Лабораторная работа №2. Системы счисления

Х10	Х2	Х8
Х16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
Х10	Х2	Х8	Х16
9	1001	11	9
10	1010	12	А
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему


Правило: Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную производится методом подстановки и суммирования произведения числа на основание в степени соответствующей номеру позиции.
1) Для перевода целых чисел, используется формула (1.1):
, (1.1)
где p - основание системы счисления;
a – число (цифра);
n – номер старшего разряда;
Разряду с номером 0 соответствует младший разряд целой части числа.
Рассмотрим несколько примеров перевода в десятичную систему счисления.
Пример1. Перевод целого числа из двоичной системы счисления в десятичную систему.
101010₂ =1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ =32 + 8 + 2
101010₂ =42


Пример2. Перевод целого числа из восьмеричной системы счисления в десятичную систему.
256₈ =2*8² + 5*8¹ +6*8⁰ =128+40+6
256₈ =174


Пример3. Перевод целого числа из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему.
5АС₁₆ =5*16² + 10*16¹ + 12*16⁰ =1280 + 160 + 12
5АС₁₆ =1452

2) Для перевода дробных чисел используется формула (1.2)

(1.2)


где m – показатели степеней основания дробной части, которые изображаются отрицательными числами от –1 до


Пример4. Перевод дробного числа из двоичной системы счисления в десятичную систему.
101,11₂ = 1*2² + 0*2¹ +1*2⁰ +1*2^-1 + 1*2^-2 = 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0, 25
101,11₂ = 5, 75₁₀

Перевод дробных чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную систему производится аналогичным образом.

Перевод чисел из десятичной системы в любую другую систему счисления

1) Перевод целого числа из десятичной системы счисления

Правило. Чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы в систему с основанием В, необходимо разделить ее на В. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на В – остаток даст следующий разряд числа и т. д. Процесс перевода заканчивается, когда целая часть некоторого частного станет меньше основания равной единице. Эта единица является старшим разрядом искомого двоичного числа, т.е. запись целого двоичного числа осуществляется с конца.
Рассмотрим несколько примеров перевода из десятичной системы счисления.


Пример1. Перевод целого числа из десятичной системы счисления в двоичную систему.
42₁₀=101010₂
42 / 2
42 21/ 2
0 20 10/ 2 
1 10 5/ 2
0 4  2/ 2
1 2 1
0

Пример2. Перевод целого числа из десятичной системы счисления в восьмеричную систему.
548₁₀=1044₈
548 / 8
48 68 / 8
68 64 8 / 8
64 4 8 1
4 0
Пример3. Перевод целого числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему.
316₁₀=13С₁₆
316 / 16
16 19 / 16
156 16 1
144 3

12
2) Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления
Правило. Для перевода дробной части необходимо умножить ее на В. Целая часть полученного произведения будет первым (после запятой, отделяющей целую часть от дробной) знаком. Дробную же часть произведения необходимо вновь умножить на В. Целая часть полученного числа будет следующим знаком и т. д.


Пример4. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную систему.


12, 34₁₀ = 1100,0101…₂
12 / 2 0, 34*2 = 0, 68
12 6 / 2 0, 68*2 = 1, 36
0 6 3/_2 0, 36*2 = 0, 72
0 2 1 0, 72*2 = 1, 44
1
Перевод дробных чисел из десятичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления производится аналогичным образом.


Перевод числа из системы счисления с основанием р в систему счисления с основанием q


Правило. Для того чтобы перевести число из системы счисления с основанием р в систему счисления с основанием q необходимо:

• 
  перевести число из системы счисления с основанием р в десятичную систему счисления.
  
• 
  полученное число из десятичной системы перевести в систему с основанием q.
  

Варианты заданий к лабораторной работе:

Вариант 1.

1. 
   Перевести в десятичную систему счисления следующие числа:
   

1011001₂, АC5₁₆, 5231

2. 
   Перевести в двоичную систему счисления из десятичной следующие числа - 32,12; 125; 226 и каждое полученное двоичное число перевести соответственно в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.
   
