Лекции №1 Матрицы и определители Содержание темы лекции Понятие матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами
жүктеу/скачать 215,78 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Определение
| Определение. Если квадратная матрица и для неё , то её называют симметрической.
Очевидно, что элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны: . Определение. Суммой матриц и одинаковой размерности назовём матрицу , элементы которой равны сумме соответствующих элементов и : Определение. Назовём произведением матрицы на число матрицу той же размерности, элементы которой . Так как операции сложение матриц и умножение матриц на число сводятся к обычному сложению и умножению чисел, то нетрудно проверить, что эти операции обладают следующими свойствами: 1) (коммутативность сложения), 2) (ассоциативность сложения), 3) , где нулевая матрица той же размерности, что и матрица 4) (ассоциативность относительно числового множителя) 5) (дистрибутивность сложения) 6) (дистрибутивность относительно числового множителя 7) , . Определение Матрица называется противоположной матрицей для матрицы . С помощью противоположной матрицы можно ввести действие вычитание матриц: Определение. Произведением матрицы размерности на матрицу размерности назовём матрицу , элементы которой равны: (2.2) В итоге произведения матрицы на матрицу получается матрица, число строк которой совпадает с числом строк матрицы , а число столбцов равно числу столбцов матрицы . Замечание 1. Из определения произведения матриц следует, что оно имеет смысл лишь в том случае, когда число столбцов в первом множителе равно числу строк во втором множителе. Замечание 2. Произведение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. в общем случае Покажем на примере, что даже в том случае, когда возможно умножение матрицы на матрицу , произведение на может не равнятся произведению на . Пример 1. Пусть = = , тогда = = = = = Очевидно. что . Операция умножение матриц обладает следующими свойствами, вытекающими из определений операций с матрицами: 1) (ассоциативность), 2) , (дистрибутивность), 3) (ассоциативность относительно числового множителя), 4) , где единичная матрица, того же порядка что и квадратная матрица , 5) , где нулевая матрица, того же порядка что и квадратная матрица . 2. Теория определителей (детерминантов), матриц и систем линейных алгебраических уравнений является составной частью линейной алгебры – математической дисциплины, имеющей широкое применение в решении и исследовании многих теоретических и практических вопросов Определение. Назовём прямоугольную таблицу чисел, состоящую из строк и столбцов, матрицей размерности , которая обозначается: А = (1.1) жүктеу/скачать 215,78 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|