Конспект Тақырыбы: Жылу өткізгіштік теңдеу үшін бастапқы және шекаралық шарттар Орындаған: Сматұлла Т. Тобы: Ип-17-8к

Дифференциалды жылуөткізгішті теңдеу - айнымалысы бар бірінші ретті теңдеу болатындықтан, бастапқы уақыт мезетінде келесідей функцияны беру жеткілікті:

- үздіксіз немесе үзлісті берілуі мүмкін. Егер үзіліссіз болса, онда негізгі дифференциал теңдеудің төмендегі шартты қанағаттандыратын t төмендегідей шешім аламыз.

Егер функциясының бастапқы таралуы үзілісті болса, онда аз уақыт аралығынан кейін үзіліс жерлерінде температураның теңдесуі жүреді және t шешім (25,2) шартты қанағаттандыруы керек.

Практикада қарапайым бастапқы шартты есептер кездеседі:

(1.22)

жеке алғанда осы жағдайға орныққан режимнен шығуының бастапқы шарттары (“суық” күйден қыздыру, стационар режимдегі жұмыстан кейінгі суыту және т.б) келеді. Бұл жағдайда теңдеуді шешу айтарлықтай жеңілдейді.

Бастапқы шарттарды елемейтін шекті жағдайлар да кездеседі. Мысал ретінде стерженнің ішінде жылудың таралуын қарастырамыз. Егер уақыттың есептік мезеті жеткілікті дәрежеде бастапқыдан алыс болса, онда температуралық өріс іс жүзінде тек шекаралық шарттармен – бастапқы шарттардың ықпалы уақытпен бірге бәсеңдейді. Осылайша ,тәжірибе шексіз ұзаққа созылады және бастапқы шарттар керексіз. Осы жағдайда шекарадағы температураның периодты тербелісі келеді, ұзақ уақыт өткен кезде жүйенің нүктелер температурасы шекарадағы температураның тербеліс жиілігіне сәйкес келетін жиілікті заңмен өзгереді. Бастапқы таралуды дәл ескергенде периодты шешім болмайды, әйткенмен, практикаға қажетті дәлдікпен бұл қателіктің ықпалын ескермеуге болады.

Жалпылай айтқанда, кез-келген пішінді денелер үшін бастапқы шарттар тек стационар процесстің бастапқы кезеңі кезеңінде ғана ықпал етеді. Қандай да бір мезетінен бастап, регуляры деп аталған денедегі температураның таралуы бастапқы шарттарға тәуелсіз тек шекаралық шарттармен анықталатын режим орнайды.

Кейбір типтік шекаралық шарттарды қарастырамыз.

Бірінші ретті шекаралық шарттар практикада өте сирек кездеседі, себебі беттің температурасы ізделінді шама болады. Әйткенімен, шектелген асқан интенсивті (мысалы, қайнау, куонденсация, сұйық металдардың мәжбүр тербелісі), жұмыстық ортаның t_ор температурасы t_бет беттің температурасына жуықтап тең болатын процесстер кездеседі. Бұл температуралардың айырымы I_qжылу ағыны және зетттеу мәселесі конвективті жылу алмасу мен фазалық түрленудегі жылу алмасу процесстеріне қарасты болатын жылу берілу коэффициентерімен анықталады. болғанда t_орt_бет. Мысал ретінде, “жылу соққысы” деп аталатын құбылысты қарастырамыз.

бұл жағдайда қалыңдығы r қабырғадағы температураны есептеу І ретті шекаралық шарттарды қолдану арқылы болуы мүмкін. Температураның шеттік таралуы стационар күйге сәйкес келеді. Қарастырылған шекаралық шарттар практикада өте сирек орындалады: ережеге сәйкес нақты денелердің бетінде температуралық өрісті бұрмалайтын контактілік жамылғылар болады.

б) Шекарада жылу ағыны берілген (екінші шекаралық есеп, ІІ реттті шекаралық шарттар).

