Лекции по математическому анализу Часть I москва 2012 б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I

8. Производные высших порядков
71
џ 8. Производные высших порядков
Пусть функция
y
=
f
(
x
)
дифференцируема в каждой точке
интервала
(
a
,
b
)
. Тогда производная
f
0
(
x
)
является функцией,
определенной на интервале
(
a
,
b
)
. Если
f
0
(
x
)
дифференцируема в
некоторой точке
x
из
(
a
,
b
)
, то производная от
f
0
(
x
)
в точке
x
называется второй производной функции
f
(
x
)
в точке
x
(или
производной второго порядка) и обозначается
f
00
(
x
)
(другие
обозначения:
f
(
2
)
(
x
)
,
y
00
(
x
)
,
y
(
2
)
(
x
)
).
Производная
n
-ого порядка (или
n
-я производная) функции
y
=
f
(
x
)
определяется как производная от производной
(
n
?
1
)
-
ого порядка:
f
(
n
)
(
x
) =
f
(
n
?
1
)
(
x
)
0
.
Физический смысл второй производной
Если
x
время, а
y
=
f
(
x
)
координата точки на оси
Oy
в
момент времени
x
, то
f
0
(
x
) =
v
(
x
)
мгновенная скорость точки
в момент
x
, а
f
00
(
x
) = [
f
0
(
x
)]
0
=
v
0
(
x
) =
a
(
x
)
ускорение точки
в момент
x
.
Геометрический смысл второй производной
Позже будет установлено, что знак
f
00
(
x
)
определяет направ-
ление выпуклости графика функции
y
=
f
(
x
)
(рис.
4.7
).
x
O
( ) 0
f x
ўў
>
y
( )
y
f x
=
( )
y
g x
=
( ) 0
g x
ўў
<
Рис. 4.7.
Примеры.
1)
y
=
x
?
.
y
0
=
?x
?
?
1
,
y
00
=
?
(
?
?
1
)
x
?
?
2
,
y
000
=
?
(
?
?
1
)(
?
?
2
)
x
?
?
3

72
Гл. 4. Производные и дифференциалы.
и т.д. Для производной
n
-ого порядка получается выражение
y
(
n
)
=
?
(
?
?
1
)
...
(
?
?
n
+
1
)
x
?
?
n
(строгое доказательство проведите самостоятельно по индук-
ции). В частности, если
?
=
m
?
N
, то
(
x
m
)
(
m
)
=
m
(
m
?
1
)
Ч
...
Ч
1
·
x
0
=
m
!
,
(
x
m
)
(
n
)
=
0
?
n > m.
2)
y
=
a
x
.
y
0
=
a
x
ln
a
,
y
00
=
a
x
(ln
a
)
2
,
и т.д. Производная
n
-ого порядка выражается формулой
y
(
n
)
=
a
x
(ln
a
)
n
(строгое доказательство проведите самостоятельно по индук-
ции). В частности,
(
e
x
)
(
n
)
=
e
x
.
3)
y
= sin
x
.
y
0
= cos
x
= sin(
x
+
?/
2
)
,
y
00
= sin(
x
+
2
?/
2
)
,
и т.д. Производная
n
-ого порядка выражается формулой
y
(
n
)
= sin(
x
+
n?/
2
)
(строгое доказательство проведите самостоятельно по индук-
ции).
4) Докажите самостоятельно, что
(cos
x
)
(
n
)
= cos(
x
+
n?/
2
)
.
Две формулы для производных
n
-ого порядка
Если функции
u
(
x
)
и
v
(
x
)
имеют производные
n
-ого порядка,
то функции
u
(
x
)
±
v
(
x
)
,
u
(
x
)
v
(
x
)
также имеют производные
n
-
ого порядка, причем:
(
u
(
x
)
±
v
(
x
))
(
n
)
=
u
(
n
)
(
x
)
±
v
(
n
)
(
x
)
.
(4.13)
(
uv
)
(
n
)
=
u
(
n
)
·
v
+
C
1
n
·
u
(
n
?
1
)
v
0
+
C
2
n
·
u
(
n
?
2
)
v
(
2
)
+
...
+
+
C
k
n
·
u
(
n
?
k
)
v
(
k
)
+
...
+
u
·
v
(
n
)
=
n
X
k
=
0
C
k
n
·
u
(
n
?
k
)
v
(
k
)
,
(4.14)
где
u
(
0
)
:=
u
,
C
k
n
=
n
!
/
[
k
!(
n
?
k
)!]
,
n
! =
1
·
2
·
...
n
, 0
! =
1. Эта
формула называется формулой Лейбница.

9. Дифференциалы высших порядков
73
Для
n
=
2 получаем:
(
u
(
x
)
±
v
(
x
))
(
2
)
=
(
u
(
x
)
±
v
(
x
))
0
0
=
u
0
(
x
)
±
v
0
(
x
)
0
=
=
u
(
2
)
(
x
)
±
v
(
2
)
(
x
)
,
то есть для
n
=
2 формула (
4.13
) верна.
Справедливость этой формулы для любого
n
?
N
докажите са-
мостоятельно методом математической индукции.
Заметим, что равенство (
4.14
) по форме похоже на формулу
бинома Ньютона:
(
u
+
v
)
n
=
n
X
k
=
0
C
k
n
·
u
n
?
k
v
k
.
Справедливость формулы Лейбница также докажите самостоя-
тельно по индукции. Предварительно нужно доказать формулу:
C
k
n
+
C
k
?
1
n
=
C
k
n
+
1
.
Пример. Рассмотрим функцию
y
=
x
2
·
e
3
x
. Используя фор-
мулу (
4.14
), найдем
y
(
10
)
:
y
(
10
)
= (
e
3
x
)
(
10
)
·
x
2
+
C
1
10
·
(
e
3
x
)
(
9
)
·
(
x
2
)
0
+
+
C
2
10
·
(
e
3
x
)
(
8
)
·
(
x
2
)
00
+
...
=
3
10
·
e
3
x
·
x
2
+
10
·
3
9
·
e
3
x
·
2
x
+
+
10
·
9
2
e
3
x
·
3
8
·
2
=
3
9
·
e
3
x
(
3
x
2
+
20
x
+
30
)
.
џ 9. Дифференциалы высших порядков
Пусть функция
y
=
f
(
x
)
дифференцируема на интервале
(
a
,
b
)
, т.е. дифференцируема в каждой точке этого интервала.
Если
x
независимая переменная, то первый дифференциал
функции выражается формулой
dy
=
f
0
(
x
)
dx.
Если
x
=
?
(
t
)
дифференцируемая функция независимой
переменной
t
, то
dy
=
f
0
(
x
)
dx
=
f
0
(
?
(
t
))
·
?
0
(
t
)
dt.

74
Гл. 4. Производные и дифференциалы.
В каждом из двух случаев
dy
является функцией двух перемен-
ных независимой переменной (
x
или
t
) и ее дифференциала
(
dx
или
dt
), который входит в виде сомножителя. При введе-
нии дифференциала второго порядка мы будем рассматривать
dy
как функцию только независимой переменной (
x
или
t
), то
есть дифференциал независимой переменной (
dx
или
dt
) будем
рассматривать как постоянный множитель в выражении для
dy
.
Такую же договоренность примем при определении дифференци-
алов более высокого порядка.
При этом условии определим дифференциал второго по-
рядка (или второй дифференциал)
d
2
y
функции
y
=
f
(
x
)
как
дифференциал от первого дифференциала, т.е.
d
2
y
=
d
(
dy
)
,
и, кроме того, при вычислении дифференциала от
dy
приращение
дифференциала независимой переменной (
x
или
t
) будем снова
брать равным
dx
или
dt
.
Дифференциал
n
-ого порядка
d
n
y
(
n
>
2) определим форму-
лой
d
n
y
=
d
(
d
n
?
1
y
)
,
сохранив договоренность в отношении дифференциала независи-
мой переменной.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть
x
является независимой переменной, тогда
dy
=
f
0
(
x
)
dx
,
где
dx
= ?
x
приращение независимой переменной. Далее,
согласно определению,
d
2
y
=
d
(
dy
) =
d
(
f
0
(
x
)
dx
) =
dx
·
d
(
f
0
(
x
))
=
dx
·
(
f
0
(
x
))
0
dx
=
=
f
(
2
)
(
x
)(
dx
)
2
,
d
3
y
=
d
(
d
2
y
) = (
dx
)
2
d
f
(
2
)
(
x
)
= (
dx
)
2
·
f
(
3
)
(
x
)
dx
=
f
(
3
)
(
x
)(
dx
)
3
,
и т.д. По индукции несложно доказать общую формулу для
любого
n
:
d
n
y
=
f
(
n
)
(
x
)(
dx
)
n
.
Из этой формулы вытекает, что
f
(
n
)
(
x
) =
d
n
y
dx
n
,

10. Производные вектор-функции
75
т.е. производная
n
-го порядка функции
y
=
f
(
x
)
равна отно-
шению дифференциала
n
-го порядка функции к
n
-й степени
дифференциала независимой переменной.
Пример.
y
= sin
x
. Найдем
d
20
y
:
d
20
(sin
x
) = (sin
x
)
(
20
)
·
(
dx
)
(
20
)
= sin(
x
+
20
·
?/
2
)(
dx
)
20
=
= sin
x
·
(
dx
)
20
.
2. Пусть теперь
x
функция некоторой независимой пере-
менной
t
:
x
=
?
(
t
)
. В этом случае
dx
=
?
0
(
t
)
dt
,
dy
=
f
0
(
?
(
t
))
·
?
0
(
t
)
dt
,
и далее получаем:
d
2
y
=
d
(
dy
) =
dt
·
d
f
0
(
?
(
t
))
·
?
0
(
t
)
=
dt
·
f
0
(
?
(
t
))
·
?
0
(
t
)
0
dt
=
=
f
00
(
?
(
t
))
·
(
?
0
(
t
))
2
+
f
0
(
?
(
t
))
·
?
00
(
t
)
dt
2
=
=
f
00
(
?
(
t
))
·
(
?
0
(
t
)
dt
)
2
+
f
0
(
?
(
t
))
·
?
00
(
t
)
dt
2
=
f
00
(
x
)(
dx
)
2
+
f
0
(
x
)
d
2
x.
Итак,
d
2
y
=
f
00
(
x
)(
dx
)
2
+
f
0
(
x
)
d
2
x.
Таким образом, форма второго дифференциала не инвариант-
на. Это же относится к дифференциалам более высокого поряд-
ка.
џ 10. Производные вектор-функции
Если каждому числу
t
из множества
T
поставлен в соответ-
ствие некоторый вектор
~
r
, то говорят, что на множестве
T
задана
векторная функция (или вектор-функция)
~
r
=
~
r
(
t
)
.
Модуль вектора
~
r
(
t
)
будем обозначать, как обычно,
|
~
r
(
t
)
|
.
Отметим, что
|
~
r
(
t
)
|
скалярная функция аргумента
t
.
Определение. Вектор
~a
называется пределом вектор-
функции
~
r
(
t
)
при
t
?
t
0
, если
lim
t
?
t
0
|
~
r
(
t
)
?
~a
|
=
0
.

76
Гл. 4. Производные и дифференциалы.
Обозначение:
lim
t
?
t
0
~
r
(
t
) =
~a
или
~
r
(
t
)
?
~a
при
t
?
t
0
.
Зафиксируем значение аргумента
t
и дадим ему приращение
?
t
6
=
0. Вектор-функция получит приращение
?
~
r
=
~
r
(
t
+ ?
t
)
?
~
r
(
t
)
.
Определение. Если существует
lim
?
t
?
0
?
~
r
?
t
,
то он называется производной вектор-функции
~
r
(
t
)
в точке
t
.
Обозначение:
~
r
0
(
t
)
или
d~
r/dt
.
Зададим прямоугольную систему координат
Oxyz
и введем
базис
{
~i
,
~j
,
~
k
}
. Разложим вектор
~
r
(
t
)
по этому базису:
~
r
(
t
) =
x
(
t
)
~i
+
y
(
t
)
~j
+
z
(
t
)
~
k
=
{
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
}
;
|
~
r
(
t
)
|
=
q
x
2
(
t
) +
y
2
(
t
) +
z
2
(
t
)
.
Утверждение. Для того, чтобы
~
r
(
t
)
?
~a
=
{
a
1
,
a
2
,
a
3
}
при
t
?
t
0
,
необходимо и достаточно, чтобы
x
(
t
)
?
a
1
,
y
(
t
)
?
a
2
,
z
(
t
)
?
a
3
при
t
?
t
0
.
Доказательство несложно провести, используя равенство
|
~
r
(
t
)
?
~a
|
=
q
(
x
(
t
)
?
a
1
)
2
+ (
y
(
t
)
?
a
2
)
2
+ (
z
(
t
)
?
a
3
)
2
.
Из этого утверждения, в частности, следует, что
d~
r
dt
=
x
0
(
t
)
~i
+
y
0
(
t
)
~j
+
z
0
(
t
)
~
k
=
{
x
0
(
t
)
,
y
0
(
t
)
,
z
0
(
t
)
}
,
т.е. вычисление производной вектор-функции сводится к вычис-
лению производных ее координат.
Определение. Множество концов всех векторов
~
r
(
t
)
(
t
?
T
),
отложенных от начала координат (точки О), называется годогра-
фом вектор-функции
~
r
=
~
r
(
t
)
(рис.
4.8
).
Физический смысл годографа это траектория точки, дви-
жение которой в пространстве задано уравнением
~
r
=
???
OM
=
~
r
(
t
)
.
Физический смысл производной
d~
r/dt
это скорость точ-
ки. Можно доказать, что вектор
d~
r/dt
является касательным к
годографу.

10. Производные вектор-функции
77

жүктеу/скачать 1,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: