Конференциясының ЕҢбектері

41 
УДК 550.34.013.4:556.18 
 
МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ГИДРОМЕЛИОРАТИВНЫХ ЗАДАЧ 
 
Аубакирова Ф.Х., Хамитова А.С. 
ЮКГУ им. М.Ауезова, Шымкент, Казахстан 
 
Түйін 
Мақалада ғылыми ізденістердегі және гидромелиоративтік шараларды дәлелдеуіне пайдаланатын 
модельдеу әдістерінің қыскаша теориялық негіздері келтірілген.  
 
Summary 
The given  article is about theoretical principles of modelling methods used in scientific researches and at 
substantiation of irrigation practice. 
 
Современный размах гидротехнического и гидромелиоративного строительства, размеры и 
сложность  многих  объектов,  их  существенное  влияние  на  естественные  условия  больших 
территорий  требуют  глубокого  научного  обоснования  мелиоративных  мероприятий  и 
долгосрочных прогнозов их влияние на окружающую среду. 
Трудности обоснования и проектирования гидромелиоративных мероприятий обусловлены 
специфическими  особенностями  задач  водохозяйственного  профиля:  многофакторностью 
(большим  числом  входящих  параметров),  многовариантностью  (большим  числом  возможных 
вариантов),  стохастичностью  (вероятностным  характером  ряда  параметров),    динамичностью 
(влиянием    фактора  времени).  А  также  высокими  требованиями,  предъявляемым  к  расчетам: 
обоснованию исходных данных, долгосрочным прогнозам, оптимизации проектных решений и др. 
Значительное  место  в  гидромелиоративных  задачах  занимают  фильтрационные  расчеты, 
т.е.  расчеты  движения  воды  в  грунте.  Влага  корнеобитаемого    слоя  непосредственно  связана  с 
поверхностными  водами,  атмосферной    влагой,  грунтовыми  водами.  Грунтовые  воды,  в  свою 
очередь,  могут  взаимодействовать  с  нижележащими  водоностными  горизонтами,  получать 
питание  за  пределами  рассматриваемой  территории,  быть  связанными  с  поверхностными 
водотоками  и  водоемами.  Такая  тесная  взаимосвязь  элементов  водного  режима  требует 
рассмотрения  всего  комплекса  водоностных  пластов  и  элементов,  учета  их  взаимного  влияния. 
Именно  такая  постановка  гидромелиоративных  задач  заложена  в  трудах  основоположников 
мелиоративной науки А.Н.Костякова и С.Ф.Аверьянова. 
Постановка  и  решение  таких  задач  требуют  привлечения  сложного  математического 
аппарата.  Математическое  описание  задачи,  или  ее  математическая  модель,  должна  по 
возможности  полно  учитывать  природные  и  хозяйственные  условия.  При  сложности  или 
невозможности  построения  и  решение  математической  модели  для  проведения  необходимых 
исследований  искуственно  создаются  процессы,  тождественные  изучаемому,  в  полевых  или 
лабораторных условиях. 
Моделированием  называется  создание  процесса  или  явления,  с  известной  степенью 
точности  отображающего  исследуемый  природный  процесс,  но  более  доступного  изучению.  
Модель должна соответствовать изучаемым условиям, повторять закономерности, существующие 
в  природном  процессе.    Однако,  чем  полнее  модель  учитывает  природные  и  хозяйственные 
условия, тем она сложнее. Поэтому при моделировании сложных процессов составлению модели  
предшествует  схематизация  процесса,  т.е.  выбор  расчетной  схемы,  достаточно  близкой  к 
реальным условиям и достаточно простой для описания ее математическими зависимостями  или 
создания  в  лаборатории.  При  этом  необходимо  доказательство  достоверности  выбранной 
расчетной схемы. На рисунке 1  приведен пример схематизации литологического разреза. 
Моделирование  ведется  по  особым  законам,  обеспечивающим  тождественность 
соответствующих  процессов  в  природе  и  на  модели.  Существующие  методы  моделирования 
делятся  на  физические  и  математические.    В  основе  методов  моделирования  лежат  различные 
способы  создания  изучаемых  процессов  в  лабораторных,  реже  в  полевых  условиях. 
Классификация методов  моделирования приведена на рисунке 2. 
Физическое моделирование заключается в создании процесса той же физической природы, 
что  и  изучаемый.  Физическая  модель  и  природный  процесс  могут  отличаться  лишь  масштабами 
величин  и  функций.  Физическое  моделирование  может  проводиться  как  в  полевых,  так  и  в 
лабораторных условиях. 

42 
 
                                                                 а)                        б) 
а) литологический разрез по данным разведочного бурения,  
б) принятая расчетная схема 
Рисунок 1 – Схематизация моделируемого объекта 
 
 
 
 
Рисунок 2 – Классификация методов моделирования 
 
Физическое  моделирование  в  полевых  (натурных)  условиях  применяется  при  изучении 
гидрогеологических  условий,  гидродинамических  характеристик  потоков,  гидрологических, 
геологических и других естественных и искусственных факторов, их изменений во времени и под 
влянием различных мероприятий. 
Моделирование в натурных условиях может проводиться как на существующих системах и 
сооружениях, так и на выбранных типовых участках. 
В первом случае на основе режимных наблюдений и исследований может быть составлен 
прогноз 
состояния 
объекта, 
проверены 
теоретические 
предпосылки, 
правильность 
проектирования,  разработаны  рекомендации  по  проектированию  и  эксплуатации  подобных 
объектов в сходных условиях. 
Обычно  опытные  участки  организуются  в  типовых  условиях.  Они  имеют  небольшие 
размеры  и  оборудуются  всем  необходимым  для  проведения  намеченных  исследований.    На 
опытном  участке  количественно  выявляются  все  действующие  природные  факторы,  а  также 
учняются  все  проводимые  мероприятия.    На  основе  этих  исследований    могут  быть  составлены 
типовые  расчетные  схемы,  проведены  и  проверены  теоретические  расчеты,  намечены 
необходимые 
мелиоративные 
мероприятия, 
даны 
рекомендации 
для 
последующего 
проектирования на всей территории. 
В последнее время все шире применяется комплексный метод исследований, являющийся 
наиболее  всесторонним,  надежным  и  эффективным.  Он  заключается  в  проведении 
взаимосвязанных теоретических  и натурных исследований и моделирования в лаборатории. 
Физическое моделирование в лабораториях проводится на фильтрационных (грунтовых) и 
гидравлических  лотках  и  применяется  для  решения  вопросов  движения  жидкостей  в  пористой 
среде, открытых руслах, гидротехнических сооружениях. 

43 
Математическое  моделирование  заключается  в  составлении  и  решении  математических 
зависимостей,  описывающих  изучаемое  явление.  Решение  математической  модели,  т.е. 
совокупности  полученных  математических  зависимостей,  осуществляется  аналитическими, 
численными или аналоговыми методами. 
Аналитические  методы  решения  задач  математической  физики,  к  которым  чаще  всего 
сводятся  фильтрационные  задачи,  являются  довольно  сложными.  Многие  методы  в  последнее 
время  получили  физическую  интерпретацию,  позволяющую  относить  их  к  методам 
моделирования.  Например,  различные  интегральные  преобразования,  позволяющие  вместо 
исходных уравнений решать их «изображения», а затем переходить к «оригиналу» решения, метод 
конформных  отображений,  представляющий  собой  ряд  аналитических  и  геометрических 
переходов.  В  результате  аналитического  решения  получаются  формулы  и  зависимости, 
описывающие процесс в общем виде. 
Аналогованые  методы  основаны  на  соответствии  диференциальных  уравнений, 
описывающих  процессы  различной  физической  природы.  Они  позволяют  вместо  процесса 
фильтрации 
рассматривать 
другой 
физический 
процесс, 
описываемый 
теми 
же 
дифференциальными  уравнениями.  В  зависимости  от  физической  природы  модели  различаются 
следующие виды аналогии: гидравлическая, электрическая, электронная и другие (рисунок 2). 
Численные  методы  решения  математических  моделей    являются  приближенными  и 
заключаются  в  представлении  решения  последовательностью  арифметических  и  логических 
операций,  осушествляемых  с  достаточной  степенью  точности  на    электронных  вычислительных 
цифровых машинах.  Задача решается в конечных разностях для конкретного объекта. 
Таким  образом,  моделирование  является  эффективным  методом  научного  познания 
природных процессов, активно развивающимся направлением гидромелиоративных исследований, 
все шире применяемым как в научных исследованиях, так и при проектировании. 
Следует  отметить,  что  в  настоящее  время  для  большинства  крупных  мелиоративных 
объектов  осуществляется  проверка  расчетов  и  выбор  проектного  варианта  на  моделях,  особенно 
для  задач,  требующих  сложных  фильтрационных,  экономических  и  других  расчетов.  Например, 
обоснование  водозаборов  подземных  вод;  защита  территории  от  подтопления;  изучение  режима 
грунтовых  вод  на  мелиорируемой  территорий;  изучение  процессов  движения  солей  в  почвах  и 
грунтах;  прогнозы  влияния  мелиоративных  мероприятий  на  окружающие  земли;  экономическое 
обоснование и другие вопросы. 
 
Литература 
1.
 
Лукнер Л., Шестаков В.М. Моделирование геофильтрации. - М.: Недра, 1976. 
2.
 
Вевиоровская    М.А.,  Кравченко  И.П.,  Румянцев  С.А.  Методы  аналогий  применительно  к 
фильтрационным расчетам. - М.: Изд. МГУ, 1982. 
 
 
УДК 621.373.121.14.023:517.956.32 
 
КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ ВОЛНОВОГО 
УРАВНЕНИЯ 
 
Аширбаев А.Х., Гаврикова Т.П., Гавриков В.В. 
ЮКЭТ «Мирас», ЮКГУ им. М.Ауезова, Шымкент, Казахстан 
 
В курсе ТОЭ /1/ изучают только основы однородных линейных цепей с распределенными 
параметрами. Вся теория излагается применительно к электрическим линиям с распределенными 
параметрами на переменном токе. 
Теория однородных линейных магнитных линий на постоянном токе в значительной мере 
аналогична теории однородных линейных электрических линий с распределенными параметрами, 
только вместо тока в уравнении должен быть подставлен магнитный поток, вместо электрического 
напряжения  —  магнитное  напряжение,  вместо  продольного  активного  сопротивления  — 
продольное  магнитное  сопротивление,  вместо  поперечной  электрической  проводимости  — 
поперечная магнитная проводимость. 

44 
Уравнения  Максвелла,  описывающие  электромагнитные  процессы,  как  и  линейных 
электрических  и  магнитных  линий  с  распределенными  параметрами  можно  свести  к 
уравнению гиперболического типа /2/. 
Пусть 
2
R -  конечная  область,  ограниченная  характеристическими  прямыми  AC: 
0
t
x
, BC: 
,
1
t
x
 при x
 AD:
,
0
t
x
 BD:
,
1
t
x
 при 
 для волнового уравнения: 
t
x
f
u
u
Lu
tt
xx
,
 
(1) 
Обозначим 
}
0
{
,
}
0
{
x
x
,  а  через 
)
(
2
s
W
  будем  обозначать 
пространство  Л.С.Соболева  со  скалярным  произведением 
s
,
, 
...
2
,
1
,
0
s
  и  нормой 
;
s
 
)
(
L
)
(
W
2
0
2
. 
Задача S. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям: 
,
1
0
при
,
u
u
1
0
 
(2) 
1
0
при
,
u
u
1
0
, 
(3) 
где 
,
AC
2
;
2
0
,
BC
2
1
;
2
1
1
,
AD
2
;
2
0
,
ВD
2
1
;
2
1
1
 
– произвольное комплексное число. 
Задача  S.,  и  ее  спектральный  вариант  является    обобщением  известной  задачи  Т.Ш 
Кальменова-А.М.  Нахушева  /2/-/6/  со  смещением.  В  работе  /2/  на  основании  принципа 
Асгейрссона  доказана  регулярная  однозначная  разрешимость  задачи  S  для  однородного 
уравнения  (1)  с  неоднородными  условиями  (2).  Т.Ш.  Кальменовым  в  работе  /3/  доказана 
полнота  системы  собственных  функций  задачи  S,  рассматриваемой  в  характеристическом 
треугольнике АВС, доказательство основано на продолжении решения задачи в область, 
 
