Ықтималдықтың классикалық анықтамасы. Ықтималдықтың қасиеттері

Айталық, U {A₁, A₂ ,..., A_n}элементар оқиғалар кеңістігі мен
A {A_n , A_n ,..., A_n },
мұндағы

1 2 m

^{An U ,}^{k  1, 2,..., m} ^{кездейсоқ оқиғасы берілсін.}
A_n , A_n ,..., A_n
оқиғаларын А оқиғасына

k
қолайлы нәтижелер деп атайды.
1 2 m

Анықтама. A  U кездейсоқ оқиғасының ықтималдығыдеп А-ға қолайлы нәтижелер санының барлық мүмкін нәтижелер (барлық элементар оқиғалар) санына қатынасын айтады және Р(А) арқылы белгілейді.
Сонымен,анықтама бойынша

P( A)  ^m
n
. (1)

Бұл ықтималдықтың классикалық анықтамасы. Ӛйткені мұнда қарастырылатын барлық элементар оқиғалар ӛзара тең мүмкіндікті оқиғалар болып табылады.

4. 
   мысал. Жабық қорапта 6 ақ және 4 қызыл шар бар. Қораптан кездейсоқ алынған шардың ақ түсті болу ықтималдығын анықтау керек.
   

Шешуі. А оқиғасы қораптан алынған шардың ақ түсті болатынын білдірсін. Онда 10 бірдей мүмкіндікті элементар оқиғалар ішінен 6-уы А оқиғасына қолайлы. Сондықтан (1) формула бойынша

Біреуі тек
Жауабы: 0,6.
Р( А)  ⁶
10
 0, 6.

Енді шартты ықтималдық ұғымын анықтайық. Айталық, А және В үйлесімді оқиғалар болсын. В-ның орындалғаны белгілі болғандағы А оқиғасының ықтималдығы А-ның шартты
^{ықтималдыңы деп аталады және оны РВ}  ^А ^{арқылы белгілейді. Мысалы, ойын сүйегін бір рет}
тастағанда А – жұп ұпай түсетінін, ал В – тӛрттен кем ұпай түсетінін білдіретін оқиғалар болсын. Онда А = {А₂, А₄, А₆} және В = {А₁, А₂, А₃} оқиғалары үйлемімді. Егер В оқиғасының орындалғаны белгілі болса, А₁, А₂, А₃ элементар оқиғаларының біреуі тек А₂-сі ғана А оқиғасына қолайлы нәтиже береді. Олай болса,
^Р  ^А ^{ 1 .}
В ₃

Ықтималдықтың қасиеттері:

1. 
   Кез келген А оқиғасы үшін 0  P( A)  1 теңсіздігі орындалады. Осының қатарында
   

P(U )  1

және
Р()  0 теңдіктері орындалады.

2. 
   Қосу теоремасы. Кез келген А және В оқиғалары үшін
   

^P  ^{A  B} ^{ P}  ^A ^{ P} ^B ^{ P}  ^{A B}
теңдігі орындалады. Егер А және В үйлесімсіз оқиғалар болса, А В   болсын, бұл жағдайда қосынды теоремасы былай жазылады:
^P  ^{A  B} ^{ P}  ^A ^{ P} ^B ^.

3. 
   ^{Кез келген А оқиғасы үшін Р}  ^А ^{ 1 Р} _ ^А_ ^{теңдігі орындалады.}
   

4. 
   Кез келген А және В оқиғалары үшін
   

^Р  ^{А В} ^{ Р} ^В^{ РВ}  ^А ^{ Р}  ^А^{ РА} ^В
теңдіктері орындалады. Егер А және В тәуелсіз оқиғалар болса, онда орындалып, алдыңғы теңдікті былай жазамыз:
^Р  ^{А В} ^{ Р}  ^А^{ Р} ^В <sup>.


РА</sup> ^В ^{ Р} ^В
теңдігі

4. 
   мысал. Үш мерген нысанаға бір-бірден оқ атты. Егер мергендердің нысанаға тигізу ықтималдықтары сәйкесінше 0,5; 0,6 және 0,7-ге тең болса, онда нысанаға кем дегенде бір оқтың тию ықтималдығын анықтайық.
   

Шешуі.

А, В және С арқылы сәйкесінше 1, 2 және 3-мергеннің нысанаға тигізуін білдіретін оқиғаларды белгілейік. Онда біз Р(А+В+С) ықтималдығын табуымыз керек. Ал А  В  С  А В С болғандықтан,
^Р  ^{А  В  С}  ^{ 1 Р} _^{А  В  С} _ ^{ 1 Р} _^{А В С} _^.
А, В және С оқиғалары – тәуелсіз оқиғалар. Сондықтан Р _ А В С _  Р _А_ Р _В_ Р _С _. Осы
^{сияқты Р} _ ^А_ ^{ 1 Р}  ^А ^{ 1 0,5  0,5; Р} _^В_ ^{ 0, 4; Р} _^С _ ^{ 0,3 екенін ескерсек,}

Жауабы: 0,94.
^Р  ^{А  В  С}  ^{ 1 0,5 0, 4 0,3  1 0, 06  0,94.}

Студенттерге тапсырма

1. 
   нұсқа
   

1. 
   2-ге не 3-ке бӛлінетін барлығы неше екі таңбалы натурал сан бар?
   
2. 
   Тӛраға мен оның орынбасарын 4 үміткер арасынан қанша тәсілмен сайлауға болады?
   
3. 
   ^{Жақшаны ашып жазыңдар: 1)}  ^{х  2 у}3 ^{; 2)} ^{а  2с}4 ^.
   
4. 
   ^{Биномның жіктелуіндегі 3-мүшесін жазыңдар:} ^{2х  3у}5 ^.
   
5. 
   20-дан аспайтын натурал сан ойладық. Бұл санның 1) 5-ке бӛлінуі; 2) жай сан болуы ықтималдығын табыңыз.
   
6. 
   Екі мерген нысанаға бір-бірден оқ атты. Бірінші мергеннің нысанаға тигізу ықтималдығы 0,7-ге, ал екіншісінікі 0,8-ге тең. 1) нысанаға бір ғана мергеннің тигізуі; 2) кем дегенде бір мергеннің тигізуі ықтималдығын табыңдар.
   

2. 
   нұсқа
   

1. 
   3-ке не 5-ке бӛлінетін барлығы неше екі таңбалы натурал сан бар?
   
2. 
   Тӛраға мен оның орынбасарын 5 үміткер арасынан қанша тәсілмен сайлауға болады?
   
3. 
   ^{Жақшаны ашып жазыңдар: 1)} ^{3х  у}3 ^{; 2)} ^{а  с}4 ^.
   
4. 
   ^{Биномның жіктелуіндегі 5-мүшесін жазыңдар:} ^{3х  2 у}6 ^.
   
5. 
   20-дан аспайтын натурал сан ойладық. Бұл санның 1) 3-ке бӛлінуі; 2) құрама сан болуы ықтималдығын табыңыз.
   
6. 
   Екі мерген нысанаға бір-бірден оқ атты. Бірінші мергеннің нысанаға тигізу ықтималдығы 0,7-ге, ал екіншісінікі 0,8-ге тең. 1) нысанаға екі мергеннің де тигізуі; 2) кем дегенде бір мергеннің мүлт кету ықтималдығын табыңдар.