Лекция 11 Планиметрияның негізгі ұғымдары мен аксиомалары. Үшбұрыш және оның теңдік
жүктеу/скачать 0,92 Mb. Pdf көрінісі
|
| Анықтама. Үшбұрыштың
берілген төбесінен жүргізілген биссектрисасы деп үшбұрыштың бұрышы биссектрисасының осы төбені қарсы жатқан қабырғадағы нүктемен қосатын кесіндісін атайды. (11-сурет) Үшбұрыш биссектрисасының негізгі қасиеттері: 1. Үшбұрыштың үш биссектрисасы оның ішінде жататын және оған іштей сызылған шеңбердің центрі болатын бір нүктеде қиылысады. 2. Үшбұрыштың биссектрисасы оның қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық орны. 3. Үшбұрыштың биссектрисасы оның қабырғасын іргелес жатқан қабырғаларға пропорционал бөліктерге бөледі. Мысалы, ВЕ - АВС бұрышының биссектрисасы болса, онда АE : EC = AB : ВС болады (11-сурет). Үшбұрыштың А бұрышының биссектрисасын 𝛽 𝑎 десек, ол үшбұрыштың үш қабырғасы арқылы мынадай формуламен есептеледі: 𝛽 𝑎 = 2 𝑏+𝑐 √𝑏𝑐𝑝(𝑝 − 𝑎); p – жарты периметр. Үшбұрыштың қабырғаларының ортасы арқылы жүргізілген перпендикулярлар бір нүктеде қиылысады, ол нүкте үшбұрышты сырттай сызған шеңбердің центрі болады. Доғал бұрышты үшбұрышта бұл нүкте үшбұрыштың сыртында, сүйір бұрышты үшбұрышта – ішінде, ал тік бұрышты үшбұрышта – гипатенузаның ортасында болады. Тең бүйірлі үшбұрышта биіктік, медиана және табанына (тең емес қабырғасына) жүргізілген биссектриса, сол сияқты табанының ортасы арқылы жүргізілген перпендикуляр бәрі біреу болады; тең қабырғалы үшбұрышта бұл барлық үшбұрыш қабырғасы үшін де орындалады. Басқа жағдайлардың ешқайсысында бұлай болмайды. Ортцентр, ауырлық центрі және сырттай сызылған шеңбердің центрінің бірлігі тек тең қабырғалы үшбұрышта ғана болады. Үшбұрыштардың дербес түрлерінің медианаларының, биссектрисаларының және биіктіктерінің кейбір қасиеттері: 1. Тең бүйірлі үшбұрыштың төбесінен жүргізілген биіктік биссектриса да, медиана да болады. 2. Тең қабырғалы үшбұрышта биіктік, медиана және биссектриса бәрі біреу ғана болады; тең қабырғалы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі оны сырттай сызылған шеңбердің центрі болады және бұл нүкте үшбұрыштың да центрі деп аталады. 3. Тік бұрышты үшбұрышта а, в катеттері мен с гипатенузасы мынадай байланыста болады: 𝑎 2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 (Пифагор теоремасы). 4. Тік бұрышты үшбұрыштың катеті гипатенуза мен сол катеттің гипатенузаға проекциясының арасындағы орта пропорционал болады. 𝑏 𝑐 ∶ 𝑏 = 𝑏 ∶ 𝑐 𝑎 𝑐 ∶ 𝑎 = 𝑎 ∶ 𝑐 12-сурет 5. Тік бұрышты үшбұрыштың тік бұрышының төбесінен жүргізілген биіктігі оның катеттерінің гипатенузаға проекцияларының арасындағы орта пропорционал болады: 𝑏 𝑐 ∶ ℎ = ℎ ∶ 𝑎 𝑐 . 6. Тік бұрышты үшбұрышты сырттай сызылған шеңбердің центрі гипатенузаның ортасында жатады, ол шеңбердің радиусы гипатенузаның жартысына тең болады (сол сияқты тік бұрыштың төбесінен жүргізілген медианаға тең болады). Үшбұрыштың үш биіктігі бар.Үш биіктік бір нүктеде қиылысады.Үшбұрыштың үш биссектрисасы бар. Үш биссектриса бір нүктеде қиылысады. Үшбұрыштың үш медианасы бар. Үш медиана бір нүктеде қиылысады. Үшбұрыштың қабырғаларының орталары арқылы жүргізілген үш перпендикуляр бір нүктеде қилысады. Осы аталған қиылысу нүктелерін жүктеу/скачать 0,92 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|