«Алгебра және анализ бастамалары» оқу пәні

21

Алгебра  және  анализ  бастамалары  курсымен  орта  мектептегі  алгебраны

оқыту  аяқталады.  Берілген  курс  анализ  бастамаларына қатысты ұғымдарды,

тұжырымдар  мен

әдістерді  мазмұндық

ашумен,  олардың

тәжірибелік

маңыздылығын айқындаумен сипатталады.

Алгебра  және  анализ  бастамаларын  игеру  оқушылардың ой-өрісін,

логикалық пайымдау,  дәлелдеулер  жүргізу,  практикалық есептерді  шығару

барысында математикалық білімдерін қолдану біліктігін дамытуға бағытталған;

математикалық

оқу

қызметіне 

оқушыларды

қатыстыруға, 

олардың

математикалық материалды  түсінуіне  бағытталған  жұмыстардың белсенді

түрлерін  көбейтуді  көздейді.  Сонымен қатар  математиканы  оқытудың бір

құрамдас бөлігі  ретінде  визуальды  оқытуды  күшейту  мақсатында  ақпараттық

технологияларды қолдануға көңіл бөлінеді.

Пәнді  оқытудың мақсаты: ғылымның универсал  тілі, құбылыстар  мен

процестерді  моделдеудің  құралы  ретінде  математика  туралы  түсінікті

қалыптастыру;

қоғамдық

прогресс

үшін  математиканың

маңыздылығын

түсіндіру;  мектептегі  жаратылыстану-математикалық циклі  пәндерін  игерудің

және  болашақ кәсіптік қызметке  байланысты  білімді  жалғастыруда  негізі

ретінде алгебра және анализ бастамаларының базистік негіздерін игеру.

Пәнді оқыту міндеттері:

– оқушылардың математиканың ауызша  және  жазбаша  тілдерін;    түрлі

есептерді  шығару  барысында  ауызша  және  жазбаша қатынастың  әртүрлі

құралдарын қолдану біліктігін меңгеруі;

математикалық ойлау  мен  интуицияны,  математикалық  қабілеттілікті

дамыту;

– алгебра  және  анализ  бастамаларының

қолдану

аймағы  туралы

оқушылардың түсініктерін  кеңейту; математиканың есептерін  шығаруда  жаңа

тәсілдерді  игеру;  есепті  шығаруда таңдаған  тәсілін  басқа  да  мүмкін  болатын

тәсілдермен салыстыру арқылы негіздей алу;

практикалық жағдайларда математикалық білімдерін қолдану біліктерін,

келіп түскен ақпараттар ағынында бағдарлау білігін дамыту;

алгебра  және  анализ  бастамалары құралдары  арқылы  тұлға  мәдениетін

тәрбиелеу;  математиканың даму  тарихымен,  математикалық идеялардың

эволюциясымен, жалпыадами мәдениеттің жетістіктерімен таныстыру;

әлеуметтік

ұтқырлықты,

өзіндік  шешімді

қабылдау  мүмкіндігін

қамтамасыз ететін тұлғалық қасиеттерін тәрбиелеу;

өзіндік жұмыс  дағдысын, қажетті  ақпаратты өздігінен  және  ақпараттық

технологиялар  арқылы  іздеу  мен  таңдау  біліктігін дамыту;  топта  жұмыс  істеу

және  жеке  тапсырмаларды  орындаудағы өзіндік  бағалау  дағдыларын  дамыту;

оқушыларға  берілген  тақырып  бойынша өздігінен  есептер құрастыру  және

оларды шығаруға, сабақтарға презентациялар дайындауға мүмкіндік беру;

өздігінен білім алу және өзін-өзі тәрбиелеу қабілеттерін дамыту;

жобалық  қызметтің және  ақпаратты  графиктік құралдар  арқылы

бейнелеу негіздерін меңгеру;

тұлғаның даму  факторы  (басқаларды  тыңдау  және  түсіну, өзін  таныту,

компромисс  табу,  топ  ішінде қарым-қатынас жасау,  келісімге  келу,  топта

22

жұмыс  жасау, өзінің және  жолдастырының жұмыстарын  бағалай  білу)  ретінде

оқушыларды  ойын,  коммуникативтік,  практикалық және  зерттеу қызметіне

қатыстыру арқылы адамдар арасындағы қарым-қатынастың жоғары мәдениетін

тәрбиелеу.

Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математикалық бағыттағы

алгебра  және  анализ  бастамалары  курсының негізгі  мазмұндық-әдістемелік

бағыттары:

сандар  және  есептеулер  бағыты;

өрнектер

және  оларды

түрлендірулер  бағыты; теңдеулер мен теңсіздіктер  бағыты; функционалдық

бағыты; стохастика элементтері бағыты болып табылады [32].

11-12 сынып алгебра және анализ бастамалары курсында оқушылар негізгі

орта  білім  беру  деңгейіндегі  алгебра  курсын  жалғастырып қана қоймай,

білімдерін кеңейту мен тереңдетуді қарастыратын болады.

Оқушылар  алгебра  және  анализ  бастамалары  курсының мазмұндық-

әдістемелік бағыттары  бойынша комплекс  сандар  және  олардың жазылуының

әртүрлі

формаларын,  комплекс  сандардың

координаталық

жазықтықта

кескінделуін, 

комплекс 

сандармен 

амалдар 

орындауды; 

бірнеше

қосылғыштардың алгебралық  қосындысының квадратын, п >  3 үшін қысқаша

көбейту формулаларын, көпмүшені көпмүшеге қалдықпен бөлуді, көпмүшелер

үшін Евклид  алгоритмін, Горнер  схемасын,  Безу  және  Виет  теоремаларын,

көпмүшенің түбірлерін; бірнеше  айнымалылы  көпмүшенің стандартты  түрін;

симметриялы  көпмүшелерді,  бірнеше  айнымалысы  бар  тепе-теңдіктер  мен

теңсіздіктерді  дәлелдеуді; теңдеулер  мен  олардың жүйелерін  шешудің негізгі

әдістерін,  теңсіздіктер  мен  олардың жүйелерін  шешудің негізгі әдістерін,

дәрежелік-көрсеткіштік 

теңдеулер 

және 

теңсіздіктерді, 

айнымалысы

логарифмнің негізінде  берілген  логарифмдік  теңдеулер  және  теңсіздіктерді,

айнымалысы  модуль  таңбасы  ішінде  берілген  логарифмдік  және  көрсеткіштік

теңдеулер  мен  теңсіздіктерді,  параметрі  бар  теңдеулер  мен  теңсіздіктерді,

жоғары  дәрежелі  теңдеулерді  шешуді; функцияның нүктедегі  шегі; бірінші

және  екінші  тамаша  шектерді; функцияның нүктедегі  және  жиындағы

үзіліссіздігі; туынды, оның геометриялық және физикалық мағынасын; күрделі

функция  және  оның туындысын; функцияның дифференциалын және  оны

жуықтап  есептеулерде қолдануды;  функция  графигіне  жүргізілген  жанама  мен

нормальдің теңдеуін,  екінші  ретті  туынды  мен  оның физикалық және

геометриялық мағыналарын; қисықтың асимптоталарын, функцияның өсу және

кему белгілерін, функцияның сындық нүктелері мен экстремумдарын, функция

графигінің дөңестігі мен ойыстығын, функцияның иілу нүктелерін, функцияны

зерттеу  және  оның графигін  салуды,  функцияның ең  үлкен  және  ең кіші

мәндерін; алғашқы  функция  және  оның  қасиеттерін,  анықталмаған және

анықталған 

интегралды; 

интегралдың

геометриялық

және 

физикалық

мағынасын; Ньютон-Лейбниц формуласын, анықталған интегралдың көмегімен

жазық фигураның ауданын  және  дененің көлемін  табуды; дифференциалдық

теңдеулер ұғымын, қарапайым  дифференциалдық теңдеулерді; комбинаторика

элементтерін:

қайталамалы 

және

қайталамасыз 

алмастырулар 

мен

орналастырулар,

қайталамасыз  терулерді;  Ньютон  Биномын,

оқиғаның

ықтималдығын  табуда  комбинаторика  формулалары  мен  Ньютон  биномын

23

қолдануды, кездейсоқ шаманың  үлестірім  заңын;  Бернулли  формулаларын;

ақпараттарды өңдеудің статистикалық әдістерін оқып біледі.

Жаратылыстану-математикалық бағытта алгебра және анализ бастамалары

пәнін  оқытудағы  күтілетін  нәтижелер  келесі құзыреттіліктердің  қалыптасу

деңгейлеріне сәйкес болуы керек [33, 34, 35, 36]:

Оқу-танымдық  құзыреттілік

–

шынайы  танып  білу  нысанымен

сәйкестендірілген 

логикалық, 

әдіснамалық,

жалпы-оқу

қызметтер

элементтерінен  тұратын  оқушылардың  өзіндік  танымдық іс-әрекет аясындағы

құзыреттілік жиынтығы. Мұнда оқу-танымдық іс-әрекеттегі білім мен мақсатқа

сәйкестік,  жоспарлау,  талдау,  рефлексия, өзін-өзі бағалауды ұйымдастыру

біліктігі енгізіледі.

Оқу-танымдық  құзыреттілік  пәнді  игеру  деңгейімен;  ойлау қызметінің

жалпылама әдістерімен;  индукция  мен  дедукция,  жалпылау  мен  нақтылау,

анализ бен синтез, абстракция мен ұқсастықты қолдана отырып тұжырымдарды

негіздеу мен дәлелдей алу біліктігінің қалыптасуымен және білімді практикада

қолдануымен сипатталады.

Ақпараттық 

құзыреттілік

–

оқулықтардан,

ғылыми-танымал

әдебиеттерден,  газет және  журналдардан,  Интернет  арқылы,  теледидар,  радио

тәрізді әр түрлі дерек көздерінен ақпарат іздеу, ақпаратты алу, қажет ақпаратты

талдау және іріктеу, түрлендіру, сақтау және жіберу біліктігін көздейді.

Алынған  ақпаратты өзінің оқу қызметін  жоспарлау  мен  жүзеге  асыруда

қолдану; өздігінен білімді  меңгеру  біліктігі  және  пайда болған проблемаларды

шешу барысында біліміндегі олқылықтарды анықтауда көрсетеді.

Коммуникативтік құзыреттілік – жанындағы  және  шалғайдағы  адамдар

мен  жағдаяттардың  өзара

қарым-қатынас  тәсілдерін  білуден  тұрады.  Ол

жұппен  және  топпен  жұмыс  жасау  және ұжымдағы  түрлі әлеуметтік  рөлдерді

меңгеруімен, қойылған  міндеттердің  ұжымдық шешім  таба  білуімен, ұжымда

мәселені 

талқылау 

мен 

оны 

шешуге

қатысуымен,

өз 

көзқарасын

сыпайлылықпен қорғау, өз пікірін  сыпайы қорғай  білуімен, өз  көзқарасына

құқықтылығын түсінуімен, басқа адамдардың пікірлеріне құрметпен қарауымен

сипатталады.

Құндылыққа бағытталған құзыреттілік – күнделікті өмірге қажет білім

мен  біліктіліктерді  меңгеру  маңыздылығын  сезіну;

ғылыми-техникалық

прогресс үшін  оның  қоғам өмірі  мен  елдің экономикалық даму  деңгейін

арттыруға қажеттілігін түсіну.

Жалпымәдениеттік құзыреттілік – жалпыадамзаттық мәдениеттің бөлігі

ретінде  алгебраның

даму  тарихымен  таныстыру  арқылы  пәнге  деген

көзқарасын тәрбиелеу болып табылады.

Әлеуметтік құзыреттілік – азаматтық борыш  пен  жауапкершіліктің

қалыптасуы;  айналасындағыларға құрметпен қарап,  басқа  адамдардың мүддесі

мен өз мақсатының ара қатынасын белгілей білуі.

Жаратылыстану-математикалық

бағытта 

«Алгебра

және 

анализ

бастамалары» пәнін оқыту үдерісінде келесі салалас оқу пәндерімен пәнаралық

байланыстар:

24

«Қазақ тілі»  пәнімен: алгебралық терминологиялармен  сөздік қорын

байыту;  теоремаларды  дәлелдеу, қорытындыларды  тұжырымдау  барысында

сөйлеу қабілетін дамыту;

«Геометрия»  пәнімен: теңсіздіктер  және  олардың жүйелерін  шығару

барысында геометриялық фигуралардың бірігуі мен қиылысуын табу біліктерін

қолдану; ауданды табуда геометриялық фигуралардың қасиеттерін қолдану;

«Физика»  пәнімен:функцияның нүктедегі  және жиындағы  туындысының

физикалық мағынасы туралы білімдеріне сүйену; берілген уақытта материалды

нүктенің  қозғалыс үдеуін  есептеу үшін  функцияның екінші  туындысының

физикалық мағынасы туралы білімдеріне сүйену;

«Химия»  пәнімен:

мәтінді  есептерді  шығару  барысында

қоспалар,

ертінділер,  концентрациялар  және  т.с.с.  туралы  білімдерін қолдану; берілген

уақытта  ертіндінің концентрациясын  табуға  арналған  практикалық есептерді

шығару барысында молекулярлық масса туралы білімдерін қолдану;

«Информатика»  пәнімен: компьютермен  жұмыс  атқару,  яғни  формуланы

теру  мен  ол  бойынша  есептеулер  жүргізу;  функция  графиктерін  салуда

графикалық

нысаның

параметрлерін 

реттеу 

дағдыларын

қолдану;

мультимедиялық оқыту құралдарын қолдану;

«Технология»  пәнімен: өзіндік құн,  кіші  бизнеске  жіберілетін  шығынның

түрлері туралы білімдерін қолдану; түсім туралы білімдерін қолдану; тауар мен

қызмет көрсетудің бағасын  есептеп  шығаруды  жасау  бойынша  білімдерін

қолдану арқылы жүзеге асырылады.

Жаратылыстану-математикалық

бағыттағы 

алгебра 

және 

анализ

бастамалары курсының мазмұны қоғамдық-гуманитарлық бағыттың мазмұнына

қарағанда кеңейтілген  және  тереңдетілген,  жоғары  оқу  орнының жоғары

математика  курсының

элементтерімен

сабақтастық

байланыста

болып

табылады.

Орта 

мектептегі 

жоғары 

сыныптардың

математика 

курсының

бағдарламасына  жоғары  математика  курсының негізгі ұғымдары  енгізілген,

яғни оқушылар алдын-ала жоғары математика курсының кейбір элементтерімен

танысады. Мәселен, математикалық анализ курсының элементтері, атап айтсақ

«Функция», «Шек», «Үзіліссіздік», «Туынды», «Интеграл», «Дифференциалдық

теңдеулер»  және  т.б.  орта  мектепте  басталып,  жалғасы  жоғары  оқу

орындарында  аяқталады. Осы  тұрғыда,  орта  мектепте  алған  математикалық

білім негізінде жоғары оқу орнындағы оқу материалдары меңгерілуі тиіс.

«Алгебра  және  анализ  бастамалары»  пәнінің оқу бағдарламасына  жоғары

математика  элементтерінің  ұғымдарын  енгізу,  келесі  мақсаттарға  жету үшін

бағытталған [30]:

1) оқушылар  айнымалы  шамалар  математикасымен,  яғни  жоғары

математикамен  танысу  керек  (негізінде,  оқушылар  оқылу  обьектісі  айнымалы

шамалар болатын элементар математикамен танысады);

2) оқушылар элементар математиканың құралдарымен шешуге келмейтін

стандартты  емес  есептерді  шешу  тәсілдері  туралы  түсініктемелер  алулары

керек;

25

3) оқушылар  функцияны  зерттеуге,  физикалық есептерге,  практикалық

есептерге  және  т.б.  байланысты

әртүрлі  есептерді  шешуде  жоғары

математиканың элементтерін қолдана білулері керек.

Осы  білімдерді  толық меңгерген  студент  ЖОО-да  математикалық анализ

курсын  тыңдап,  түсініп,  білімін  жалғастыруға қабілетті  болады.  Бұл  жерде

жалпы білім беретін мектептің мақсаты оқушыны жеке тұлға (яғни, оқушының

математикалық, ақпараттық, ғылыми-жаратылыстану, әлеуметтік сауаттылығы,

білік-дағдысы,  тәрбиелігі)  етіп қалыптастыру  болса,  ЖОО-ның мақсаты  терең

кәсіптік  білім  берумен қатар  студентті  шығармашылық іс-әрекетке бейімдеу

екенін  ескерсек  орта  және  жоғары  мектеп  арасындағы  математикалық білім

сабақтастығы мазмұндық сабақтастық шеңберін білім беру формасы, тәсілдері,

құралдарын қамтитын жазықтыққа  кеңейтуді қажет  етеді.  Осы  жазықтықта

екіжақты 

жүйелі

әлеуметтік-психологиялық,

педагогикалық

іс-шаралар

жүргізілуі керектігі көрінеді.

Математика қазіргі заманда табиғат тану мен экономиканың сөйлейтін тілі

ретінде  есептелетіндіктен,  математика  сабақтарында  физика,  информатика,

экономика  сияқты  пәндермен  интегративті  байланысты қамтамасыз  ету  керек.

Ол  талапқа  біз қолымызды  экономикалық және  физикалық мазмұндағы

есептерді  таңдау  арқылы қол  жеткіземіз,  яғни,  пайдаланудағы ұғымдарды

физикалық, геометриялық және  экономикалық мазмұнын  түсіндіру,  ашуды

орындаймыз.  Сабақтастық пен  пәнаралық байланыстарды    жүзеге  асыру

арқылы  математикалық білімнің қолданбалық сипаты  күшейтіледі, әртүрлі

математикалық моделдер құрастырылып, практикалық есептер шешіледі.

Жаратылыстану-математикалық

бағыттағы 

математиканы 

оқыту

барысында оқушылардың пәнге деген қызығушылығын, өздігінен білім алу мен

олардың  қарым-қатынастық қабілеттерін дамытуда,  білім  деңгейін  көтеруде

оқытудың жаңа  педагогикалық технологияларын  тиімді  пайдалану  нәтиже

бермек. Білім мазмұнын  кеңейту  мен  математиканы  оқытуды  жетілдіру

бойынша

қолданыста

жүрген  педагогикалық

технологиялардың

бірнеше

түрлерін  жіктеуге  болады:  проблемалық

оқыту,  бағдарламалық

оқыту,

дидактикалық бірліктерді  ірілендіру,  дамыта  оқыту,  тұлғалық-әрекетті оқыту,

деңгейлік  саралаумен  оқыту,  ойын  арқылы  оқыту,  модульдік  оқыту, ұжымдық

оқыту және т.б. технологиялары [25].

Оқушылардың  өздігінен жұмыс  істеуі мен  шығармашылық  қабілеттерін

арттыруды және  жоғары  оқу  орындардағы  оқу үдерісіне  даярлауды  жүзеге

асыру  мақсатында  модульдік,  компьютерлік

технологиялармен

оқытуды

пайдаланған  жөн. Өйткені, оқытудың  әртүрлі  белсенді  формаларын  (топтық,

жеке  топтық, диспуттар,  т.б.) қолдануға, өзін-өзі дамытуға,  бірін-бірі  оқытуға,

оқулықпен  жұмыс  істеуге үйренеді, қосымша әдебиеттерден  білім  алуға  баулу

арқылы оқушылармен жүйелі жұмыс істеуге мол мүмкіндіктер бар.

Модульдік оқыту технологиясын математика сабағында пайдаланудың бір

ерекшелігі:  есеп  шығару  сабақтарына  сағат  саны  көбірек  бөлініп,  деңгейлік

саралап  оқытуды  жүзеге  асыру  ыңғайлы.  Сондықтан  математика  пәнінен

құрылған модульдердің операциялық элементтері қолданбалы  есептер  жинағы

немесе практикалық мазмұннан  тұратын қосымша оқу  материалдары  болып

26

табылады.  Операциялық элемент  дидактикалық ойындармен  берілуі  мүмкін,

бұл оқушылардың танымдық қызметтері мен әлеуметтік-маңызды мақсаттарды,

ұжымдағы мінез-құлық ережесін  меңгеруді, қарым-қатынастық тәжірибені

игеруді, коммуникативтік дағдыларын қалыптастыруды көздейді [37].

Практикалық мазмұнды есептерді шығару математикалық білімді өмірімен

ұштастыруға,  алған  білімін  еңбекпен  байланысты  іс-әрекеттермен қолдана

білуге  көмектеседі.  Есептердің мазмұнында  теориялық немесе  практикалық

маңызы  бар  сұрақ туатын қандай  да  бір  болмасын  жағдаят  баяндалады.  Осы

тұрғыда  кәсіптік  мазмұнды  математикалық есептерді қарастыру,  оларды

шығарудың  әдіс-тәсілдерін үйрету,  есеп  шығару  дағдыларын қалыптастыру

қажет.  Есеп  шығару  барысында  кәсіптік ұғымдардың мағынасы  ашылып,

нақтыланады,  оның ескерілмей  жатқан  жаңа  бір қырлары  байқалады.  Мұндай

есептерді  пайдалануда  есептің мазмұнына,  алынған  жауабына  мұғалімнің

берген  түсініктемесі  оқушының кәсіптік, өмірлік,  практикалық ойлауын

қалыптастырудың негізгі құралы болып табылады.

Жоғары  сыныптарда  математиканы  оқытуда  дәріс әдісін қолдануға

болады. Ол  бүкіл сабақты  немесе  оның бір  бөлігін қамтуы  мүмкін  және  онда

келтірілетін, айтылатын материалдың мазмұны кішігірім мағлұматтан, кестелер

арқылы  орындалатын  жұмыстардың сипаттамалары әңгіме  түрінде өтіп,  оны

оқушылар қысқа  да,  нұсқа  етіп  жазып  алуға үлгерулері  тиіс. Дәрістік әдісті

қолдану белгілі  дәрежеде  оқушыларды  жоғары  оқу  орындарында  оқуына

дайындау болады. Өйткені оларда дәріс оқу оқытудың ең негізгі әдістерінің бірі

екені белгілі. Дәріс оқу барысында математиканың өзіндік тілі – символдардан,

формулалардан, белгілерден, графиктерден, суреттерден және тағы басқалардан

тұратын кестелермен визуалды ақпараттарды пайдаланған тиімді. Қандайда бір

визуалды  ақпаратты  алған  кезде  жаңа  бейнелер  мен  формаларды құру  мен

құрастыру мүмкіндіктері туады және олар проблемалық элементтерді қамтиды,

өйткені визуалды материал қандайда бір мазмұнға қатысты қысқартылған ойды

атқарады. Сондықтан  оқушылардың пәнге  деген қызығушылығын  арттыру,

оқушылардың белсенді  іс-әрекеттік сезімін  оята  отырып,  оларды  басқара  білу

үшін

үй

жұмысын  тексеруде,

жаңа

білімді  енгізуде,

дәрістер  оқуда,

практикалық сабақтарда,  алынған  білімді қорытып,  бір  жүйеге  келтірген  кезде

сапалы 

визуалдық 

қолдауларды, 

яғни 

көрнекі-бейнелік

қатынастарды

пайдаланған тиімді [25].

Басқаруды  жүзеге  асыруға  мүмкіндік  беретін  элементтердің бірі – тірек

конспектілері.  Тірек  конспектілері – қажетті білімдерді  еске  түсіруге  және

жалпылауға  мүмкіндік  беретін  кесте.  Ол  блоктардан  тұрады  және әрқайсысы

теорияның жекелей үзіндісіне  арналады.  Бұл  жылдам  бағыт  көрсетуге

мүмкіндік беретін мәтін, сурет және формуладан тұрады. Мұғалім тақырыптың

оқу  материалын

қысқаша

(10-12  минут  ішінде)  сызба,  кесте,

тірек

конспектілеріне сүйене  отырып дәріс  оқиды,  негізгі  ақпараттарды өтейді,

онымен  байланысқан  деректерді  жаңғыртуға  болады. Тірек  конспектісінің дәл

осы қасиетін мұғалім, оқушының оқу-танымдық іс-әрекетін ұйымдастыру үшін

пайдалана  алады. Схемалар,  формулалар,  графиктер  түрінде ұсынылған

абстрактылы  материалды  бергенде,  оқушы  оны  көруі  тиіс.  Берілген  жағдайда,

27

материалды  көзбен қабылдау  жүзеге  асырылады; ұсынылған  ақпаратты  сөзбен

жеткізген  артық болмайды. Мысалы,  «Интеграл»  атты  тірек  конспектісін

ұсынамыз (2-кесте).

2-кесте – «Интеграл» тірек конспектісі

ИНТЕГРАЛ

Белгілі  f(x)  функциясы үшін  F(х)

алғашқы функцияны табу үрдісін  f(x)

функциясын интегралдау деп атайды.

С

x

F

)

(

алғашқы функциялар жиынын

)

(x

f

функциясының анықталмаған интегралы д.а.:

C

x

F

dx

x

f

)

(

)

(

,

I

x

С

,

сonst

Анықталмаған интегралдың қасиеттері:

)

(

)

(

x

f

dx

x

f

С

x

f

dx

x

f

)

(

)

(

C

x

F

x

dF

)

(

)

(

Анықталмаған интегралдардың кестесі:

C

dx

0

- константа

C

kx

dx

k

С

е

dx

е

x

x

1

,

1

1

n

C

n

x

dx

x

n

n

C

x

x

dx

ln

C

x

x

dx

2

С

x

x

dx

tg

cos

2

С

x

c

x

dx

tg

sin

2

1

,

0

,

ln

a

a

С

a

a

dx

a

x

x

С

x

xdx

cos

sin

С

x

xdx

sin

cos

жүктеу/скачать 0,99 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: