Француз математиктері Блез Паскаль Мен Пьер Ферма құмар ойындарын талдап, Жеңіс болжамын зерттеді. Содан кейін олар кездейсоқ оқиғалардың алғашқы заңдылықтарын сүйек лақтыру мысалында байқап, ықтималдық теориясын тұжырымдады.Монетаны лақтырған кезде біз оның құлағанын нақты айта алмаймыз: Бүркіт немесе құйрық.
Бірақ егер сіз монетаны бірнеше рет лақтырсаңыз, онда әр жағы шамамен бірдей мөлшерде түседі. Ықтималдылықты не тұжырымдауға болады: 50% - дан 50% - ға дейін, "бүркіт" немесе "құйрық"құлап кетеді.Ықтималдық теориясы-кездейсоқ құбылыстардың заңдылықтарын зерттейтін математиканың бір саласы: кездейсоқ оқиғалар, кездейсоқ шамалар, олардың қасиеттері және олардағы операциялар.
Оқиға және оқиға түрлері
Оқиға-ықтималдық теориясының негізгі ұғымы. Оқиғалар сенімді, мүмкін емес және кездейсоқ.Сынақ нәтижесінде міндетті түрде болатын оқиға сенімді. Мысалы, тас құлап кетеді.Сынақ нәтижесінде әдейі болмайтын оқиға мүмкін емес. Мысалы, тас құлаған кезде ұшып кетеді.Кездейсоқ-бұл сынақ нәтижесінде болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін оқиға. Мысалы, карталар палубасынан ACE алынды.
Оқиғалардың толық тобы-бұл көптеген сәйкес келмейтін оқиғалар, олардың арасында осы оқиғалардың бірі міндетті түрде жеке сынақ нәтижесінде пайда болады.
Ықтималдық теориясы
А оқиғасының ықтималдығы кейбір сынақтарда қарым-қатынас деп аталады:
P (A) = m/n, мұндағы n — осы сынақтың барлық мүмкін емес, қарапайым нәтижелерінің жалпы саны, ал m — а оқиғасына қолайлы қарапайым нәтижелердің саны.
Мысалы:
36 картадағы палубадан бір карта алынды. Құрт костюмінің картасының ықтималдығы қандай?Қалай айтамыз:Жоғарыда келтірілген ықтималдық теориясының негізгі формуласын еске түсіреміз. Қарапайым нәтижелер саны, яғни карталар саны-36 (n). Құрт костюмі (А) картасының пайда болуына қолайлы жағдайлар саны 9 (м) - ге тең.Демек:P(A) = 36/9 = 1/4 = 0,25
Оқиғалар сомасының ықтималдығы
Сәйкес келмейтін оқиғалардың ықтималдығын қосу теоремасы:P(A+B)=P(A)+P(B)
Мысалы:
Баспа экспедициясы газеттерді үш пошта бөлімшесіне жіберді. Газеттерді бірінші бөлімге уақтылы жеткізу ықтималдығы - 0,95, екінші бөлімге - 0,9, үшінші бөлімге-0,8. Келесі оқиғалардың ықтималдығын табыңыз:а) газеттерді уақытында бір ғана бөлім алады;б) кем дегенде бір бөлім кешігіп газет алады.Шешім: оқиғаларды енгізіңізА 1 = (газеттер бірінші бөлімге уақтылы жеткізілді),A2 = (газеттер екінші бөлімге уақтылы жеткізілді),A3 = (газеттер үшінші бөлімге уақтылы жеткізілді),шарт бойынша P(A1)=0,95;P(A2)=0,9;P (A3)=0,8.
Тәуелді оқиғалардың ықтималдығын көбейту теоремасы
Екі тәуелді оқиғаның бірлескен пайда болу ықтималдығы олардың біреуінің ықтималдығының көбейтіндісіне, екіншісінің шартты ықтималдығына тең, бірінші оқиға болды деген болжаммен есептелген:Мысалы:
Конвертте 10 лотерея билеті бар, оның ішінде 3 ұтыс. Конверттен билеттер дәйекті түрде алынады.
Табу керек: 2-ші алынған билет, егер 1-ші жеңімпаз болса, жеңімпаз болады;
Шешу: толық палубадан қатарынан 2 құрт алу мүмкіндігі.
Байес формуласы
Байес теоремасы (немесе Байес формуласы) — онымен статистикалық өзара байланысты басқа оқиға болған жағдайда оқиғаның ықтималдығын анықтауға мүмкіндік беретін қарапайым ықтималдық теориясының негізгі теоремаларының бірі.
Байес формуласына мысал
Мысал .Үш урна бар; бірінші 3 ақ шар және 1 қара, екіншісінде - 2 ақ шар және 3 қара, үшінші - үш ақ шар. Біреу кездейсоқ қораптардың біріне келіп, одан бір допты шығарады. Бұл доп АҚ болып шықты. Бұл доптың бірінші, екінші, үшінші урнадан шығарылуының тәжірибелік (постериорлық) ықтималдығын табыңыз.
