зарядтың электрлік ығысуы мынаған тең:

Мысалы: Жазық пластинканың ішіндегі өріс

Бұдан,

Сонымен, қарастырылған жағдайда салыстырмалы диэлектрлік өтімділік өрістің диэлектрлік әсерінен қанша есе әлсірейтіндігін көрсетеді.

(2.19) – ды - ге көбейтіп, пластинканың ішіндегі электрлік ығысуды аламыз:

(2.20)

Сөйтіп, пластинканың ішіндегі электрлік ығысу еркін зарядтардың өріс кернеулігін -ге көбейткенге тең. Яғни сыртқы өрістің электрлік ығысуы - мен дәл келеді екен. Пластинкадан тыс және - да - ға тең.

- ты табу үшін (2.19) өрнектегі Е мен - ды зарядтардың тығыздытары арқылы өрнектейміз:

.

Бұдан

Біз қарастырған жағдайда (2.3-сурет) деп ұйғарғанда орындалған. Осыған сәйкес диэлектиктегі сызықтарының жиілігі пластинадан тыс жердегіге қарағанда үш есе аз болады. Өріс біртекті болғандықтан, сызықтар бір – бірінен бірдей қашықтықтарда жүргізілген. Берілген жағдайда ’ – ты (2.2) формулаға сүйенбей-ақ табуға болады. Шынында, пластинканың ішіндегі өріс кернеулігі оның сыртындағыдан үш есе аз болғандықтан, кернеулік сызықтарының еркін зарядтан басталатын (немесе бітетін үшеуінің екеуі байланысқан зарядта аяқталуы) сәйкес басталуы тиіс. Осыдан шығатыны: байланысқан зарядтардың тығыздығы еркін зарядтар тығыздығының - не тең болуы тиіс.