Частотный критерий устойчивости

88 
1
0
1
1
0
1
1
( )
...
(
)
n
n
n
n
n
i
D z
a z
a z
a
z
a
a
z
z





 




, 
(11.10) 
где 
,
i
z
1,
i
n

– корни характеристического уравнения 
( )
0
D z

.
Если произвести замену
,
q
j
z
e
e

  


  
, 
(11.11) 
внутренность круга единичного радиуса отображается в полосу 
Im
q


 

на комплексной плоскости аргумента 
q
. Нахождение корней 
многочлена 
( )
D q
левее мнимой оси основной полосы соответствует нахож-
дению корней многочлена 
( )
D z
внутри окружности единичного радиуса 
круга, т.к. граница области устойчивости в этой основной полосе соответ-
ствует границе 
1
z

. Следовательно, однократному обходу единичной 
окружности соответствует изменение частоты 
  
  
. При этом вектор, 
соответствующий одному сомножителю в (1.10) совершит один полный 
оборот, т.е. 


arg
2
ш
D z
z




. Если же все корни внутри круга единич-
ного радиуса – 
 
arg
2
D z
n



.
Таким образом, для соответствующего полиному (11.10) годографа 
Михайлова: 


1
0
1
1
(
)
...
( )
( )
n
j n
j
j
n
n
D j
a e
a e
a
e
a
U
jV










 



(11.12) 
частотный критерий устойчивости формулируется следующим образом: 
Замкнутая система устойчива тогда и только тогда, когда при измене-
нии 

в интервале 
  
  
(
0
 
 
) число полных оборотов вектора 
Михайлова на плоскости 
( ),
( )
U
jV


в положительном направлении равно 
n
(
/ 2
n
), где 
n
– степень многочлена 
( )
D z
.
11.4. Аналог критерия Найквиста 
Рассмотрим замкнутую им-
пульсную систему с единичной об-
ратной связью, показанную на рис. 
11.1. Здесь 
W
(
s
) – передаточная 
функция приведенной непрерыв-
ной части системы, включающая 
Рис. 11.1. Замкнутая импульсная
система с единичной обратной связью

89

объект, исполнительные и управляющие устройства и фиксатор нулевого 
порядка. 
Поскольку, поступающий на вход приведенной непрерывной части 
сигнал ошибки является решетчатой функцией, передаточной функции 
W
(
s
) 
будет соответствовать некоторая 
Z
-передаточная функция 
( )
W z
. Пусть 
( )
( )
( )
P z
W z
Q z

. 
(11.13) 
Тогда передаточная функция замкнутой системы 
( )
( )
( )
( )
1
( )
( )
( )
( )
W z
P z
P z
Ф z
W z
Q z
P z
D z





, 
(11.14) 
где 
1
0
1
1
( )
( )
( )
...
n
n
n
n
D z
Q z
P z
a z
a z
a
z
a






 

. 
С другой стороны 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
( )
( )
( )
( )
P z
P z
Q z
Q z
D z
Q z
D z
W z
Q z
Q z
Q z
Q z








(11.15) 
или 
( )
( ) 1
( )
D z
W z
Q z
 
. 
(11.16) 
Далее воспользуемся принципом аргумента, который мы проиллюстри-
ровали в предыдущем разделе. В соответствии с этим принципом, если 
z
совершает однократный обход единичной окружности 
1
z

, 


 
 
arg 1
( )
arg
arg
W z
D z
Q z


 
 
. 
(11.17) 
Для устойчивости замкнутой системы все корни многочлена 
( )
D z
должны быть внутри круга единичного радиуса, т.е. должно выполняться 
 
arg
2
D z
n



. 
(11.18) 
Если полином 
( )
Q z
имеет 
m
корней (т.е. 
( )
( ) /
( )
W z
P z
Q z

имеет 
m
по-
люсов) вне круга единичного радиуса, то
 
arg
2
2
Q z
n
m





. 
(11.19) 
Из (11.18), (11.19) следует, что для устойчивости замкнутой системы, 
имеющей в разомкнутом состоянии 
m
полюсов вне круга единичного ради-
уса должно выполняться 

90 


arg 1
( )
2
(2
2
)
2
W z
n
n
m
m










. 
(11.20) 
Рассмотрим теперь годограф частотной характеристики 
(
)
W j

разо-
мкнутой системы. Эта кривая, в соответствии с (11.16) образуется из кривой 


(
) 1
(
)
(
) /
(
)
W j
Q j
P j
Q j




 

простым переносом последней влево на 
единицу. Начало вектора теперь находится в точке 
( 1, 0)
j

, а его конец при 
изменении 

скользит по годографу частотной характеристики 
(
)
W j

. От-
сюда с учетом (11.18), (11.20) приходим к следующей формулировке крите-
рия устойчивости Найквиста для линейных моделей импульсных систем. 
Для того, чтобы замкнутая импульсная система, неустойчивая в разо-
мкнутом состоянии и содержащая 
m
полюсов вне круга единичного радиуса, 
была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы годограф частотной ха-
рактеристики 
(
)
W j

разомкнутой системы охватывал в положительном 
направлении точку 
( 1, 0)
j

m
раз при изменении 

от 


до

или 
/ 2
m
раз при изменении 

от 
0 до

. 
1
1.5. Расчет переходных процессов
в импульсных системах
 
После установления факта устойчивости системы необходимо убе-
диться в том, что качество переходного процесса удовлетворяет заданным 
требованиям. Мы рассмотри два наиболее простых и эффективных метода 
расчета переходных процессов. 
Метод степенных рядов.
Если известно Z-преобразование решетча-
той функции выходного сигнала 
 
y n
вида (10.17): 
 


 
0
0
0
( )
n
n
Y z
Z y nT
y nT z






, 
(11.21) 
переходный процесс легко выписывается в виде коэффициентов при 
n
z

разложения в степенной ряд функции 
( )
Y z
: 
0
0
0
0
( )
[0] ( )
[
] (
)
...
[
] (
)
...
y t
y
t
y T
t
T
y kT
t
kT






 


. 
(11.22) 
Если 
( )
Y z
представлено в виде отношения двух полиномов по отрица-
тельным степеням 
z
, то коэффициенты 
0
[
]
y kT
могут быть получены путем 
простого деления числителя 
( )
Y z
на его знаменатель: 

91

1
0
0
0
0
( )
[0]
[ ]
... [
]
...
m
i
i
k
n
n
j
j
j
p z
Y z
y
y T z
y kT z
g z













. 
(11.23) 
Если нули полиномов числителя и знаменателя близки при достаточно 
большом 
k
могут накапливаться большие ошибки округления. Поэтому 
этим методом следует пользоваться с осторожностью. 
Метод разностных уравнений.
Наиболее простым и естественным 
способом расчета процессов на выходе ЦАС является метод конечно-раз-
ностных уравнений. Пусть передаточная функция цифровой системы с од-
ним входом и одним выходом задана в виде 
0
0
( )
( )
( )
m
i
i
n
n
j
j
j
p z
Y z
W z
U z
g z








. 
(11.24) 
Тогда можно записать следующее соотношение 
0
0
( )
( )
n
m
j
i
j
i
j
n
g z
Y z
p z
U z



















. 
(11.25) 
С использованием теоремы сдвига 
Z
-преобразованию (11.25) может 
быть поставлено в соответствие следующее конечно-разностное уравнение: 




0
0
0
0
(
)
(
)
n
m
j
i
j
i
q y k
j T
p u k
i T







, 
(11.26) 
которое по существу является рекуррентной формулой записи решения. Вы-
полнив нормировку в (11.26) так, что 
0
1
q

, представим соотношение 
(11.26) в виде
 




0
0
0
1
0
(
)
(
)
n
m
j
i
j
i
y kT
q y k
j T
p u k
i T


 





, 
(11.27) 
где 
0
0
/
,
1,
/
,
0,
j
j
i
i
q
q
q
j
n
p
p q i
m




. Из (11.27) нетрудно заметить, что 
если 
заданы 
начальные 
значения 
по 
выходной 
координате: 




0
1
0
(
1)
,...,
(
)
k
k n
y k
T
y
y k
n T
y






и значения входного сигнала 

92 
 




0
0
0
,
1
,...,
u kT
u
k
T
u
k
m T










в соответствии с (11.27), можно рассчи-
тать значения выходного сигнала 
0
[
]
y kT
для произвольных моментов вре-
мени 
0
kT
. 
Для устойчивых ЦАС алгоритмы расчета процессов на основе конечно-
разностных уравнений являются устойчивыми к возмущениям и широко 
применяются на практике. 

93


жүктеу/скачать 3,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: