К
ф = Л
J К (х,
s Yp{s )ds
деп белгілейік.
1-лемма. К^> интегралдық операторы толык жоне С[я,«] кеңістігін сол кеңіс-
тіктің өзіне бейнелейді.
Долелдеуі.
ф ) = f ( x ) + X \ К(х,л>ДлДА жоне
N = max|
а
х ,х + Ах е
\ci,b\ болсын. Ол кезде
\<р(х + А х ) - ф )
Л$К(х + Ах, л-
\p{s )ds + f { x + Ах) - Я j К (х, л-
)cp(s )ds - f ( x j <
<
\Л\N j IК (x + A x , ) - К (x, .v
Jds + |/(x + Ax) -
f ( x )|.
f( x ) ^ C [ a , b \ жоне К ( х ,.у ) е ф ) болғандықтан V ^ > 0 үшін
S> О саны
табылып, |Ах| <
8 болғанда
1/(х + Ах| - / ( х ) < £•, |К(х + Ах,л')- K(x,s)| <
£
2 N (/> ^ j
теңсіздіктері орындалады. Егер осы теңсіздіктерді алдыңғы өрнектің оң жағына
пайдалансақ,
\(р(х + Ах)-^?(х)| <
£, VAx:|Ax|<£ екенін көреміз, яғни
(р(х) функция-
сы
[a,b\ кесіндісінің кез келген нүктесінде үзіліссіз. Демек, К операторы кез кел-
ген
(р(х)е C[a,b\ функциясын сол кеңістіктегі үзіліссіз функцияға бейнелейді екен.
Енді К қысу операторы болатын шартгы анықтайық:
, К
(р2) = т а х |К ^ , - К
(р = max
а < х< һ
Ц K (x,s\(p] - (p2\is <
< \ Л \ М ( Ь - - (рг =\Л\м(Ь - а)р{(р^,(р2).
'
1
'
' а < х< һ
Міне, бүдан
М { Ь - а )
шарты орындалғанда К қысу операторы болатынын көреміз. Жоғарыда долелден-
ген қысып бейнелеу эдісінен, егер
Л саны осы теңсіздікті қанағаттандырса, онда
(20) тендеуінің бір ғана үзіліссіз шешімі болады. Ол шешімге жуыктайтын
функциялар тізбегі
(ра ( х ( х ) , ...,
(рп (х),...
(рп+,( 4 =
Л \K(x,s)tpn(s)ds + / ( 4
п = 0,1,2,...
31
рекурентті теңдіктермен анықталады, мұндағы,
(р{) (х) функциясы
[а,в] кесіндіде
анықталған кез келген үзіліссіз функция.
Мысал. Біртіндеп жуықтау әдісімен
і
(р{х) =
Ц x(p(s)ds + х
«
интегралдық тендеуін шешу керек.
Шешуі. Нөлдік жуықтау ретінде бос мүшені, яғни
( p f x ) - x деп алсақ, онда
(
/П
Щ { х ) = Х
1 + ^-
, < Р г ( х )
V
^ )
= X
Я ( Я
1 +2
+
V ^ /
,...,<^„(х)=х
я г я
^ 2
1 + 2
+
V
^ /
f к '
Бул табылған жуық шешімдер тізбегі Я параметрі
тандырса, ақырлы шегі болады. Ол шек
< 1 шартын қанағат-
(р{х) = 1іш^(х) =
2х
2 ^ Я
берілген интегралдық тендеудің шешімі болады.
2.
Қайталанган ядролар және резольвента. Әдетте, жуықтау формуласында
бастапқы жуықтау ретінде бос мүше / (х) функциясын қабылдайды, яғни
q>0 =
f { x ) . Сонда рекуррентті формуладан жуықтау тізбегінің мүшелері
Р, М =
f i x ) + \ К ( x , s ) f ( s ) d s = (/ + Я К )/,
а
<
р
А х ) ~
Достарыңызбен бөлісу: