Ықтималдықтың қосу және көбейту теремалары

Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары

1-теорема. Екі үйлесімсіз оқиғалардың

1-теорема. Екі үйлесімсіз оқиғалардың

қайсысы болсада біреуінің пайда болу

ықтималдығы, осы оқиғалардың

ықтималдықтарының қосындысына тең.

1-Мысал.

Мерген 3 аймаққа бөлінген нысанаға атып

тұрады. І аймаққа түсу ықтималдығы - 0,45,

II аймақта - 0,35. Мергеннің бір атқанда

бірінші немесе екінші нысанаға дәл

тигізетіндігінің ықтималдығы қандай

Шешуі.

А-бірінші мерген нысанаға дәл тигізді.

В-екінші мерген нысанаға дәл тигізді.

А және В оқиғалар үйлесімсіз оқиғалар, онда

2-теорема. Екі үйлесімді оқиғалардың ең

кемінде біреуінің пайда болу ықтималдығы,

осы оқиғалар ықтималдықтарының

қосындысынан екеуінің бірге пайда болу

ықтималдығын шегергенге тең:

2-Мысал.

Екі ойын сүйегін лақтырғанда 6 ұпай түсетіндігінің

ықтималдығын табыңыз.

Шешуі.

А- оқиғасы бірінші ойын сүйегінде 6 ұпай пайда болуы

В- оқиғасы екінші ойын сүйегінде 6 ұпай пайда болуы

3-теорема. Оқиғалардың толық тобын

3-теорема. Оқиғалардың толық тобын

құрайтын оқиғаларының

ықтималдықтарының қосындылары бірге

тең:

4-теорема. Қарама-қарсы оқиғалар

ықтималдықтарының қосындысы бірге тең:

3 – Мысал.

Институттың кеңес беру пунті А,В және С

қалаларынан бақылау жұмысы бар пакеттерді

алады. А- қаласынан алынған пакеттің

ықтималдығы, Р(А)=0,7. В-қаласынан алынған

пакеттің ықтималдығы, Р(В)=0,2. Табу керек,

келесі С-қаласынан алынатын пакеттің

ықтималдығын.

Шешуі: Р(А)+Р(В)+Р(С)=1, 0,7+0,2+Р(С)=1,

Р(С)=1-0,9=0,1.

4 – Мысал.

Ауа райының жауынды болатындығының

ықтималдығы, р=0,7. Табу керек, күннің

ашық болатындығының ықтималдығын.

Шешуі: Күннің ашық болатындығы жауынды

күнге қарама-қарсы, сондықтан

р+q=1. 0,7+q=1, q=0,3.

Анықтама.

В оқиғасының шартты ықтималдығы

деп, А оқиғасы пайда болғаннан кейінгі, В

оқиғасының пайда болу ықтималдығының

есептелуін айтамыз.

5-Мысал.

Жәшікте 4-ақ және 3-қара шар бар. Жәшіктен

бірінен соң бірі екі шар алынды. Алынған

екінші шар қара болуы үшін,бірінші шардың

қара екендігінің ықтималдығын анықта.

Шешімі: А- бірінші шар қара

В- екінші шар қара

5-теорема. Екі тәуелді оқиғаның үйлесімді

5-теорема. Екі тәуелді оқиғаның үйлесімді

пайда болу ықтималдығы, осы оқиғалардың

біреуінің ықтималдығының, бірінші оқиға

пайда болғаннан кейін есептелінетін

екіншісінің шартты ықтималдығына тең:

6-Мысал.

36 картаның ішінен кез келген 2 карта алынсын.

Осы екі картаның бір түсті болуының

ықтималдығын табу керек.

Шешуі.

6-теорема. Екі тәуелсіз оқиғаның үйлесімді

6-теорема. Екі тәуелсіз оқиғаның үйлесімді

пайда болу ықтималдығы, осы оқиғалар

ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең:

7-Мысал.

Екі жәшікке бұйымдар салынған. Бірінші жәшікте

10 бұйым, оның 3 - уі стандартты, екіншісінде –

15бұйым, оның 6 – уы стандартты. Әрбір жәшіктен

бір-бірден кез келген бұйым алынды.Алынған екі

бұйымның да стандартты екенінің ықтималдығын

табу керек.

Шешуі: А – бірінші жәшіктен алынған бұйым

стандартты, В – екінші жәшіктен алынған бұйым

стандартты.

Бұл екі оқиғада үйлесімді.

Бұл екі оқиғада үйлесімді.

Сондықтан

формуласын пайдалануға болады:

7-теорема.(Ең болмағанда бір оқиғаның

7-теорема.(Ең болмағанда бір оқиғаның

пайда болуының ықтималдығы туралы

теорема). А1,А2,А3,А4,...Аn оқиғалары жинақ

бойынша тәуелсіз болса, осы оқиғалардың ең

болмағанда біреуінің (А оқиғасы) пайда

болуының ықтималдығы мына формуламен

анықталады.

8-Мысал.

Екі мерген атыс алаңында атыс жүргізуде.

Бірінші мергеннің нысанаға тигізу ықтималдығы

– 0,7, екіншісінікі – 0,8 тең. Егер екеуі де бір-

бірден атыс жасаса, ең болмағанда біреуінің

нысанаға дәл тигізетіндігінің ықтималдығы

қандай?

Шешуі. Ең болмағанда бір оқиғаның пайда болуы

туралы теореманы пайдаланып шығаруға

болады. D-оқиғасы ең болмаса біреуінің

нысанаға тигізуі болсын.

Сонда

Сонда

Бұл жерде

Жеке жағдайда, егер А1,А2,А3,А4,...Аn

Жеке жағдайда, егер А1,А2,А3,А4,...Аn

оқиғаларының пайда болуының

ықтималдықтары бірдей болса, яғни

онда