Скалярлық  өрістің  градиенті

5 

. 

 

 

 

Скалярлық  функциясының  бағыты  бойынша  туындысы.  Скалярлық 

 функциясының өзгеру жылдамдығы өзінің анықталу облысында 

жатқан әртүрлі қисықтың бойында әртүрлі болуы мүмкін. 

 

Алдымен доға бойынша туынды деген ұғым енгізейік. 

 

Анықтама. Скалярлық 

  функциясының  M  нүктесіндегі  доға  L 

бойынша туындысы деп төмендегі шекті айтамыз: 

 

.                                        (1.3) 

 

Егер 

  функциясы  және  M

1

  мен  M

2

  нүктелері  берілсе,  онда  u(M) 

функциясының 

 векторы бағыты бойынша туындысы мына формуламен 

табылады: 

 

, 

 

мұнда 

  - 

  векторының  бағыттаушы  косинустары 

және олар бірлік вектордың координаттары болып табылады: 

 

, 

 

,      

,          

. 

 

Градиент  үшін  Гамильтон  операторы  (

набла).  Дифференциалдау 

операцияларының  жазылуын  жеңілдету  мақсатында  набла  деп  аталатын 

символдық  вектор 

ны  Уильям  Роуэн  Гамильтон  (Ирландия  математигі) 

1853 жылы енгізген: 

 

. 

 

Гамильтон  символында 

  функциясының  градиенті  былай 

жазылады: 

. 

 

Скалярлық функция градиентінің қасиеттері: 

1. Егер 

 болса, 

, яғни: 

 

. 

 

6 

 

 

2. Егер u мен v градиенттері бар скалярлық өрістер болса, онда: 

 

,  

яғни: 

. 

 

 

 

3. Егер u мен v градиенттері бар скалярлық өрістер болса, онда: 

 

, 

яғни: 

. 

 

 

4. Егер u мен v градиенттері бар скалярлық өрістер болса, онда: 

 

, 

яғни: 

. 

 

 

5. Егер u мен v градиенттері бар скалярлық өрістер болса, онда: 

 

, 

яғни: 

. 

 

 

6. Егер u градиенті бар скалярлық өріс болса, онда: 

 

, 

яғни: 

. 

 

 

7. Егер u мен v градиенттері бар скалярлық өрістер болса, онда: 

 

, 

яғни: 

. 

 

 

Мысал. 

  функциясы  берілсін  және 

  вектор 

  және 

  нүктелерімен  анықталған  болсын.  Табу 

керек  . 

Шешуі: 

 векторы бағыты бойынша туындысы мына формуламен 

табылады: 

7 

. 

 

 

Дербес туындылырын табайық: 

 

,          

, 

және 

 

. 

Осыдан: 

 

. 

 

 

 

Мысал. 

 түрінде анықталғанда 

-ді табыңыз. 

 

Шешуі:  

 

 

 

. 

 

 

Егер: 

 

а) 

 болса, онда: 

. 

 

 

б) 

 болса, онда 

, демек, 

 

. 

 

 

в) 

 болса, онда 

, демек 

 

. 

 

 

2-Дәріс. Векторлық өріс. Векторлық өріс және оның дивергенциясы 

(таралымы). Беттен өтетін вектор өрісінің ағыны 

 

Дәріс  мақсаты:  Векторлық  өріс,  векторлық  өріс  үшін  стационар  және 

стационар  емес  өрістер,  векторлық  өрістін  дивергенциясы,  беттен  өтетін 

8 

вектор өрісінің ағыны ұғымдарды еңгізу және оларды есептеу формулаларын 

қарастыру. 

 

Векторлық өріс. Егер V облысының әрбір М нүктесіне белгілі бір 

 

векторы  сәйкестендірілсе,  онда  V  облысында  векторлық  өріс  анықталған 

дейді. 

 

Векторлық  өрістерге  мысалдар:  тартылыс  күшінің  өрісі,  ауаның 

қозғалысының өрісі, үдеулер өрісі, т.б. 

Декарт  координаттар  жүйесінде 

  векторлық  өрісі  V  облысында 

анықталған үш P, Q, R функцияларымен беріледі: 

 

 

 

 

мұнда 

, 

, 

  функциялар  өздерінің  дербес 

туындылармен қоса V облысында үздіксіз функциялар. 

 

Жазықтықта векторлық өріс үшін орынды: 

 

 

 

 

 

Векторлық  өріс  үшін  стационар  және  стационар  емес  өрістер.  Егер 

өрісті  мінездеуші  шама  уақыт  өзгерісімен  байланысты  өзгеріп  отырса,  оны 

стационар  емес  өріс  (мысалы,  қозғалыстағы  сұйықтың  бөлшегінің 

жылдамдығы).  

 

Стационар емес өрістер белгілеуі: 

 

. 

 

 

Егер  нүкте  қозғалысының  жылдамдығы  уақыттан  тәуелсіз,  тек 

қозғалушы нүктенің орнына тәуелді болса, өріс стационар деп аталады.  

 

Стационар өрістер белгілеуі:  

 

. 

 

 

 

Векторлық өрістердің арнаулы түрлері: 

 

1)  Жазық-параллель  өріс.  Егер  өріс  бір  координатадан  тәуелсіз 

функциямен анықталса, оны жазық параллель өріс деп атайды.  

 

2)  Векторлық  өріс  үшін  сфералық  өріс,  өске  симметриялы  өріс, 

цилиндрлік өріс скаляр өріске келтірілген анықтамалар сияқты анықталады. 

Векторлық сызықтар мен векторлық түтік. 

Анықтама.  Векторлық  b(M)  өрісінің  векторлық сызықтары  деп,  өзінің 

әрбір  M  нүктесіндегі  жанамасы  b(M)  мен  бағыттас  болатын  қыйсықтарды 

атайды. 

9 

Векторлық  сызықтар  векторлық  өрістің  геометриялық  мінездемесі 

болып  табылады.  Егер  b(M)  үшін  gradu  векторын  алсақ,  градиент  өрісіндегі 

векторлық  сызықтар  скалярлық  M(x,y,z)  функциясының  ең  шапшаң  өсетін 

бағытындағы сызықтар болады. 

Ал  егер  векторлық  өріс  b(M)=b(r)  мен  анықталса,  векторлық 

сызықтардың анықтамасына сәйкес ол сызықтар доғасының  dr элементі b(M) 

векторына  коллинеар  болады,  мұнда  r  деп  M  нүктесінің  радиус–векторы 

белгіленген. Демек, векторлық сызықтың векторлық теңдеуі: 

 

,  

 

ал декарттық координаталарға көшсек: 

 

, 

 

  

 

болуы себебті, дифференциалдық теңдеулердің мына жүйесіне келеміз: 

 

. 

 

 

 

Осы жүйенін жалпы шешімі векторлық сызықтар әулетін анықтайды.  

жүктеу/скачать 1,79 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: