Результаты расчета траектории движения производящей точки
М в зависимости от
углов поворота длины СМ = а, составлена в программе Excel (таблица 1).
Таблица 1 – Траектория движения точки
М в зависимости от угла поворота
ϕ
ϕ
0 10
20
30
40 50 60 70 80
а
290
283,8344
267,5851
247,8056
233,9758
233,9388
247,7171
267,4919
283,777
ϕ
90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
а
289,9998 283,8916 267,6782 247,8942 234,0131 233,9021 247,6288 267,3986 283,7193 289,9994
ϕ
190 200 210 220 230 240 250 260 270 280
а
283,9486 267,7712 247,983
234,0507 233,8657 247,5406 267,3051 283,6614 289,9987 284,0053
ϕ
290 300 310 320 330 340 350 360
а
267,8642
248,0719
234,0887 233,8298
247,4525 267,2116 283,6033 289,9977
На рисунке 2 представлена траектория движения режущих элементов,
расположенных на вершинах дискового РО, в декартовых координатах, что при
вращении скорость движения на каждой ветви изменяется от минимального до
максимального значения от 0 до 360 четыре раза.
0
50
100
150
200
250
300
350
0
20
40
60
80
10
0
12
0
14
0
16
0
18
0
20
0
22
0
24
0
26
0
28
0
30
0
32
0
34
0
Рисунок 2 - График зависимости СМ = а от угла поворота саттелита
На рисунке 3 представлена траектория движения резцов (зубьев) в полярных координатах
дискового РО с циклоидальным движением режущих элементов.
0
50
100
150
200
250
300
0
10 20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350 360
Рисунок 3 - Траектория движения резцов (зубьев) в полярных координатах дискового РО с
циклоидальным движением режущих элементов
Из рисунка 3 видно, что траектория движения резцов в полярных координатах
дискового РО с циклоидальным движением режущих элементов имеет форму правильного
четырехугольного квадрата с плавными переходами на вершинах.
Выводы
Автором разработана программа расчета траектории движения рабочего органа
циклоидальным движением режущих элементов на ЭВМ, в результате чего установлено,
что для рабочего органа треугольной формой диска траектория движения режущих
элементов представляет собой правильный квадрат с плавными переходами на вершинах.
ЛИТЕРАТУРА
1.Ли С.В. Научные основы создания циклоидальных рабочих органов СДМ. Дис.
док. тех. наук. Алматы, Фонд КазАТК, 2005, 235 с.
2.Ли.С.В. Классификация циклоидальных форм рабочих органов строительно-
дорожных машин // Усть-Каменогорск, Вестник ВКГТУ, 2004, №4, с. 80-81.
УДК 531: 622.233: 622.235
Айдосов Аллаярбек Айдосович - д.т.н., профессор (Алматы, КазАТК)
Айдосов Галым Аллаярбекович - д.т.н. (Алматы, КазТрансГаз)
Тойбаев Серикбай Несипбекович - к.т.н., доцент (Алматы, АТУ)
Акимханова Айгерим - ст. преподаватель (Алматы, АТУ)
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ТРУБОПРОВОДА С
ДЕФОРМИРУЕМЫМ ОСНОВАНИЕМ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПОДВИЖНОЙ
НАПОРНОЙ НАГРУЗКИ
Рассмотрим задачу о воздействие подвижной напорной нагрузки неизменного
профиля по трубопроводу с деформируемом основанием. Будем считать, что скорость
распространение нагрузки по трубопроводу постоянна, обозначим ее через
D
; материал
трубопровода вязкоупругий и удолетворяет модели Максвелла, а основания-упругая
среда. Задачу сводим к нахождению поперечного смещения
1
W
тоек среднего слоя
трубопровода, удовлетворяющей приближенному уравнению
[
]
2
4
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
4
2
1
1
(
)
(
3
)
(
) 4 (3
2
) (
) 8(1
)
6
1
( )
(
) .
o
z
W
W
W
h
N
M
M
M
N
M N
W
t
t
t
P W
M
f x Dt
h
ρ
ρ
ρ
−
−
−
−
−
−
−
−
⎡
⎤
∂
∂
∂
Μ
+
+
−
−
Δ
+
−
Δ
+
⎢
⎥
∂
∂
∂
⎣
⎦
+
= −
+
(1)
где операторы M
1
и N
1
для модели Максвелла равны
1
1
1
1
1
1 1
(
2 ) ,
,
N
E M
E
λ
μ
μ
=
+
=
1
λ
,
1
μ
-постоянные Ламе,
1
( )
W
ρ
- реакция основания и равна
( )
3
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
(
3
)
4
2
2
W
W
S
h
P W
M
M
N
W
h
t
t
t
ρ
ρ
−
−
−
⎧
⎫
⎡
⎤
⎛
⎞
∂
∂
∂
⎪
⎪
=
+
=
−
Δ
⎨
⎬
⎢
⎥
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎪
⎪
⎣
⎦
⎩
⎭
.
Приведем уравнение (1) к виду
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
4
2
2
2
2
2
2
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
2
4
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
7
4
3
4
8
6
2
2
5
4
2
2
2
z
W
W
h
E
E
W
E
W
t
t
t
W
W
S
h
E
E
W
f x
h
t
t
t
h
ρ μ λ
μ
ρ
λ
μ
ρ
λ
μ μ
μ λ μ
μ λ
μ
ρ μ λ
μ
ρ λ
μ
μ λ
μ
⎡
⎤
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
∂
∂
∂
+
+
+
−
+
Δ
+
+
Δ
+
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
+
⎧
⎫
∂
∂
⎡
∂
⎤
⎛
⎞
⎛
⎞
+
+
+
+
−
+
Δ
= −
+
⎨
⎬
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
⎥
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
⎩
⎭
(
)
,
Dt
⎡
⎤
⎣
⎦
(1*)
где операторы
1
E ,
2
1
E
соответственно равны
( )
1
0
1
( )
( )
t
t
E
t
e
d
ξ
τ
ζ
ζ
ζ ξ
ξ
τ
−
−
⎡
⎤
=
−
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
, (2)
( )
( )
2
1
2
0
0
2
1
( )
(
)
( )
t
t
t
t
E
t
e
d
t
e
d
ξ
ξ
τ
τ
ς
ς
ς ξ ξ
ξ
ς ξ ξ
τ
τ
−
−
−
−
=
−
+
−
∫
∫
, (3)
τ - время релаксации.
Как известно, операторы с разностными ядрами сводятся к дифференциальным
операторам, и уравнение (1*) приводится к дифференциальному уравнению
2
4
3
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
4
3
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
3
2
1
1
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
3
2
1
3
2
1
4
8 1
6
1
1
1
2
2
2
W
W
W
W
W
W
W
b
h
W
b
t
t
b
a
b
t
t
t
b
a
t
t
a
W
W
h
W
h
t
b
a
t
τ
τ
τ
τ
ς
τ
⎧
⎫
⎛
⎞
⎛
⎞⎛
⎞
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎪
⎪
+
+
+
+
+
−
−
Δ
+
+
−
Δ
+
⎨
⎬
⎜
⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎪
⎪
⎝
⎠
⎝
⎠⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠
⎩
⎭
⎛
⎞
∂
∂
⎛
⎞
+
+
+
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
(
)
2
1
1
1
1
2
2
1
1
4
.
z
W
W
W
W
f x Dt
t
t
t
τ
τ
τ
⎧
⎫
⎡
⎤
⎛
⎞
∂
∂
∂
⎪
⎪
⎛
⎞
+
− Δ
+
= −
+
⎨
⎬
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
⎪
⎪
⎣
⎦
⎩
⎭
(4)
Так как в поставленной задаче начальное условия отсутствуют, то искать общее
решение уравнения (4) проще переходя к подвижным координатам, связанным с
неподвижной системой координат известным преобразованиям Галилея
(
)
x Dt
ξ
=
+
. (5)
Тогда уравнение (4) переходит в обыкновенные дифференциальное уравнение
четвертого порядка по координате
ξ
от смещения
2
4
3
2
4
3
2
4
2
3
2
2
4
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
4
3
2
2
2
2
4
3
2
4
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1 1
3
2
3 2
4
8 1
6
1
1 3
2
2
d W
dW
d W
d W
d W
d W
d W
b d W
D
h
D
D
D
D
D
D
b
d
d
b a
b
d
d
d
b a
d
d
a d
S
W
h
D
W
hb
t
b a
ξ
τ ξ
ξ
τ ξ τ ξ
ξ
τ ξ
ξ
τ
⎧
⎫
⎛
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
⎪
⎪
+
+
+
+
+
−
−
+
+ −
+
⎨
⎬
⎜
⎟
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
⎪
⎪
⎝
⎠
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠
⎩
⎭
∂
⎛
⎞
+
+
+
+
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
3
2
3
2
2
1
1
1
1
1
2
3
2
2
3
2
1
1
2
1
1
4
( ).
