ЖоғАРҒы ретті дифференциалдық теңдеулер кейбір реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер

Екінші ретті тұрақты коэффициентті біртекті сызықтық теңдеулер

жүктеу/скачать 202,08 Kb.

бет	2/2
Дата	20.06.2022
өлшемі	202,08 Kb.
	#37099

1 2

3.4 Екінші ретті тұрақты коэффициентті біртекті сызықтық теңдеулер

түріндегі теңдеу II ретті коэффициенттері тұрақты біртекті сызықты теңдеу деп аталады.

коэффициенттері тұрақты дифф-қ теңдеудің шешімін табу үшін алдымен сипаттамалық (квадраттық болады) теңдеуін шешу керек. 3 жағдайға байланысты теңдеудің шешімі былайша анықталады:

Квадраттық теңдеудің түбірлері	Дара шешімі	Жалпы шешім
1)- нақты әртүрлі түбірлер
2) - нақты бірдей түбірлер
3) түбірлер комплекс сандар

Мысал 1:

Мысал 2:

3.5 Жоғарғы ретті тұрақты коэффициентті біртекті емес сызықтық теңдеулер

түріндегі теңдеу n-ретті біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Теорема. -сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі оған сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі мен біртекті емес теңдеудің дербес шешімдерінің қосындысынан тұрады.
y = + y* ,
мұндағы y - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, - біртекті теңдеудің жалпы шешімі (оны табуды алдыңғы тақырыпта қарастырғанбыз), y* - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дара шешімі, оны біртекті емес теңдеудің оң жағы f(x) функциясына ұқсас анықтаймыз. Ол қалай болатындығы төмендегі кестеде көрсетілген:

f(x)	Сипаттамалық теңдеудің түбірлері	Дара шешімнің түрі
1) e^ax P_n(x), мұндағы P_n(x) – n-дəрежелі берілген көпмүшелік	a саны – сипаттама теңдеудің түбірі емес a саны – сипаттама теңдеудің r-еселі түбірі	y* = e^ax P^_n (x) y^∗= x^re^axP^_n (x)
2) e^ax[ P_n(x) cosbx+ +Q_m(x) sinbx ]	abi сандар жұбы – сипаттама теңдеудің түбірі емес abi сандар жұбы – сипаттама теңдеудің r-еселі түбірі	y=e^ax[P^_k(x)cosbx+Q^_k(x)sinbx], мұндағы k=max(m,n) y=x^re^ax[P^_k(x)cosbx+Q^_k(x)sinbx] мұндағы k=max(m,n)

Мысал 1: y^I^V + 8y''+16y = cos x теңдеуінің жалпы шешімін тап.
Шешуі: y = + y*
1) =?

2) y*=?

f(x) = cosx  abi = 01i = i ≠ k₁, k₂, ,k₃ ,k₄
y*=Acosx+Bsinx  (y*)^= -Asinx+Bcosx 
(y*)= -Acosx-Bsinx  (y*)= Asinx-Bcosx  (y*)^iv= Acosx+Bsinx
Осы табылған туындыларды бастапқы берілген теңдікке қоямыз:
Acosx+Bsinx+8(-Acosx-Bsinx)+16(Acosx+Bsinx)=cosx

A мен B мəндерін y*-ны анықтау өрнегіне қоямыз:

y*= cos x
Демек, y = + y*= (C₁+xC₃)cos2x+ (C₂+xC₄)sin2x + cosx
Мысал 2: теңдеуінің жалпы шешімін тап.
Шешуі: f₁(x) + f₂(x) = x + (-sinx).
1)
2)түрінде іздейміз, мұндағы:


Сонымен,
3) f₂(x) функциясын келесі түрде ізделік: .

Сонымен,

болғандықтан
Ізделінді дара шешім :
Ал біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі:

3.6 Жоғарғы ретті тұрақты коэффициентті біртекті емес
теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі

Сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табу үшін практикада Лагранж әдісі (тұрақтыны вариациялау әдісі) қолдану ыңғайлы.

Алдымен берілген теңдеуге сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімін табу керек. Алдында қарастырылғандай ол мына түрде жазылады:

Содан соң, C_iкоэффициенттерін х-тің функциялары деп есептеп, біртекті емес теңдеудің дербес шешімін табу керек:

C_i(x) функцияларын табу үшін келесі жүйені шешу керек:

Мысалы: теңдеуін шешу керек.
Шешуі: 1) Әуелі біртекті теңдеуді шешеміз.

2) Біртекті емес теңдеудің шешімі келесі түрде болады:

Теңдеулер жүйесін құрастырамыз:

Жүйені шешейік:

өрнегінен А(х) функциясын табамыз.

Енді В(х) функциясын табайық.

Табылған мәндерді біртекті емес теңдеудің шешімінің формуласына қоямыз:

Жауабы:
Сөйтіп, біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін дара шешімін таппастан жаздық.

Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Дифференциалдық теңдеулердің нормалды жүйесі
6.1 анықтама Дифференциалдық теңдеулердің -ші ретті нормалды жүйесі деп
(6.4)
І-ші ретті  дифференциалдық теңдеудің жиынтығын айтамыз, мұндағы  – тәуелсіз айнымалы,  – белгісіз функциялар, ,,  – олардың туындылары.
Түсініктеме. Нормалды жүйеде:
а) барлық теңдеулері , , туындыларына қарағанда шешілген;
б) белгісіз функциялардың туындылары тек І-ші ретті болады.
6.2 анықтама (6.4) жүйесінің жалпы шешімі деп  еркін тұрақты , , ,  шамаларынан тәуелді және  бойынша үзіліссіз туындылары бар
, , …, (6.5)
функциялардың жиынтығы аталады. Сонымен бірге төмендегі шарттар міндетті түрде орындалуы тиіс:
а) (6.5) теңдеулері , , ,  шамаларына қарағанда барлық () үшін, мұндағы  – Коши есебінің шешімінің жалғыз болу облысы, шешіледі, яғни
(6.6)
ә) (6.6)-дан барлық , , ,  мәндерінде шығатын (6.5) функциялар жиынтығы (6.4) жүйесінің шешімі болады.
Коши есебі деп (6.4) теңдеулер жүйесінің
(6.7)
бастапқы шарттарына қанағаттандыратын шешімін табу есебін айтамыз.
Бірте-бірте жою әдісі көмегімен -ші ретті нормалды жүйенің шешімін табу есебі -ші ретті бір дифференциалдық теңдеудің шешімін табу есебіне келтіріледі. Бұл әдістің мағынасы ізделінді функцияларды (6.4) жүйесінен бірте-бірте жоюда. Жүйенің бірінші теңдеуін  айнымалысы бойынша дифференциалдаймыз: . Жүйенің қалған теңдеулерін ескере отырып, алынған өрнекті мына түрде жазамыз
немесе ,
немесе , …,
, сонымен
(6.8)
жүйесін аламыз. Алғашқы  теңдеуден  шамаларын , , , …,  арқылы өрнектеп алуға болады, яғни .
Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулердің нормалды жүйесі
(6.9)
түріндегі жүйе тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулердің нормалды жүйесі деп аталады.
Белгілеулер енгіземіз: , , .
Онда (6.9)-ды
(6.10)
түрінде жазуға болады.
6.3 анықтама (6.10) жүйесінің , , …,  вектор-функциялар жиынтығы сызықтық тәуелді деп аталады, егер  теңдігі орындалса, мұндағы . Керсінше жағдайда, функциялар жүйесі сызықтық тәуелсіз деп аталады.
6.4 анықтама (6.10) жүйесінің  сызықтық тәуелсіз шешімдерінің жиынтығы шешімдердің фундаменталды жүйесі деп аталады.
Теорема (сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулердін нормалды жүйесінің шешімінің құрамы туралы). Егер , , …,  вектор-функциялар жиынтығы (6.10) жүйесі үшін шешімдердің фундаменталды жүйесі болса, онда теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі   функциясы болады; мұндағы ,  – еркін тұрақтылар.
(6.11)
ІІ-ші ретті тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық тең-деулер жүйесін шешу жолын қарастырамыз.
Шешімді ,  түрінде іздейміз

(6.12)
(6.12)-нің нөлге тең емес шешімі бар болу үшін
(6.13)
шарты орындалуы қажет.
(6.13) – (6.11)-ші теңдеудің сипаттауыш теңдеуі.
(6.13)-тің шешімдері – ,  сандары сипаттауыш теңдеудің меншікті мәндері деп, ал  меншікті векторы деп аталады. (6.11) жүйесінің шешімі

функциясы болады.

жүктеу/скачать 202,08 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2