(1.23)

теңдеуді бұл жағдайда шешу облыстың ішінде негізгі теңдеуді қанағаттандыратын қалыпты туындысы шекарада

Лаплас теңдеуі үшін Нейман есебі деп аталады.

в) Шекарада туынды мен функцияның арасында сызықтық қатынас берілген (үшінші шектік есеп, үшінші текті шекаралық шарттар);

1.(25)

Бұл шекаралық шарт температурасы берілген ортамен жылу алмасуына сәйкес келеді коэффициенті ортаның қабырғамен жылулық әсерлесуінің интенсивтілігін сипаттайды.

Лаплас теңдеуі үшін есеп келесідей жазылады:

бұл аралас есеп деп аталады:

(2) шекаралық шартты өлшемсіз түрге келтіреміз

мұндағы

- тек өлшем, -қандайда бір фиксирленген температура.

Ві (Био) критериі ұқсастық теориясында кеңінен қолданылады. Ві болғанда үшінші текті шарт бірінші текті шартқа ауысады (үлкен интенсивтегі жылу алмасады қабырғаның тепературасы тең) және бұл жағдай неғұрлым әмбебап болып табылады. Ві=0 жағдайы шекарасында жылулық изоляциясы бар есепке келеді.

Үшінші текті шекаралық шарттар практикада кеңінен қолданылады. (шекарадағы конвективті жылу алмасу)

Орта біртекті емес және коэффициентері үздікті функциялар болып табылады (төртінші текті шартты шекаралық шартты көп қабатты жүйе. Әрбір қабатың ішінде () ізделінді функциясы жылуөткізгіштік теңдеуін өзінің коэффициенттерімен ал қабаттардың шекарасында түйіндесу шарттарын қанағаттандырады.)

Қарапайым жағдайда - қабаттар арасында идеал контакт болғанда, түйіндесу шарты температураның үздіксіздігімен жылу ағынының үздіксіздігіне негізделеді:

Қалың қабаттардан басқа нақты (реал) денелерде қабаттар арасындағы жылу берілу контактілік жылу алмасу арқылы іске асады (сәуле шығарудың, жылуөткізгіштіктің, конвекцияның күрделі процестері). Контактілік жылу алмасуда шекаралық шартттарда дәл бере алмаймыз және есептеулер үшін жуық шешімдерді қолданады.

Жоғарғы энергиялы физиканың дамуымен бірге төртінші шекаралық шартты есептер жанама мәнге ие болды – олар ракета басының көпқабатты жамылғысы, энергия түрлендіргіштер және т.б.

д) Сызықты шекті есептерден басқа, шекаралық шарттары сызықты емес есептер де қарастырылады. Шекарада сәулелену заңы орындалатын, сәулелену арқылы жылу берілу есептері осыған жатады:

Мұндағы Е - беттің сәулелік қабілетін сипаттайтын қараю дәрежесі;

- Стефан-Больцман тұрақтысы; Т_ор-зерттейтін объектіні қоршаған орта мен дененің температурасы.

4 текті шекаралық шартта есептерді сыртқы сызықтық емес есептері деп атаймыз. Сәулелену арқылы жылутасымалдану жоғары температураларда жұмыс істейтін барлық жүйелерге тән, сондықтан сыртқы сызықты емес есептер көкейісті болып табылады. Әйткенмен, қазіргі уақытта бұл шекаралық шартты есептердің шешілгендерінің саны шектеулі, ал шешімнің ортақ әдістемесі жоқ.

Пайдаланған әдебиеттер

1.Г.В. Кузнецов, М.А.Шеремет. Разностные методы решения задач теплопроводности. Томский политехнический университет, 2007 г

2. Сайболатов С.Ж., Құлбеков М.Қ. Кәдеге асқан қалдықтар. Алматы, “Білім” қоғамы, 1987.