z
d W
d W
dW
d W
d W
D
D
D
D
f
d
d
d
d
d
h
ξ
ξ
τ ξ τ ξ
ξ τ ξ
μ
⎧
⎫
⎡
⎤
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
⎪
⎪
+
+
−
+
=−
⎨
⎬
⎢
⎥
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠
⎪
⎪
⎣
⎦
⎩
⎭
(6)
Введем безразмерные параметры
0
1
,
D
D
b
=
2
0
2
0
1 2
,
2(1
)
b
a
ν
ν
−
=
−
0
1
,
S
b S
=
1
0
,
W
W
h
=
,
h
ξ
η
=
0
1
h
h
b
τ
=
. (7)
Здесь:
ν
−
коэффициент
Пуассона
материала
трубопровода;
0
S
− параметр,
характеризующий влияние деформативности и инерционности основания на процесс
колебания трубопровода;
0
D
− относительная скорость;
0
h
− параметр, учитывающий
время релаксации, полутолщину трубопровода
h
и скорость
0
b .
В безразмерном виде уравнение (6) принимает вид
4
3
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
3
2
( )
z
d W
d W
d W
dW
A
B
C
PW
F
d
d
d
d
η
η
η
η
η
+
+
+
+
=
, (8)
где
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
)
2
2
0 0
0
0 0
0
0
4
2
0
0
4
7 8
4 2
3
5 8
8 1
2
7 8
8
2
8
D h D
D S D
A
D
D
ν
ν
ν
ν
ν
ν
⎡
⎤
⎡
⎤
−
−
−
+
−
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
=
⎡
⎤
−
−
−
+
⎣
⎦
,
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
2
2
2
0
0
0 0
0
0
4
2
0
0
12 1
7 8
3
5 8
4 1
7 8
8
2
8
D
h
S h D
B
D
D
ν
ν
ν
ν
ν
ν
⎡
⎤
⎡
⎤
−
+
−
+
−
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
=
⎡
⎤
−
−
−
+
⎣
⎦
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
0 0
0 0
0
0
4
2
0
0
12
1
3
2 1
5 8
7 8
8
2
8
D h
D S
h
C
D
D
ν
ν
ν
ν
ν
⎡
⎤
−
+
−
+
−
⎣
⎦
=
⎡
⎤
−
−
−
+
⎣
⎦
,
(
)
(
)
(
)
0 0
0
4
2
0
0
6
1
7 8
8
2
8
S h
P
D
D
ν
ν
ν
−
=
⎡
⎤
−
−
−
+
⎣
⎦
,
(
)
(
)
(
)
0
4
2
0
0
0
0
12 1
( )
7 8
8
2
8
z
z
z
f
D
F
f
D
D
ν
η
μ
μ
ν
ν
−
= −
= −
⎡
⎤
−
−
−
+
⎣
⎦
.
Решение однородного уравнения (8) будем искать в виде
0
exp( ).
W
C
r
η
=
(9)
Тогда для
r
получаем характеристическое уравнение
4
3
2
0
0
0
0
0
r
A r
B r
C r P
+
+
+
+
= . (10)
Для построения структуры общего решения однородного уравнения (8)
характеристическое уравнение (10) численно решалось на ЭВМ.
Получено результаты численного расчета уравнения (10) для следующих значений
безразмерных параметров
0,1
0,3;
ν
≤ ≤
0,1;
ν
Δ =
0
2
4;
D
≤
≤
0
1;
D
Δ
=
0
0
2;
S
≤
≤
0
1;
S
Δ = 0
0, 2;
h
≤ ≤
0
0,1
h
Δ =
. (11)
Из полученных таблиц, видно, что первый корень характеристического уравнения
или равен нулю, или положителен; второй корень отрицателен или равен нулю, а два
других – комплексно - сопряженные с отрицательными действительными частями.