симметричную 
  относительно  оси 
0
x
  и  решение  задачи  в  квадрате 
  методом 
разделения  переменных.  В  работах  /4-6/  задача  Т.Ш.  Кальменова  -  А.М.  Нахушева 
обобщается,  причем  возникает  ряд  новых  задач,  в  которых  М.A.  Садыбековым  и  учениками 
Т.Ш. Кальменова рассмотрены обобщения задачи типа задач S.(1-3). Причем М.А. Садыбеков 
использует  новый  метод,  то  есть  спектральный  вариант,  который  не  решается  методом 
разделения  переменных,  и  приводятся  критериии  корректности  задач  типа  задачи  S.,  и 
доказывается  базисность  в 
2
L
  системы  собственных  и  присоединенных  функций.  При 
этом  существенно  используется  известный  операторный  метод  М.О.  Отелбаева  -  Т.Ш. 
Кальменова  регулярных  расширений  /7/,  предложенный  ими  и  используемый  другими 
математиками в работах /8/, в данной работе используется их определение. 
Определение:  Оператор  L -  замыкаем  в 
2
L
  называется  расширением  (по 
М.О.Отелбаеву - Т.Ш.Кальменову) замыкания - L
S
 на W
S
(Ω), а 
*
S
L
- оператор, сопряженный с 
оператором
S
L
,  если  L   имеет  ограниченно  обратный  оператор 
1
S
L
,  определѐнный  на  всѐм 
2
L
, причѐм 
*
S
S
L
L
L
. 
Т  Ш  Кальменовым  и  учениками  в  работах  /5-8/  разработан  метод  исследования 
корректных  краевых  задач  в  случае  произвольных  дифференциальных  уравнений  и  новое 
доказательство бесконечномерности корневых векторов. 
Ниже приведем доказательство критерия корректности задачи S. 
Будем  говорить,  что 
2
  
t)
u(x,
L
  -  обобщѐнное  решение  уравнения  (1), 
удовлетворяющее условию (2-3) если 
)
L
(
D
t)
u(x,
*
S
. 
Корректность  задачи  S.  Пусть  W
S
 
–  множество  функций 
C
u
(Ω) 
удовлетворяющих  условию  (2-3).  Через 
S
L   обозначим  замыкание  в  пространстве 
2
L
 
дифференциального  оператора,  заданного  равенством  (1)  на  подмножестве  функций  из 
W
S
(Ω).  
Под  регулярным  решением  сформулированной  задачи,  как  обычно,  будем 
понимать функцию 
2
C
u
, обращающую в тождество уравнение (1) и краевые условия (2-

45 
3).  Функцию 
2
L
u
  назовем  сильным  решением  задачи  S,
 
если  существует 
последовательность 
)
(
1
2
W
u
n
  такая,  что
 
n
u     и 
n
Lu   сходятся  в  норме 
2
L
 
соответственно  к 
u
и 
f
.  Очевидно,  что  u   –  сильное  решение  задачи  S,  если  и  только  если 
S
L
D
u
. 
Теорема 1. Пусть
 
 выполнено условие:     
1
4
≠0                             
 
     (4) 
Тогда, 
а) для любой 
1
C
f
 существует, единственное, регулярное решение задачи S (1-3) 
и это решение удовлетворяет неравенству: 
2
2
1
||
||
||
||
L
W
f
c
u
                                                 
(5) 
б)  для  любой 
2
L
f
  существует,  единственное,  сильное  решение  задачи.  Это 
решение принадлежит классу: 
C
W
u
2
1
 и удовлетворяет неравенству (5). 
в) если условие (4) не выполнено, то решение задачи S не единственно. 
Доказательство.  По  аналогии  с  работой  /2/  сначала  докажем  единственность 
регулярного  решения  задачи  S.  для  однородного  уравнения  (1)  с  неоднородными  условиями 
(2-3)  используя  принцип  Асгейрссона  приведенный,  например,  в  работе  /3/:  сумма  значений 
обобщенного  решения 
)
(
)
,
(
z
u
t
x
u
  уравнения  (1)  в  противоположных  вершинах  z
1
,z
3
  и  z
2
,z
4
 
характеристического четырехугольника z
1
z
2
z
3
z
4 
равны между собой, то есть   
 
 
 
 
 
)
(
)
(
)
(
)
(
4
2
3
1
z
u
z
u
z
u
z
u
, 
 
 
     (6) 
 
Очевидно,  что  имеет  место  и  обратное  утверждение:  пусть 
  -  некоторая 
выпуклая 
область, 
)
(
)
(
C
z
u
 
- 
произвольная 
функция; 
если 
для 
любого 
характеристического (для (1)) четырехугольника 
0
 с вершинами в точках z
1
, z
2
, z
3
, z
4
 
