| 2. Лебег интегралының анықтамасы
Айталық, Е жиыны берілсін. Осы Е жиынында өлшенетін берілсін.
М1 – төменгі шекаралық деп белгілейік.
М2 – жоғарғы шекаралық деп белгілейік.
Мына шарттарды қанағаттандыратын сандарын алайық. мына нүктелердің көмегімен бөлікке бөлейік. Осы бөлінуге сәйкес мына шартты қанағаттандыратын нүктелердің жиынын
Сонда, барлық Ек өлшемді және құруымыз бойынша олардың қос-қостан ортақ нүктелері болмайды. Онда саны шекті қос-қостан ортақ нүктелері болмайтын өлшенетін жиынның бірігуі бойынша
Бұдан соң Лебег қосындылары деп аталатын қосындылар құрайық.
- төменгі қосынды.
- жоғарғы қосынды
деп ең үлкен ұзындығын белгілегеннен көріп отырғанымыздай Лебег қосындыларының шамасы майда бөліктерге бөлуге тәуелді.
Теорема: майда бөліктерге бөлуге тәуелсіз Лебег қосындылары ортақ I шекке ұмтылады.
Міне, осы І шегі функциясының Е жиынындағы Лебег интегралы деп аталады және былай белгіленеді:
Егер Е жиыны кесіндісімен беттессе, онда
Лебег қосындылары А, В сандарымен байланысты болғанымен Лебег интегралы ол сандарға тәуелсіз. А және В сандары кез келген сандар болуы мүмкін, тек олар Е жиынындағы кез келген х үшін мына шартты қанағаттандырса болғаны.
нүктесін алайық, ол тек мына шартты қанағаттандырады: . Анықтама бойынша Лебег интегралы майда бөліктерге бөлуге тәуелсіз. Сонда бірімен беттестірейік.
Ал соңғы теңсіздіктер бойынша жартылай кесіндіде жатқандықтан, Е жиында қанағаттандыратын нүктелер жоқ. Олай болса,
Ендеше,
Бұдан, Лебег интегралының майда бөліктерге бөлуге тәуелсіз екендігін көрсетеді.
Достарыңызбен бөлісу: | 