3,4
r
i
α β
= − ±
ν
0
D
0
h
1
0
r
≥
2
0
r
≥
α
β
0,1 2
2
2
0
1
2
0,000
0,000
0,000
0,000
-0,388
-2,15
0,000
0,427
0,166
0,965
0,646
0,435
Следовательно, общее решение однородного уравнения (8) имеет вид
[
]
3
1
1
2
3
4
cos(
)
sin(
)
r
r
од
W
С e
C e
e
C
C
η
η
αη
βμ
βη
−
=
+
+
+
. (12)
Аналогично, общее решение неоднородного уравнения (8) равно
0
,
од
ч
W
W
W
=
+
(13)
где
ч
W
− частное решение неоднородного уравнения и ищется в зависимости от вида
функции внешнего воздействия ( )
z
f
μ
.
При расчетах и при обработке различных экспериментальных данных внешнее
воздействие часто принимают в виде
[
]
{
}
0
0
0
Re
exp (
)
,
z
f
i
σ
β
α η
= −
− +
(14)
или
[
]
{
}
0
0
0
Im
exp (
)
,
z
f
i
σ
β
α η
= −
− +
(15)
где
0
σ
− постоянная размерности давления.
В случае воздействия вида (14) или (15) частной решение неоднородного уравнения
(8) равно
[
]
0
1
0
2
0
cos(
)
sin(
) ,
ч
W
e
A
A
β η
α η
α η
−
=
+
(16)
или
[
]
0
1
0
2
0
sin(
)
cos(
) ,
ч
W
e
A
A
β η
α η
α η
−
=
−
(17)
где
(
)
1
0
0
1
1
2
2
1
2
K
A
D
K
K
σ μ
= −
+
,
(
)
2
0
0
2
1
2
2
1
2
K
A
D
K
K
σ μ
= −
+
,
(
)
(
)
(
)
4
2
2
2
2
2
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
6
3
K
A
B
C
P
β
α
β
β
α β
β
α
β
⎡
⎤
=
−
+
+
−
+
+
−
−
+
⎣
⎦ ,
(
)
(
)
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
4
3
2
K
A
B
C
α
β α
β
β
α
β
⎡
⎤
=
−
+
−
+
+
⎣
⎦ .
Для выявления влияния относительной скорости
0
D произведем численный расчет
прогиба трубопровода.
При этом сравним случаи, когда
0
0
2,
3,
D
D
=
= а также когда
0
0
S
= (т.е. основание
отсутствует), и когда основание Винклеровское.
Запишем общее решение неоднородного уравнения (13) в случае воздействия (15):
[
]
3
1
1
2
3
4
cos(
)
sin(
)
r
r
о
W
С e
C e
e
C
C
η
η
αη
βμ
βη
−
=
+
+
+
+
[
]
0
1
0
2
0
sin(
)
cos(
) .
e
A
A
β η
α η
α η
−
−
(18)
Для определения постоянных интегрирования
1
2
3
4
,
,
,
C C C C имеем граничные условия
'
''
0
0
(0)
(0)
(0) 0;
o
W
W
W
=
=
=
0
( ) 0
W
∞ = . (19)
откуда для определения
1
2
3
4
,
,
,
C C C C получаем систему алгебраических уравнений
( )
( )
(
)
( )
1
2
3
1 2
0
3
0
4
2
2
2
2
2
0
0
3
0 0
4
0,
0 ,
0 ,
2
0.
r
r
r
C
C
C
W
r C
C
C
W
r C
C
C
W
α
β
α
β
α β
=
+
= −
′
−
+
= −
′′
+
−
−
= −
Решая приведенную систему уравнений, получим выражения для постоянных
интегрирования
2
3
4
,
,
C C C
(
)
( )
( )
( )
(
)
2
2
0
0
0
2
2
2
0
2
0
0
2
0
0
r
r
r
W
W
W
C
r
α
β
α
α
β
′
′′
+
+
+
=
+
+
,
(
) ( )
( )
( )
(
)
2
2
0
0
3
2
2
0
2
0
2
0
2
0
0
r
r
r
r r
W
W
W
C
r
α
α
α
β
′
′′
+
−
−
=
+
+
,
(
)
( )
(
)
( ) (
)
( )
(
)
2
2
2
2
2
2
0
0
0 2
2
0
0
0
2
4
2
2
0
0
2
0
0
0
0
r
r
r
r
r W
r
W
r W
C
r
α
β
α
α
β
α
β
α
β
′
′′
−
+
+
−
+
−
+
=
⎡
⎤
+
+
⎣
⎦
,
где
( )
( )
(
)
( )
(
)
2
2
2
0 1
0 2
0 0 1
0
0
2
0
,
0
,
0
2
r
r
r
W
A
W
A
A
W
A
A
α
β
α β
α
β
′′
′
= −
=
+
= −
+
−
.
Для построения кривых изменения безразмерного смещения
0
W , численно решим
выражения (18) для случаев, указанных выше, примем 0
10
η
≤ ≤
. Представим общее
решение (18) в виде
[
]
3
2
3
4
cos(
)
sin(
)
r
о
W
C e
e
C
C
μ
αη
βμ
βη
−
=
+
+
+
[
]
0
1
0
2
0
sin(
)
cos(
) .
e
A
A
β η
α η
α η
−
−
(20)
Для расчета смещения
0
W
по формуле (20) за исходные данные примем следующие
значения
0
0
0
0
0
0;
1;
0,1;
1;
2
h
S
D
ν
α
β
=
=
=
=
=
= и
0
3
D
= .
Рассмотрим случай, когда
0
0
S
= , т.е. основание отсутствует. Тогда уравнение (8)
принимает вид
4
2
0
0
0
4
2
( ).
z
d W
d W
B
F
d
d
η
η
η
+
=
(21)
т.к. в уравнении (8) коэффициенты
0
0
0
0
A
C
P
=
=
= .
Характеристическое уравнение (21) принимает вид
4
2
0
0
r
B r
+
= . (22)
Корни характеристического уравнения равны
1,2
3,4
0
0
0;
.
r
r
i B
β
=
= ±
= ±
Решение задачи для уравнения (21) принимает вид
2
''
''
'
0
0
0
0
2
2
0
0
0
(0)
(0)
1
1
cos(
)
(0)sin(
)
ч
ч
ч
ч
W
W
W
W
W
β
β η
β η
β
β
β
+
= −
+
−
+
[
]
0
1
0
2
0
sin(
)
cos(
)
e
A
A
β η
α η
α η
−
−
. (23)
Для расчета смещения
0
W по формуле (23) за исходные данные примем следующие
значения
0
0
0
0
0
0;
1;
0,1;
1;
2
h
S
D
ν
α
β
=
=
=
=
=
= .
Для анализа и сравнения с полученными результатами, рассмотрим случай
Винклеровского основания, для которого уравнение (8) принимает вид
4
2
0
0
0
0
0
4
2
( ).
z
d W
d W
B
PW
F
d
d
η
η
η
+
+
=
(24)
где
0
1 1 0
P
Kh
D
μ μ
=
, К - коэффициент постели Винклеровского основания.
Характеристическое уравнение (21) принимает вид:
4
2
0
0
0
r
B r
P
+
+
= . (25)
Корни уравнения (25) равны
1,2
2
0
0
0
1,2
0
4
.
2
B
B
P
r
i
i
β
±
−
= ±
= ±
Общее решение неоднородного уравнения представим в виде
1
1
2
2
0
1
0
2
0
3
0
4
0
sin(
)
cos(
)
sin(
)
cos(
)
W
C
C
C
C
β η
β η
β η
β η
=
+
+
+
+
[
]
0
1
0
2
0
sin(
)
cos(
)
e
A
A
β η
α η
α η
−
−
, (26)
где
1
2
3
4
,
,
,
C C C C равны
( )
( )
(
)
2
2
1
2
2
1
2
1
0
0
,
r
r
W
W
C
β
β β
β
′
′′′
+
= −
−
( )
( )
(
)
2
2
2
2
2
2
1
0
0
,
r
r
W
W
C
β
β
β
′′
+
= −
−
( )
( )
(
)
2
1
3
2
2
2
2
1
0
0
,
r
r
W
W
C
β
β β
β
′
′′′
+
=
−
( )
( )
(
)
2
1
2
2
2
2
1
0
0
r
r
W
W
C
β
β
β
′′
+
=
−
.
Для этого случая за исходные данные принимались значения
0
0
0
0
0
0;
1;
0,1;
1;
2
h
S
D
ν
α
β
=
=
=
=
=
= .
Смещение (26) рассчитывалось для основания – песок средней плотности при
коэффициенте пористости 0,65
ε
=
, имеющие параметры
3
1300
;
600
;
10 ;
1700
a
м с
b
м с
h
см
кг м
γ
=
=
=
=
.
По данным результатов численного расчета, на рисунке приведены кривые
изменения безразмерного прогиба
0
W в зависимости от
η
, а также дано сравнение с
кривой в случае Винклеровского основания.
|