справедливо (6), то 
)
(z
u
- обобщенное решение уравнения (1) в области 
. 
Составляем систему линейных уравнений: 
,
0
))
(
(
u
)
1
(
)
B
(
u
)
0
;
(
u
,
0
))
(
(
u
))
(
(
u
)
B
(
u
)
0
;
(
u
,
0
))
(
(
u
)
1
(
)
B
(
u
)
0
;
(
u
,
0
))
(
(
u
))
(
(
u
)
B
(
u
)
0
;
(
u
1
1
1
1
1
1
2
 
  
   (7) 
 
Проверяя систему (7) на совместность, нетрудно получить, что главный определитель 
этой  системы  равен 
2
2
)
1
(
,  очевидно,  что  система  (7),  а,  следовательно,  и  задача  S 
имеет  бесконечное  число  линейно  независимых  решений.  То  есть,  при 
0
  задача  S  не 
является нетеровой. 
Поэтому при 
0
 система (7) имеет единственное решение 
0
)
t
;
x
(
u
. 
Пусть выполнено условие 
0
, тогда существует единственный обратный оператор 
1
S
L
  (обратный  к  оператору  L,  соответствующему  задаче  S.  в  смысле  сильного  замыкания), 
этот  оператор  определен  на  всем  пространстве 
2
L
,  то  есть  единственность  регулярного 
решения задачи S со смещением является следствием принципа Асгейрссона. 
Перейдем  к  вопросу  существования,  решение  будем  искать  в  каждой  из  областей  по 
формуле: 
,
,
1
1
1
1
1
d
f
d
u
i
i
i
                                                  
     
   (8) 

46 
где 
2
,
1
,
2
;
2
,
4
1
1
i
f
f
i
  так  как  в  силу  однозначной  разрешимости 
начальной  задачи  Коши,  любое  решение  уравнения  (1),  представимо  в  виде  (8)  в  каждой  из 
областей. 
В результате перехода к характеристическим переменным  
,
t
x
,
t
x
- исходная 
область 
 преобразуется в область 
0
, ограниченную прямыми А
0
С
0
 и В
0
D
0
: 
0 и 
1, а 
также прямыми А
0
D
0
 и В
0
С
0
: 
1
,
0
. 
удовлетворяя  формулой  (8)  краевые  условия  (2-3)  и  дифференцируя  их,  получим  для 
определения 
s
i
и 
s
i
 где 
2
,
1
i
 систему: 
)
(
)
(
2
2
2
1
1
1
s
Ф
s
s
s
Ф
s
s
 ,                                                           
 
    (9) 
где 
,
,
,
)
(
0
1
1
1
1
1
1
1
1
S
S
d
s
f
d
s
f
s
Ф
 
S
s
d
s
f
d
s
f
s
Ф
1
0
1
1
1
1
1
1
2
,
,
)
(
,  в 
области 
0
0
0
,  из  которой  при  выполнении  условия  теоремы  (4)  и  условия 
склеивания на отрезке АВ: 
1
0
t
 оси 
 получаем решение задачи S.(1)-(3) в явном виде 
0
0
области
в
,
u
области
в
,
u
,
u
,                                                                           
 
  
 
  (10) 
где 
1
1
1
1
0
1
2
0
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
2
1
1
1
1
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
u
 
1
0
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
d
f
d
d
f
d
d
f
d
,  при 
; 
1
1
1
1
1
1
2
1
0
0
0
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
2
)
1
(
1
1
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
d
f
d
u
 
1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
0
2
1
1
1
1
1
d
f
d
d
f
d
d
f
d
,  при 
; 
Все утверждения пункта (а) теоремы 1 являются следствием этой формулы. 
Для доказательства пункта (б) теоремы покажем, что найденное при 
2
L
f
 решение 
задачи S (1-3) является сильным: пусть 
2
L
f
 в силу плотности 
1
C
 в 
2
L
 существует 
последовательность 
1
n
C
f
 такая, что 
,
0
f
f
2
L
n
 при  n
                                        
 
 
  (11) 
Через 
n
u
, обозначим решение задачи S для уравнения (1) с правой частью 
n
f
, в силу 
пункта (а) теоремы 1, 
w
C
u
n
2
2
2
. Из неравенства (5) и из (9) получаем, что 
0
u
u
W
1
2
n
 при  n
,                        
 
 
 (12) 

47 
то есть последовательность 
n
u
 сходится к  u  при 
n
 в 
1
2
W
. Поэтому решение 
u   является  сильным  принадлежность  сильного  решения  классу 
C
  следует  из 
представления (5). 

жүктеу/скачать 7,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: