Аралықта анықталған үзіліссіз функциялардың қасиеттері.
Больцано – Коши теоремасы. Егер функциясы аралығында үзілізссіз болса, онда функциясының кез келген екі мәнінің арасында жатқан әрбір нақты сан да сол функцияның мәні болады.
Бұл теорема келесі леммадан оңай шығады:
Лемма. функциясы сегментінде анықталған және үзіліссіз болсын. Егер
(1)
болса, онда интервалында теңдігін қанағаттандыратын кемінде бір саны табылады. (Н. Темірғалиев, «Математикалық анализ» том 1 , 188 б)
Вейерштрасс теоремалары.
Вейерштрасстың бірінші теоремасы. Егер функциясы сегментінде анықталған және үзіліссіз болса, онда оның мәндер жиыны шенелген жиын болады.
Вейерштарсстың екінші теоремасы. Егер функциясы сегментінде анықталған және үзіліссіз болса, онда оның ең үлкен және ең кіші мәндері бар болады. (Н. Темірғалиев, «Математикалық анализ» том 1 , 190 б)
Үзіліссіздің бірқалыптылығы. Кантор теоремасы.
функциясы жиынында анықталған болсын. Егер әрбір саны бойынша теңсіздігін қанағаттандыратын кез келген және сандары үшін теңсіздігі орындалатын оң саны табылса, онда функциясы жиынындағы үзіліссіздігі бірқалыпты немесе функциясы жиынында бірқалыпты үзіліссіз дейді.
функциясы интервалында үзіліссіз, бірақ бірқалыпты үзіліссіз емес.
болып, оң саны берілсін. Онда және болғанда
болады, демек, функциясы интервалында бірқалыпты үзіліссіз емес.
Кантор теоремасы. Егер функциясы сегментінде үзіліссіз болса, онда ол сол сегментте бірқалыпты үзіліссіз болады. (Н. Темірғалиев, «Математикалық анализ» том 1 , 193 б)
Туынды, оның физикалық және геометриялық мағынасы. Туындысы бар болатын функцияның үзіліссіздігі. Дифференциалдау ережелері
Элементар функцияларды дифференциалдау.
функциясы нүктесінде және оның қандайда бір маңайында анықталған функция болсын. - нүктесіндегі аргумент өсімшесі , ал оған сәйкес келетін функция өсімшесі:
арқылы белгіленсін.
Анықтама. Егер нақты мәнді шегі бар болса, онда шектің мәнін функциясының - нүктесіндегі туындысы дейді де
символдарының бірімен белгіленеді.
Сонымен,
(1)
немесе
Егер (1) - шек немесе болса, онда функциясының - нүктесінде ақырсыз туындысы бар дейді.
Егер (1) - теңдіктегі шек немесе жағдайында қарастырылса, онда шек (егер ол бар болса) функциясының нүктесіндегі оң жақты туындысы, ал немесе жағдайында қарастырылса, онда сол жақты туындысы деп аталады да, олар сәйкес символдары арқылы белгіленеді.
Функцияның нүктесінде туындысы бар болуы үшін:
1) ; 2) шарттарының орындалуы қажетті және жеткілікті. Онда
. (2)
Теорема. Егер функциясының нүктесінде ақырлы туындысы бар болса, онда функциясы осы - нүктесінде үзіліссіз болады.
Ескерту. Функция нүктеде үзіліссіз болса да, оның бір жақты ақырлы туындылары болмауы да мүмкін. Мысал ретінде мынадай функцияны қарастырайық:
, ,
Сонымен, функция нүктеде үзіліссіз болғанымен, ол нүктеде функцияның туындысы болмауы мүмкін екен.
Салдар. Егер нүктесі функциясының үзіліс нүктесі болса, онда осы нүктеде - тің ақырлы туындысы болмайды.
Достарыңызбен бөлісу: |
