Комбинаторика элементтері және оларды оқиғалардың ықтималдықтарын табуда

Тақырып: Комбинаторика элементтері және оларды оқиғалардың ықтималдықтарын табуда қолданылуы. Жуықтап есептеулер үшін Ньютон биномы. Оқиға ықтималдығы және оның қасиеттері. Шартты ықтималдық. Ықтималдықтарды қосу және кӛбейту ережелері.

Мақсаттары:

• 
  комбинаториканың қосу және кӛбейту ережелерін түсіндіру;
  
• 
  орналастырулар, алмастырулар, терулер анықтамаларын және формулаларын беру, түсіндіру;
  
• 
  Ньютон биномын, «Паскаль үшбұрышын» есептер шығаруда қолдануды кӛрсету;
  
• 
  кездейсоқ оқиға ұғымымен, кездейсоқ оқиғаның түрлерімен таныстыру;
  
• 
  ықтималдықтың қасиеттерін қолданып кездейсоқ оқиғаның ықтималдығын табуды үйрету;
  
• 
  оқиғалар қосындысы, оқиғалардың кӛбейтіндісі ұғымдарымен, сонымен қатар ықтималдықтарды қосу және кӛбейту теоремаларымен таныстыру;
  
• 
  оларды қолданып есептер шығаруды үйрету.
  

1. Комбинаторика элементтері

   1. 
      Қосу ережесі. Егер А жиынының элементтерінің саны санаулы болса, оның элементтер санын п(А) арқылы белгілейік. Кез келген санаулы А және В жиындары үшін
      

^п ^А
теңдігі орындалады.
(1) формула бірнеше жиындардың бірігуі үшін де орындалады. Мысалы, А, В, С жиындары үшінформула былай жазылады:
^п ^А

(1)

(2)

2. 
   ^{Көбейту ережесі. Кез келген санаулы А және В жиындары мен барлық} ^a;b^,^{a  A,b  B}
   

түріндегі қос элементтер саны m үшін

теңдігі орындалады.
^{m  n}  ^A^{ n} ^B
(3)

1. 
   мысал. 2-ге не 3–ке, не 5-ке бӛлінетін неше үш таңбалы сан бар?
   

Шешуі. А арқылы 2-ге бӛлінетін барлық үш таңбалы сандар жиынын, В арқылы 3-ке бӛлінетін барлық үш таңбалы сандар жиынын, С арқылы 5-ке бӛлінетін барлық үш таңбалы сандар ^{жиынын белгілейік. Енді п}  ^{А В С} ^{ӛрнегінің мәнін табайық.}

^п  ^А <sup> 900   450,


п</sup> ^В <sup> 900   300,


п</sup> ^С  ^{ 900   180,}

_ ₂ _
 ₃ _
 ₅ _

 
^п  ^{А В} ^{ 900   150,}
_ 2 3 _
^п  ^{А С}  ^{ }_ ^{900   90,
п} ^{В С}  ^{ 900   60,}

 
_ 35 _

_ 2 5 ^_
^п  ^{А В С}  ^{  900   30 болғандықтан (2) формула бойынша
}_ 2 35 ^_
^п ^{А В С}  ^{ 450  300 180 150  90  60  30  660.}
Жауабы: 660.

2. 
   мысал. Абзалдың 3 жейдесі, 2 шалбары және туфли мен спорттық аяқкиімі бар. Ол кӛшеге қанша тәсілмен киімін алмастырып шыға алады? Киімнің бір түрін ауыстырса, киінудің ӛзге тәсілі болып саналады.
   

^{Шешуі. А – жейделер жиыны, В – шалбарлар жиыны, С – аяқкиімдер жиыны десек, п}  ^А ^{ 3,}

^п ^В ^{ 2
және п} ^С  ^{ 2. Сондықтан, егер а  А,}
b  B,
c C
^болса, ^{a;b; c} ^{үштік элементі –}

киініп шығудың бір үлгісі. Олай болса, кӛбейту ережесі бойынша тәсілі шығады.
Жауабы: 12 түрлі тәсіл.
ⁿ ^A^{ n}^B^{ n} ^C  ^{ 3 2 2  12}

х₁, х₂ ,..., х_{k ,}
 ^{xi  X} ^,
(4)

мұндағы кейбір элементтер қайталанып орналасуы мүмкін. (4) түріндегі әрбір тізімді ұзындығы k–ға тең шеру (кортеж) деп атайды.
Х жиынының элементтерінен түзілген ұзындығы k–ға тең әрбір шеруді п-нен k бойынша алынған қайталанбалы орналастырулар деп атайды. Ал барлық п-нен k бойынша алынған қайталанбалы орналастырулар саны

^An ^{ n .}

k _k
3-мысал. 7 оқулықты екі оқушыға неше тәсілмен үлестіріп беруге болады?
(5)

Шешуі. Есеп шартында екі сан бар: 7 және 2. Онда (5) формула бойынша есептің жауабы 7² немесе 2⁷ болуы қажет. Қайсысын алу керек. Әдетте оқушылар есеп шартына үстіртін талдау жасап, жауаптардың бірінші нұсқасын таңдайды. Мұндай қорытындыға келу жобасы

^A7
қарапайым: «7 оқулықты 2 оқушыға үлестіріп (2 оқушыға орналастырып) беру қажет». Олай
болса, есептің жауабы 2  7²  49 болу керек сияқты. Бұл қателіктің табиғаты адамзат
«тілінің» жетімсіздігінде болып отыр (сӛйлесу тіліне тәуелсіз: қазақ тілі, ағылшын тілі, т.с.с.). Әлемнің ешбір тілінде «екі оқушыны 7 оқулыққа үлестіріп (орналастырып) беру керек» деп айтпайды. Ал іс жүзінде тап осылай болып отыр: екіоқушыны шартты түрде А және Б деп, ал оқулықтарды 1-ден 7-ге дейін нӛмірлейік. Оқушылардың әрқайсысы ӛзіне бӛлінген оқулықтарға аты-жӛнін жазады делік. Онда 7 оқулықты А және Б оқушыларына үлестіріп берудің бір нұсқасын былай жазуға болады:

А	А	Б	А	Б	Б	А
1	2	3	4	5	6	7

Нәтижесінде екі оқушының аты-жӛнін 7 оқулыққа үлестіріп (орналастырып) берген болып шықтық. Сондықтан барлық осындай орналастырулар саны
7 ₇

Жауабы: 128 тәсіл.
^A2 ^{ 2}
 128.

4. 
   Қайталанбайтын орналастырулар. Егер (4) шерудегі элементтер қайталанбаса, онда әрбір осындай шерудегі п-нен k бойынша алынған қайталанбайтын орналастыру деп атайды. Барлық п-нен k бойынша алынған қайталанбайтын орналастыру саны
   

n
^{Ak  n} ^{n 1}^...^{n  k 1}
немесе
A^k 
n! _.
^{n  k} ^!
(6)

4. 
   
   n
   мысал. Неше тәсілмен 3 оқушыны 5 орындыққа отырғызуға болады?
   

Шешуі. Мұнда Х жиыны 5 элементтен (орындықтардан) тұрады және олардан белгілі бір үш оқушы отыратындай үш орындықты таңдап алу қажет. Әрине, егер белгілі бір оқушының қай орындыққа отыратыны маңызды болса, онда бізге қажет сан 5 элементтен 3 бойынша алынған барлық қайталанбайтын орналастырулар санына тең:

5
А³  5 43  60.
Жауабы: 60 тәсіл.

4. 
   Алмастырулар. Егер п-нен k бойынша алынған қайталанбайтын орналастыруда п=k деп алсақ, онда бұл қайталанбайтын орналастыруды п элементтен алынған алмастыру деп атайды. Барлық п элементтен алынған алмастырулар саны
   

Р_п  п!

4. 
   Қайталанбайтын терулер. Айталық, п(Х)=п болсын, онда Х жиынының әрбір k элементтен
   

(7)

тұратын ішкі жиынын п-нен k бойынша алынған қайталанбайтын теру деп атайды. теруБарлық
п-нен k бойынша алынған қайталанбайтын терулер саны

n
C^k 
n!


^{k !}^{n  k} ^!
(8)

n
Мұндағы С^k

1. 
   
   n n
   C^k  C^nk ;
   

санын теру коэффициенті деп атайды.
Теру коэффициентінің қасиеттері:

n n n n
^{3. C0  C1  C2 ... } ^1n ^{Cn  0;}

2. C⁰  C¹  C² ...  Cⁿ  2ⁿ; 4. C^k  C^k1  C^k .

n n n n
n n1
n1

4. 
   мысал. Мини футболдан бір айналымдық жүйе бойынша ұйымдастырылған турнирге 5 команда қатысты. Турнирде барлығы неше ойын ойналған?
   

Шешуі. Әрбір ойынға 2 команда қатысады. Сондықтан турнирде ойналған ойындар саны 5-тен 2 бойынша алынған теруге тең:

С² 
5! _ 3! 4 5 _{ 10.}

Жауабы: 10 ойын ойналды.

2. 
   Ньютон биномы.
   

⁵ 2!3! 1 2 3!

Теру коэффициенттері екімүшенің кез келген дәрежесін ашып жазуда қолданылады. Мәселен, кез келген п натурал саны үшін

n n n n n n
^{a  b}n ^{ C0an  C1an1b  C2an2b2 ...  Ckankbk ...  Cn1abn1  Cnbn.}
Бұл формуланы Ньютон биномы деп атайды.
(9)

Ньютон биномының жіктелуіндегі коэффициенттерді анықтағанда «Паскаль үшбұрышы» жиі қолданылады. Мұндағы әрбір қатар – сәйкес нӛмірлі дәрежедегі Ньютон биномының жіктелу коэффициенттері.

0							1
1						1		1
2					1		2		1
3				1		3		3		1
4			1		4		6		4		1
5		1		5		10		10		5		1
6	1		6		15		20		15		6		1