3. 
   Выполнить действия с числами двоичной системы счисления:
   

11000111 + 10001001 =
10101 * 1001 =
Вариант 2.

1. 
   Перевести в десятичную систему счисления следующие числа:
   

1110001₂ , 2AD₁₆, 1253₈

2. 
   Перевести в двоичную систему счисления из десятичной следующие числа - 33,02; 251; 130 и каждое полученное двоичное число перевести соответственно в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.
   
3. 
   Выполнить действия с числами двоичной системы счисления:
   

100010 + 10101010 =
1110 * 1101 =
Вариант 3.

1. 
   Перевести в десятичную систему счисления следующие числа:
   

100011₂ , CB5₁₆ , 156₈

2. 
   Перевести в двоичную систему счисления из десятичной следующие числа - 45,5; 115; 285 и каждое полученное двоичное число перевести соответственно в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.
   
3. 
   Выполнить действия с числами двоичной системы счисления:
   

1011101,1 + 10001,01 =
10001 * 10 =


Вариант 4.

1. 
   Перевести в десятичную систему счисления следующие числа:
   

11111101₂, 9CB_16, 471₈

2. 
   Перевести в двоичную систему счисления из десятичной следующие числа - 38,9; 320; 171 и каждое полученное двоичное число перевести соответственно в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.
   
3. 
   Выполнить действия с числами двоичной системы счисления:
   

111111,01 + 11001 =
11011 * 110 =


Вариант 5.

1. 
   Перевести в десятичную систему счисления следующие числа:
   

1100110_2, 12FA9_16, 1411₈

2. 
   Перевести в двоичную систему счисления из десятичной следующие числа - 29,5; 289; 162 и каждое полученное двоичное число перевести соответственно в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.
   
3. 
   Выполнить действия с числами двоичной системы счисления:
   

1100110 + 110011,1 =
11111 * 1001 =


Вариант 6.

1. 
   Перевести в десятичную систему счисления следующие числа:
   

11010101₂ , 3DB2₁₆ , 1217₈

2. 
   Перевести в двоичную систему счисления из десятичной следующие числа - 51,8; 333; 168 и каждое полученное двоичное число перевести соответственно в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.
   
3. 
   Выполнить действия с числами двоичной системы счисления:
   

110101,01 + 11010 =
11001 * 111 =


Вариант 7.

1. 
   Перевести в десятичную систему счисления следующие числа:
   

1000001₂ , 14C9_16, 717₈
Перевести в двоичную систему счисления из десятичной следующие числа - 39,21; 198; 235 и каждое полученное двоичное число перевести соответственно в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.

2. 
   Выполнить действия с числами двоичной системы счисления:
   

1000001 + 11101,01 =
11001 * 1101 =

Вариант 8.

1. 
   Перевести в десятичную систему счисления следующие числа:
   

1011111₂ =
41CA₁₆ =
1617₈ =

2. 
   Перевести в двоичную систему счисления из десятичной следующие числа - 43,22; 521; 182 и каждое полученное двоичное число перевести соответственно в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.
   
3. 
   Выполнить действия с числами двоичной системы счисления:
   

10111,11 + 1111,01 =
11111 * 111 =


Вариант 9.

1. 
   Перевести в десятичную систему счисления следующие числа:
   

1111111₂ =
158AD₁₆ =
6661₈ =

2. 
   Перевести в двоичную систему счисления из десятичной следующие числа - 48,7; 475; 153 и каждое полученное двоичное число перевести соответственно в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.
   
3. 
   Выполнить действия с числами двоичной системы счисления:
   

1111,111 + 10001 =
10111 * 110 =


Вариант 10.

1. 
   Перевести в десятичную систему счисления следующие числа:
   

10111110₂ =
15CE₁₆ =
3336₈ =

2. 
   Перевести в двоичную систему счисления из десятичной следующие числа - 20,33; 356; 177 и каждое полученное двоичное число перевести соответственно в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.
   
3. 
   Выполнить действия с числами двоичной системы счисления:
   

101111,1 + 1000001,01 =
10001 * 10001 =