Курсы оқу құралы
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
| §10.2. Моменттер әдісі
Бұл әдіс бойынша интегралдық тендеудің жуық ф ( х ) шешімін f ( x ) функция- сымен [a,b] кесіндіде <рх( х \ у 2( х ) , . . . , у И( х ) , т.с.с. сызықтық тәуелсіз функция- лардың сызықтық комбинациясының қосындысы, яғни Ф(х) = ^ Л х ) = f ( x ) + Y JCi(pi(x) (222) і=і түрінде іздейді, мұндағы, С,,С2,...,Сп- белгісіз тұрақты шамалар. (222) жуық шеші- мін (219) теңдеуге қойып, 191 ( 223 ) R[ = ^ С'ф, (x ) - C,(P, (x ) - Я J К (x, s ) f ( s ) d s I \ 1=1 a айырымын аламыз, мұндағы, h ¥ , ( x ) = \K(x,s]fp{s)ds,i = 1,2 a Моменттер одісі бойынша C,,C2,...,C„ белгісіз еселіктері айырымдар мен <р,(х\(рі{х\...,(рп{х) функциялардың әрқайсысына функционалдық шарттарынан пайда болатын тендеулер жүйесінен һ J R[(pn(x )\p {x )dx = 0 ,/ = 1,2,...,« a анықталады. Бұл соңғы жүйені (223) функционалына пайдалансак, Z с <(аи - Щ ) = г А і = 1’ (224) і=і тендеулер жүиесін аламыз, мұнда, һ һ a 4 = j <Рі ( х)<р , (x )d x , Д, = j d x J a :( x , s)^ , ( (s)c&, a a a b b Г, = \ d x \ K (x, 5 ) f ( s f a { s )ds. Егер (224) тендеулер жүйесінің £>(/l) = det(ay -J30) анықтауышы нөлге тең болмаса, онда С ,,С 2,...,С„ коэффициенттері бірмонді анықталады. Оларды (222) өрнегіне қойып, жоғарыда берілген (219) интегралдық теңдеудің жуық шешімін аламыз. Мысалы, мына і (р{х ) — J* K(x,s)< p(s)ds = 1 0 тендеудің жуық шешімін табайық, оның өзегі K (x,.v) = J(.v - l)x,0 < х < s, \ s ( x - l),.V < X < 1. 192 Өзектің монін тендеуге қойсақ, A I ) - J.y ( x - 1 )cp(s )ds + 1 (.V - 1 )xcp{s )ds VO r = 1. Егер жуық шешімді (p(x) = ^ ( x ) = 1 + c,x + C ,x 2 деп белгілесек, онда айырым мынаған тең болады: Я[(р2(х)] = С]х + С2х 2 - 4 Л ( x - \ ] C \ j + C2- + х С, с, ( X 3 x 2> C2 ^ ( x 4 x 3 > — — ----- — + C-, — V 3 2 J 12 2 V 4 3 J (х - і) х 2 ^ х(х - 1)" 2 2 Ал R[(p2 ( х )] айырымның х жоне х2 функцияларға функционалдық шартынан ' і I R\(p2 (x)]xt/x = 0, 0 1 J R\(p2(xtyc2 dx = 0. .0 теңдеулер жүйесін аламыз. Бұл жүйедегі интегралды есептеп, Г0 ,3 5 5 5 С , + 0 ,3 1 4 6 С 2 = - 0 ,1 1 6 7 , 10 ,2 6 3 8 С, + 0 ,2 4 1 7 С 2 = 0 ,0 2 5 . түрінде жазып, осы жүйенің с, = 0,027, С2 =-0,029 шешімін табамыз. Сонда беріл- ген интегралдық теңдеудің жуық шешімі (р{х ) = 1 + 0 ,0 2 7 х - 0 ,0 2 9 х 2 болады. • Ескерту. Біз бұл келтірілген мысалда жуық шешімдердің дэл шешімнен айырмашылығын бағалау мәселесімен шұгылданбадық. Қажет болған жағдайда [6] оқулықты ұсынамыз. Ж оғарыда келтірілген әдістердің ыңғайлысын пайдаланып мына төмендегі интегралдық тендеулердің жуық шешімдерін табыңыз: 1 . X V 1.1. j e 2 (p(s)ds = tgx. о 1 . 2 . 1.3. ^ I (p{x) — J ( x 2 + sinX5)^(5)cfe = c o s 2 x . , I (p{x)+— Jxln(x2 + 10^2 +3 \>(s)ds = x 2 + 3x. 193 1 . 4 . 1.5. 1 . 6 . 1.7. 1 . 8 . 1.9. 1 I (p{x) - 1 (l + sin exs )p(.y )c/s = — x +1. I (p{x)+ 5 j exs*s (p{s)ds - ln(l + jc ) 0 ^ ( х ) + | ( х 8 1 П 5 - л / ^ ] ^ ( ^ ) с / 5 = C O s 3 j C . 0 1 ( p { x ) - 1 + x 2 c o ss\){s)ds - x - 2. 0 1 (p{x)~ 4 j xexs+s (p{s)ds = e 2x + 8. 0 X (p{x)- J ( jc - sin xs)p{s)ds = sin jc , jc e [0,l], 0 X 1.10. (p{x) - 1 (l + x 1 s - exs \){s)d s = e 2x + j c , jc e 0 [0,1} § 10.3. Бубнов-Галеркин әдісі Біртекті емес Фредгольмнің ь (р{х) = f ( x ) + A.^K(x,s)(p(s)ds (225) a 2-текті интегралдық тендеудің Бубнов-Галеркин эдісімен жуық шешімін табу үшін L2[a,b] кеңістігінде толық сызықты тәуелсіз {t/„(jc)} функциялар тізбегін тандап алып, жуық шешімін Я,(*) = Х **“*(*) (226) *=і қосынды түрінде іздейді, ал мұндағы, аі,а2,...ап белгісіз коэффиценттерін (<Р„ (х),ик ( j c ) ) = ( / ( j c ) , ик ( j c ) ) + я И К (х, s) ( s)ds,uk ( j c ) \ к = 1,2,..., п (227) ь алгебралық тендеулер жүйесінін анықгайды. Теңдеудегі ( /,g ) = J/(jt)g(jt)<& жэне (рп{х) орнына (226) қосындыны алу керек. Егер (225) тендеудегі Я параметрі сипаттаушы сан болмаса, онда п жеткі- лікті үлкен шама болғанда, яғни л-»оо жағдайда (226) қосындысы L2[a,b] кеңістігіндегі өлшем бойынша (225) интегралдық теңдеудің дэл <р(х) шешіміне жинақты болады. Тендеуді Бубнов-Галеркин эдісімен шешейік. Мысал. і (р{х) = х + J xs (228) 194 Шешуі: [-1,1] кесіндісіндегі толық Р„(х),п = 0,1,2,... Лежандр полиномдарын п таңдап алып, теңдеудің жуық шешімін <рп(х) = ^ а кРк(х),п = 1,2,3 қосынды түрінде к =і қарастырайық, яғни (п=3 үшін) (ръ (х) = а1Л + а2-х + а3 З х 2 - 1 түрінде іздеиміз. Муны (227) өрнекке қосайық ах + а2х + а2 Зх - 1 х + [ xvI <я, + a2s + а2 3.v - 1 ds -I немесе З х 2 - 1 2 а, + а7х + а-, ---------- = х + х ■ — a 2 3 ' (229) Бұл (229) өрнегін біртіндеп, 1,х, З х - 1 функцияларына көбейтіп, х айны- малы бойынша -1 ден 1 -ге дейін интегралдап, сонда 2 ах = 0, 2 9 < — з— а, 3 2 4 1 жүйені аламыз. Осы соңғы жүйеден белгісіз ах = 0,я2 = З,а3 = 0 айқындаймыз, демек, <р2(х) = Зх. Ал бұл функция теңцеудің дэл шешімі болады. Бубнов-Галекиннің жуықтап шешу әдісімен төмендегі интегралдық тендеуді шешіңіз: і 3 . 1 . (р(х ) = I (xs + х2 )(p(s)ds. -\ f 7 4 3 .2 . ( p ( x ) = \ { x s -x)(p{s)ds + \ + - x . 3 I 3 . 3 . (p{x) = J X2e™(p(s)ds + l-x(e-e~x). § 10.4. Ритца әдісі Фредгольмнің 1 -текті симметриялық өзекті һ <р(х) = Д I К ( X ,s)(p {s)d s (2 3 0 ) a тендеуінің Ритца әдісімен меншікті сандары мен меншікті функцияларын анық- тайық, мұндағы, К ( х , s ) = K ( s , х ) -симметрииялық өзек. 195 L2[a,b\ кеңістігінде \ц/п(х)) толық, сызықтық тәуелсіз координаталык функ- циялар жүйесін таңдап аламыз да, (230) теңдеуінің шешімін п (231) к =і түрінде жазамыз, мұндағы, а],а2,...