Лекция 1 Матрицалар және анықтауыштар

Классикалық алгебралардың түрлері - группа, сақина, өріс аксиоматикалық түрде беріледі, яғни олар түрлі аксиомалар жүйесі арқылы анықталады.

; *, ′,e > алгебрасын айтады:
1) a,b,cG - элементтері үшін a * (b * c) = (a *b)* c (ассоциативті шарт)
2) қандай да бір eG элементі табылып, xG элементі үшін
x * e = e * x = x,
3) xG элементі үшін қандай да бір x′G элементі табылып,
x * x′ = x′ * x = e.
Әдетте, группа ; *, ′,e > не < G;* > не қысқаша G түрінде белгіленеді.
Егер < G,* > группасы үшін қосымша
4) x, y G үшін x * y = y * x шарты (коммуттативті шарт) орындалса группа - коммутативті немесе абельдік группа деп аталады.
G тобының 2) шартты орындайтын e -элементі - оның (*) амалы бойынша бірлік элементі, ал x′ элементі (3-ші шарт) x -тің (*) амалы бойынша кері элементі делінеді.
Ескерту: Егер группа «қосу»- (+) («көбейту»- ()) амалы бойынша анықталса
1) e -элементі «1» («0»),
2) x′ -элементі « x^-1» (- x) түрінде белгіленеді.
«1» - бірлік элемент, «0» - нөлдік элемент, x^-1 - кері элемент, (- x) - қарама-қарсы элемент.
1-мысал. A = Z = {0,±1,±2,±3,....}- бүтін сандар жиынында екі амал қарастырайық:
а) «+» - сандарды қосу амалы.
б) « / » - сандарды бөлу амалы:
Онда < Z,+ > группа түзеді, тіптен ол абельдік группа болады. Ал Z жиыны бөлу «/» амалы бойынша группа түзбейді. Себебі, бұл амал Z жиыны үшін алгебралық амал болмайды.
2-мысал. Екі саннан тұратын {+1, -1} жиыны көбейтуге қарағанда коммутативті группа құратынын дәлелдеу.
Шешімі: Шындығында, берілген жиында көбейту амалы анықталған, өйткені:
(+1)  (+1)=+1, (+1)  (-1)= (-1)  (+1)=-1, (-1)  (-1)=+1.
Олай болса, элементтердің көбейтіндісі сол жиынның элементтері. Көбейтудің ассоциативтілігі айқын. Жоғарыдағы теңдіктерден e =+1 бірлік элементі бар екені шығады, сонымен қатар әр элементтің кері элементі бар. (+1)^-1=+1, (-1)^-1=-1. Демек, группаның анықтамасындағы барлық 3 шарт орындалады және де
(+1)(-1)= (-1)  (+1). Олай болса, берілген группа коммутативті.
Мультипликативтік группаның қарапайым қасиеттері.

1. 
   Группаның элементіне оң жақ кері элемент, элементіне сол жақ кері элемент те болады.
   
2. 
   Группаның кез келген элементі үшін элементі бір ғана кері элемент болады.
   
3. 
   Группаның оң жақ бірлік элементі сол жақ бірлік элемент болады.
   
4. 
   Группаның элементі группаның бірлік элменті және ол біреу ғана болады.
   
5. 
   Группаның элементі элементіне кері элемент болады.
   
6. 
   Группаның кез келген элементтері үшін теңдігінен және екендігі шығады.
   

жүктеу/скачать 1,93 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: