3-теорема. (5) біртекті сызықты теңдеулер жүйесінің нөлден өзге шешімдері бар болуы үшін теңсіздігінің орындалуы қажетті әрі жеткілікті.
4-теорема. белгісізі бар (5) біртекті сызықты теңдеулер жүйесінің нөлден өзге шешімдері бар болуы үшін жүйенің анықтауышы нөлге тең болуы () қажетті әрі жеткілікті.
(5) жүйенің шексіз көп шешімдері болады, мұндағы - кез келген сандар.
8-анықтама. Біртекті сызықты (5) теңдеулер жүйесінің кез келген сызықты тәуелсіз шешімі осы жүйенің іргелі шешімі деп аталады, мұндағы - жүйенің белгісіздер саны, - матрицасының рангісі .
9-анықтама. Егер (5) жүйенің кез келген шешімінде тұрақты сан болса, онда ол шешім осы жүйенің жалпы шешімі деп аталады.
1-мысал. Біртекті теңдеулер жүйесін шешу керек.
Шешуі: матрицасының жол элементтерін түрлендіреміз:
саны белгісіздер санына тең болғандықтан жүйенің жалғыз шешімі бар, ол әрине мардымсыз шешім:
2-мысал. Біртекті теңдеулер жүйесін шешу керек.
Шешуі: матрицасының жол элементтерін түрлендіреміз:
саны белгісіздер санынан кіші болғандықтан жүйенің бір параметрге тәуелді шексіз көп шешімі бар. Мұнда, мысалы, пен базистік айнымалы бола алады.
Теңдеулер жүйесін құрып, оны шешеміз:
с – кез келген сан.
1.3.3 Біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шешу
Біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесі үйлесімді болған жағдайда оның шешімін Крамер әдісімен табуға болады. Бізге белгісізі бар біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесі берілсін:
(6)
Берілген жүйенің белгісіздер саны теңдеулер санына тең, жүйенің негізгі матрицасы жатық, тік жолдардан тұрады.
(7)
А матрицасының анықтауышы берілген сызықты теңдеулер жүйесінің анықтауышы деп аталады. (6) жүйенің анықтауышы нөлге тең болмасын, яғни . Оның бірінші тік жолының элементтері белгісіздің коэффициенттері, ал екінші тік жолының элеметтері белгісіздің коэффициенттері, т.с.с. Сонда:
(8)
Осы анықтауыштың кез келген тік жолының (мысалы, -ші тік жолының - белгісізінің коэффициенттерін) элементтерін (6) жүйенің сәйкес бос мүшелерімен орын алмастырғанда алынған анықтауышты таңбасымен белгілейік:
(9)
5-теорема (Крамер теоремасы). Егер (6) біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасының анықтауышы нөлге тең болмаса, онда ол анықталған жүйе (үйлесімді жүйе). Бұл жүйенің шешімі Крамер формуласымен анықталады:
(10)
(11)
Достарыңызбен бөлісу: |