ап коэфиценттерін ||^п|| = і шартын қанағаттан- дыратындай етіп анықтаймыз; сонымен қатар (К(рп,<рп) квадраттык форманың тұрақтандырылған монін табамыз. Нәтижеде ак, а /Лагранж/ коэффициенттерін анықтайтын біртекті алгебра- лык теңдеулер жүйесін аламыз: X {(К Г і ’ ¥ к)~ ° V , ’ Ж = ° ’ j = Ь 2 ,.. п. k \ Бұл теңдеулер жүйесінің нөлдік шешімі болуы үшін (к ¥\ »¥\ )• • • , Wn) ■- °(v\ ’ ¥„) { К у/ 2, - <х(у/2, )• • • ( К у / 2 , у/п ) - а ( у / 2 , ) = м ) — ( К у я,у/ п) - сғ{у / п, ) орындалуы қажетті. Міне, осы анықтауыштан пайда болған көпмүшенің түбірлері /ф,.у) өзектің меншікті мәндерінің жуық шамаларьш анықтайды. Осы (233) өрнегінен <т-ны тауып, оның сипаттаушы мэнін (232) теңдеуге қойсақ, а^а2....ап коэффициенттердің нөлге тең емес жуық мэндерін (231) өрнегіне қойсақ, сонда меншікті функцияның жуық мәнін табамыз. Мысал. Мына k ( x , s )= xs өзектің я = 0,/> = 1 шекаралық жағдайдағы меншікті сандары мен меншікті функцияларын Ритца әдісімен аныкдайық. Шешуі: [o,l] кесіндіде Ритца әдісінің шартын қанағаттандыратын у/Д.ү) координаталық функциялар үшін ^ n(*)= ^,(2jc_1) Лежандр полиномдарын алып, (231) өрнекке ¥ г ( * ) = а\ро(2х ~ 0+ а2Р\І2 х ~ іХ (232) (233) яғни п = 2 үшін жазсақ, ¥х ( х ) = Р 0{ 2 х - \ ) = 1 ц,2(х) = Ң ( 2 х - \ ) = 2 х - 1 бұлардан: і і ( v ' p ¥ \ ) = \ d x = Ц у Л , у/ 2 ) = J ( 2 jt - \)dx = 1, о 0 196 1 (1 1 I {il/2,if/2) = \ ( 2 x - \ ) - d x = - , 0 3 Л ii j (Ку / , , ^ , ) = J J K(x,s)y/2(s)ds y/\(x)dx = J J = - , о V О У о о 4 ' ' 1 ^2 ) = j J *s(2* - і}&<* = — , 0 0 * ^ ' ' 1 (Ку/2,у/2) = \ [ x s { l s - lX 2 x - \)dxds = — - nn 36 ал (233) жүйесі бойынша 1 1 r __ ----- 0 4 12 1 1 12 36 / 0 немесе а -сг 1 1 ----1--- 12 4 О => сг, = 0,<т2 = —. Бұл түбірлердің ең үлкені а 2=~, ендеше, ең кіші сипаттаушы саны л = ~ = 3 3 o’" болады. Бұл сг = у шамасын (232) жүйеге қойсақ, я, = а2 , ал одан ^(х) = 2х меншікті функциясын анықтаймыз. Ритца әдісі бойынша мына өзектердің ( а = 0, Ь = 1 үшін) ең кіші сипаттаушы сандарын анықтаймыз: 4.1. AT(x,s)= x 2 s 2 . [ 5 , X > s, [х, X < s. 1 4.2. K ( x , s ) = 4.3. A-( x ,5): - J t ( 2 - s ) , X > S , z — x(2-x),x>5. 2 V ЖАУАПТАРЫ 0.1. Сызықтық емес, біртекті емес. 0.2. Сызықтық емес, біртекті емес. 0.3. Сызықты, біртекті емес. 0.4. Сызықтық емес, біртекті. 0.5. Сызықтық, біртекті емес. 0.6. Сызықтық, біртекті емес. 0.7. Сызықтық емес, біртекті. 0.8. Сызықтық, біртекті емес. 0.9. Сызықтық емес, біртекті емес. 0.10. Сызықтық емес, біртекті емес, 1 типті. 0.11. Сызықтық, біртекті емес, 2 типті. 0.12. Сызықтық, біртекті емес, 2 типті. 0.13. Сызықтық, біртекті. 0.14. Сызықтық, біртекті емес. 0.15. Сызықтық, біртекті. 1.1. Фредгольмдік емес. 1.2. Фредгольмдік. 1.3. Фредгольмдік. 1.4. Фредгольмдік емес. 1.5. Фредгольмдік емес. 1.6. Фредгольмдік. 1.7. Фредгольмдік. 1.8. Фредгольмдік емес. 1.9. Фредгольмдік. 1.10. Фредгольмдік емес. 1.11. Фредгольмдік. 8-тарау 0 X 2.2. <р(х) = 2 х - 9 + 1(2 — 0 0 0 0 198 2.7. = —Jx 2(x - s) + Ax. 0 2 . 8 . q)(x) = 2 j"(x 2 - s 2)tp(s)ds + Ax. 0 I 2.2.1. Y{x) = x \ G { x , Z ) Y { 4 ) d 4 + e x - e x + x - \ , G(x,£) = 0 2.2.2. Ү(х) = л \ с ( х , £ У ( ^ + ± - { х 2 - 4 х + б \ G (x,f) = X „ 6 2.2.3. К(х)=е'- л } о ( х , £ ) к ( ^ , + о (( 1 + £ ) х ,£ < х < 1 . f ( £ - l ) x , 0 < x < £ , l(x -l)^ < x < l. (3£ -х),0 < х < £, М 3 х -£ ),£ < х < 4 . 2.9. <р(х) = 1 /з х + 1 \ 2 2 + х 1 2 . 10 . <р(х)= — - 1 . 2 . 11 . (р{х)~ — + х2. у х 12 2.12. (р(х) = — + 3. 2.13. #?(х) = е*(х + 1 ). 2.14. <р(х) = е 2 . 2.15. ^(х)=-— г + arg/gx - ^ln(l + х2) 2.16. q>(x) = cos хе 2.17. <р(х) = 2ех - 2 cosx+5sinx. 2.18. <р(х) = - е х. \ ( R 3 2.19. <р(х)= V3 (x + sin х) e r +3cosx + 3 sin x -4 e 2 cos— х 2 2 . 20 . (р{х)= 1 . 2 . 21 . (р(х)=хсһх. ' 1 . л/7 , л/7 Л 2 . 22 . ^(х) = - е ' + - е 4 4 - 7 = sin — x + 3cos— X л / 7 2 2 х"*1 р+1 3.1. #>(х) = е \ 3.2. <р(х)=х. 3.3. <р(х)= 1 . оо 2 к + \ 3.4. w ( x )=1 + x V t ^ ---- г-.= 1 + х е 2 \ е 3.5. . 3.6. <р(х)=е ^ ' Го(2к + \)\ І X 3.7. ^(x) = sinx. 3.8. (р(х)=сһх. 3.9. (р(х)= (2е)х . 3.10. <р(х) = (\ + х 2)е 2. 4.1. е м'~х). 4 .5 . хл- 2 е 4 4.6. г 4.10. 4.14. е хсИс. 4.15. 4.2. s e 2 т(*2- 2) 4.3. 2 х е з ^ - ’) 4.4. X.SC !(*2-*2) ,(Я + 1)( х - . у ) 4 7 2shx~shs ■ об 1 + х 2 г Я ( х - х ) 1 + S 2 сҺх ^ л ( х - х ) 4.11. е Т 4.12. X £ 3 . 4.13. 1 о" chs X 5 4 о 5 5 + 1 х2 — X + 1 1 2 . —cos X + —sin X. 5 5 Л ( х 1 + X 2 ' 4.16. e r( x - l ) + l . 5.1. е г( х - l ) + 1 . 5.4 . - ^ е ^ һ — х. 5.5. 2ех - х + 1 . 5.6. 2 sinx л/3 2 5.2. сАх — 1 . 5.3. е2х —е1. л/з л -----1--- 2 6 5.8. ! [ е!'( 2 * + з)+|] 5.7. — ех - 2е 2 sin 3 5.9. 1(4 3 V 5.13. е~ 5.15. 2 - c o s^ -x + y fl sin ^-x . 2 2 6.1. e\ 6.2. x - — . 6.3. 1 - xln3. 6.4. 1. 2 6.5. x. 6.6. 3. 6.7. Шешімі жоқ. 6.8. e - COS л/Зх) 5.10. 1. 5.11. 2 r , + x l \ 1 — 5.14. - e 2 f /Я 3 1 + Ach— —x 2 J 5 l 2 J 5.12. chx + COS X. ( \ — s in x V • 6.9. xe 6.10. 3 (2 jc — 1)- 6.11. chx. 6.12. xl ( 6 + — x~ 2 6.13. 2 sinx. 6.14. 2 cos x - 1 . 6.15. e 2 , + И - 7.1. \ 7.2. cp(x)= C + 2e x. 7.3. ^>(x) = cos.v - sin x. 7.4. ?(*) = — ------- <7-1 a 9-тарау 1.1. 3 x . 1.2. — . 1.3. 1 - x. 1.4. 4 s i n x . 1.5. — c o s x . 3 3 1.6. /? (х ,л ;Я ) = --------- , ^ ( x ) = s i n x . 1 - лХ x + l 1.7. /?(х,л;Я)= 2 xfl— — ,(p{x) = —- 2 ' + x. 2 І П 2 - З Я In 2 1.8. 7?(х,л’;Я)= xsin2;zy,^(x) = cos 2; zx . 1.9. Л(х,.?;Я) = ,cp{x)~ e x + x. 1 — Я 2 1 . 10 . /?(x,.v; 2 )= — 1—sin xcos.v,^(x)= 1 + 2 sinx. 2 — Я 2.1. sinx + cosx. 2.2. Шешімі жоқ. 2.3. x + c(l - x 2 ) 2.4. x. 2.5. cos2x + ^^ — \~2) ^ ^ ^ X ^ ^ ^ 2.8. cos 2 лх. 2.9. -v + ~- 2.10. C 5 ^ 2 — X + X 2 3.1. Я = ^j,(p{x)= c(l + 2x). 3.2. Я = ^ ,^ (x )= c (l-x 2) 3.3. Я = \, C|x|. 3.4. Я = — ,(p {x )= C x . 3.5. Я = — , ^ ( x ) = C c o s x . Л Л 3.6. /і\,2 = ^ ± ^ ’^і.2(х)=с(л/3х±і) 3.7. / / , , 2 = l ± ^ |( e - l ) , ^ , . 2 ( x ) = C ^ ( e - l ) ± l . 2 0 0 3.8. Л = 2л,ср(х)= С. 3.9. А, 2 = ± — ,<рх 2(^) = C (sin х ± cos jc ). К 3.10. Л = — = Cj cos л" + С 2 sin х. л 4.1. л ф ^,(р(х)= х 2 + - • ^ , ал Я = — болғанда, шешімі болмайды. 5 2 6 — 5 Л 5 4.2. 2 ф 2,(р(х) = sin 2 лх, ал Л = 2, (р{х) = sin 2лх + Сх. 4.3. 4 * 1 ал 2 = ~ i(p[x )= 1 - ~ jc + с (\ + 2.v). 2л 4.4. А ф -2л,<р(х) = - ----- ал Л = - 2 л болғанда, шешімі болмайды. 2 л + Л + л 2Л 4.5. (р(х) = ctgx +—, A e R ' . 4.6. Л - 1 болғанда, <р(х)= ,------ , , 2 V 1 -х 2 8(1-Я ) яЯ . 4.7. А е R ' , (р(х) = cosx + -^-sin х. 1 3 2 4.8. Л ф — Л ф — болғанда, <р(х)=— sin/Df + 2 2 3 2 3 <р(х) = sin 7ix + — х,Л = - - д е шешімі болмайды. 2л 2 4.9. Л ф ± ^ - болғанда, <р(х) = - + - х + ^ 2 2 3 2 Ах л 1 - - Я 3 , ал я = - болғанда, 2 - - Я 2 L 3 (і + 2Я )* + 1 + | я ал Л = ±— 2 болса, шешімі болмайды. 2 4.10. Л ф — болғанда, <р(х) = 1 2Я 1 + Лл sinx. 4 11 я = — болғанда, (р{х) = 1 - sin * + cos ал Я = — болса, шешімі болмайды. л 3 5.1. Лп = - л 2П2,(рп(х) = sinлпх,п е N. 5 . 2 . Лп = + \)2,<рп(х) = s m n ^ ^ - x , n = 0 , 1 , 2 ,.... 5.3. Лп = -(оп2, мұндағы, соп дегенім із- а = ctgco тендеудіңтүбірлері, (рп(х) = cos о)п( х - \ ) , п е N. 5.4. Я = -1 + f 2/7 + 1") ( \ . 2 « + 1 -------- > 0 > „ ( * ) = s in — 0 — х,п = 0,1,2,.... 2 у 2 5.5. Я„ = 1 + й/п2, мұндағы, &>„ дегенім із -co = ctg2co тендеудің түбірлері, <рп( х) = c o s сопх , п е N. 1 4 s in л(2к + 1)д: к о ^ + і _ Я л"(2Л: -ь 1) 5.6. А ф An = - n 27r2,nG N болғанда, р(*) = 1 + я £ - 1 4 s i n ; r ( 2 к + 1)х Z = K , n e N бол ганда * а + |) Я = = 0,1,2,... жағдайда шешімі болмайды. ал + С sin 2лтх\ ал 201 5.7. Я = Я = - л - ' 2л- +1 , я = 0,1,2,.. болғанда, л (р(х) = sin^COSyX я \ 1 . л 1 • — Sin — X + я + тгА 2 2 Я + 9 л 2 1 . Зл- sin — X . л . . 9 л " ; ал Я = Л, = -----пен Я = Я, = ----------- шешімі 4 4 лх болмайды, ал я = Я„ я = 2 жағдайда шешімі #>(х) = s in ;c c c o s — - Я„ Я + 1 1 . лх ------- Г------- s i n — + л - 2 2 + Я + 9 л 2 1 . Зл" sin — X + С sin ^ х болады. 2 5.8. Я ф Я. = 1 — ^ 2 я + 1л , я + 0,1,2,...болғанда, ' 2 ( 2 Л (р(х) = х - л + я у 2 я +1 2 я +1 c o s ---------х; ал Я = Я„ жағдайда шешімі болмайды. п 0 ^ Л , 2 5.9. Я = Я„ = 1 - 4 л - 2я 2, я = 0,1,2,... болса, <р(х) = (1 - Я) ' , ал Я = Я0 = 1 жағдайда + С, c o s я х + С2 s in ях. шешімі болмайды, ал Я = Яя , я е /V болғанда, <р„(х): 1-Я. 5.10. Я = —, #>(х) = х2-1. 4 5.11. Л, = 1.% = 1Л = 1 - 4 я 2, (рп (х ) = С, c o s ях + С , sin ях , п е N. 2х - s + 6 .1 . /? (х ,л ;Я ) X + .V - 2 x 5 V Я , Я Я2 1 — + 2 6 6.2. /?(х,.у;Я) = 1 2 2 X 5 - X S + X S ' X + 5 X S М я , + Я - l 4 3 5 ) _ 2 4 0 sin X C O S 5 . 6 .4 . R(x, s ;A ) = X S . я ■ 6.5. /?(х,л;Я) sin х - sin 5 - л ( 1 + 2 sin x s in л)Я 1 + 2 л - 2Я 2 6 .6 . /? (х ,.v;Я ) = c o s х + c o s s. 6 7 R( -Я ) (s in 2 x - sin 2.v) - А л sin 2 x sin 2s (x,.s, ) - f - А л 2 i m 6 8 R( у. ; \ — sin л: + sin л- -t- 7гЯ( 1 2 s in x s in .v ) 'Г,Л’ ~ 1^А24 тг 2 ~ 1 + 3.v.v + A 6.9. r ( x , s ; A) = V - ^ - з 2 , 1 - 2 А + - A2 4 6.10. R(x,s;A) = x(4.v - x ) - A x + 2 x 2s - ^ (x 2 + x s ) 1- A + Ac 18 6 .1 1. / ? ( x ,s ;/l) : 2(x+.v) l - — (e4 - 1) 4 v ' . 6 . 12 . 1 - In A 10-тарау 3.1. (pXx) = 6x2 +1 - дол шешімі. 3.2. p3(x)= 1 - дол шешімі. 3.3. <р,(х)=і-дол шешімі. 4.1. A, = 5 у /дол моні А, = 5 /. 4.2. А] = 2,486; А2 =32,181. 4.3. 2, = 4,59. ӘДЕБИЕТТЕР 1. Орынбасаров М., Сахаев LLL, Интегралдық теңдеулер. - Алматы: Білім, 1994. 140 б. 2. Смирнов В.И. Курс высшей математики,т.чь1957, Москва 3. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М-Л. 1949, 379 с., Москва-Ленинград 4. Орынбасаров М., Сахаев Ш., Сызықтық интегралдық тендеулердің есептер жинагы. Алматы: Қазақ университеті, 2000, 91 б. 5. Краснов М.Л., Кисилев А.Н., Макаренко Г.И., Интегральные уравнения, 2-ое изд.-М., 1976. 6. Михлин С.Г., Лекции по линейным интегральным уравнениям, физмат-гиз, 1959. Москва 7. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 542 с. 8. Сахаев Ш. Интегралдық түрлендірулер жэне олардың қолданулары. Алматы: Қазақ университеті, 2009. 115 6. МАЗМҰНЫ Алғы сөз.................................................................................................................. 3 1. Негізгі үғымдар мен интегралдық теңдеулерге келтірілетін есептер 1.1. Интегралдық теңдеулерді кластарға бөлу................................................ 4 1.2. Интегралдық тендеулерге келтірілетін есептер....................................... 9 1.3. Дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебі мен шекаралық есептерді шешуді интегралдық тендеуге келтіру...................... 12 2. Функционалдық анализден көмекші мағлуматтар 2.1. Метрикалық кеңістіктер жэне олардың кейбір қасиеттері..................... 15 2.2. Сызықтық нормаланған кеңістік................................................................. 18 2.3. Сызықтық үзіліссіз операторлар................................................................. 20 2.4. Гильберттік кеңістік.......................................................................................23 3. Қысып бейнелеу әдісі және оны қолдану 3.1. Қысып бейнелеу әдісі....................................................................................29 3.2. Қысып бейнелеу әдісін Фрелгольмнің интегралдық тендеуіне қолдану................................................................................................. 30 3.3. Қысып бейнелеу әдісін Вольтерра тендеуіне жэне сызықтық емес интегралдық тендеулерге қолдану......................................... 43 3.4. Ерекшелігі әлсіз ядролы интегралдық теңдеулер.................................... 50 4. Фредгольм теориясы 4.1. Ерекшеленген ядролы Фредгольмнің 2-текті интегралдық теңдеуі.... 57 4.2. Фредгольмнің жалпы интегралдық тендеуін ерекшеленген ядролы теңдеуге келтіру....................................................................................... 61 4.3. Фредгольмнің анықтауыштар әд ісі............................................................ 64 4.4. Фредгольм теоремалары............................................................................... 72 5. Симметриялық интегралдық теңдеулер 5.1 .Симметриялық ядролар жэне олардың кейбір қасиеттері...................... 79 5.2. Симметриялы ядролы интегралдық тендеулердің негізгі қасиеттері.................................................................................................... 80 5.3. Ддроны қатарға ж іктеу................................................................................. 85 5.4. Гильберт - Шмидт теоремасы...................................................................... 90 5.5. Симметриялық интегралдық теңдеуге келтірілетін интегралдық тендеулер......................................................................................... 97 6. Бірінші текті интегралдық теқдеулер 6.1. Вольтерраның бірінші текті теңдеуі............................................................105 6.2. Абель тендеуі.................................................................................................... 106 6.3. Фредгольмнің бірінші текті теңцеуі............................................................ 109 205 6.4. Ядросы симметриялық емес бірінші текті интегралдық тендеулер..........................................................................................114 6.5. Фредгольмнің бірінші текті қисынсыз интегралдық теңдеуі................. 115 7. Интегралдық түрлендірулер мен теңдеулер 7.1. Фурье түрлендіруі және оның интегралдық теңцеулерге қолдану...... 120 7.2. Лаплас түрлендіруі жэне оны интегралдық теңдеулерге қолдану....... 130 7.3. Меллин түрлендіруі және оны қолдану.......................................................139 8. Вольтерраның интегралдық тендеулері 8.1. Интегралдық тендеулерді топтастыру.........................................................144 8.2. Интегралдық жэне дифференциалдық теңдеулер арасындағы байланыс..............................................................................................148 8.3. Вольтерраның 2-текті интегралдық тендеулерін тізбектей жуықгап шешу әдісі.................................................................................................153 8.4. Интегралдық теқдеудің резольвентасы.................. 155 8.5. Үйірткі типіндегі Вольтерраның 2-текті интегралдық тендеуі және оны Лапластың интегралдық түрлендіру әдісімен ш еш у..... 158 8.6. Вольтерраның 1-текті интегралдық теңдеулері жэне оларды шешу тәсілдері........................................................................................... 160 8.7. Шекарасы (ү,+оо) болған Вольтерраның интегралдық теңдеулері....165 9. Фредгольмнің интегралдық тендеулері 9.1. Фредгольмнің 2-текті интегралдық теңдеулерін біртіндеп жуықтап шешу..........................................................................................................167 9.2. Өзегі қарапайым Фредгольмнің 2-текті интегралдық тендеулерін ш еш у..................................................................................................171 9.3. Интегралдық теңдеулердің меншікті сандары мен меншікті функциялары........................................................................................... 174 9.4. Фредгольм теоремалары.................................................................................176 9.5. Симметриялық өзекті Фредгольмнің 2-текті интегралдық тендеулері......................................................................................... 179 9.6. Фредгольмнің анықгауыштар әд ісі.............................................................. 185 10. Интегралдық теңдеулерді жуықтау әдісімен шешу 10.1. Шектелген қосылғыштар эдісі.................................................................... 189 10.2. Моменттер эдісі.............................................................................................. 191 10.3. Бубнов-Галеркин эдісі................................................................................... 194 10.4. Ритца әдісі........................................................................................................195 Жауаптары................................................................................................................. 198 Әдебиеттер................................................................................................................204 Оқу басылымы Орынбасаров Мамажан Сахаев Ш әріпхан И Н Т Е Г Р А Л Д Ы Қ Т Е Ң Д Е У Л Е Р К У Р С Ы Оқу құралы Редакторы жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|