Лекция-13. Стереометрияның негізгі ұғымдары мен аксиомалары. Кеңістіктегі екі түзудің өзара

Теорема.
Егер екі түзу үшінші бір түзуге параллель болса, онда олар өзара параллель 
болады. 
Берілгені:
а || с; b || с
(8-сурет). 
Дәлелдеу керегі:
a || b
екенін, яғни 1) бір жазықтықта жататынын; 2) қиылыспайтынын. 
Дәлелдеу:
1) b түзуінің бойынан М нүктесін алып, а түзуі мен М нүктесі арқылы α 
жазықтығын жүргіземіз.
𝑏 ⊂ 𝛼
екенін дәлелдейік. 
𝑏 ∩ 𝛼
делік, онда жазықтықтың параллель 
түзулермен қиылуы туралы лемма бойынша
с ∩ 𝛼
,
бірақ,
а || с
, демек,
а || α
, бұл мүмкін емес, өйткені 
а ⊂ 𝛼
. 
2) a және b түзулері қиылыспайды, себебі керісінше 
болған жағдайда олардың қиылысу нүктесінен
с түзуіне параллель екі түзу (а және b түзулері) өту 
керек еді, ал бұл мүмкін емес. Демек,
a || b
және 
теорема дәлелденді. 
8-сурет 
 
Мысал-1.
9-суретте М, N, Q және Р нүктелері - DB, DC, AC және AB кесінділерінің 
орталары. MNQP төртбұрышының периметрін табыңдар, мұндағы AD = 12 см, BC = 14 см. 
Берілгені: М - BD кесіндісінің ортасы;
N - CD кесіндісінің ортасы; 
Q - АС кесіндісінің ортасы;
Р – АВ кесіндісінің ортасы; AD=12 см, ВС=14 см. 
Табу керек: P
MNQP
– ? 
Шешуі: 
1.
Үшбұрыштың орта сызығының қасиеті бойын-
ша MN || BC, PQ || BC => MN || PQ (Екі түзу бір түзуге 
параллель болса, онда ол екі түзу өзара параллель). 
2.
𝑃𝑀 ∥ 𝐴𝐷,
𝑁𝑄 ∥ 𝐴𝐷
} => 𝑃𝑀 ∥ 𝑄𝑁;
9-сурет
3. MNQP – параллелограмм. 
4. PQ = 7 см, PM = 6 см, => P
MNQP
= 2 • (7 + 6) = 26 
Жауабы:
26 см. 
Мысал-2
. C нүктесі AB кесіндісінде жатыр. А нүктесі арқылы жазықтық, ал В және С 
нүктелері арқылы осы жазықтықты сәйкес B
1
және C
1
нүктелерінде қиятын параллель 
түзулер жүргізілген.
1) А, В
1
және С
1
нүктелері бір түзудің бойында жататындығын дәлелде. 
2) Егер
AC : BC = 3 : 2
және ВB
1
= 20 см болса, СС
1
кесіндісінің ұзындығын табыңдар. 
Берілгені: 
AB
кесіндісі,
𝐶 ∈ 𝐴𝐵; 𝐴 ∈ 𝛼; 𝐵
1
, 𝐶
1
∈ 𝛼; 
𝐵𝐵
1
∥ 𝐶𝐶
1
; 𝐴𝐶: 𝐶𝐵 = 3: 2; 𝐵𝐵
1
= 20 см.
(10-сурет). 
Табу керек:
СС
1 
– ?
Шешуі: 
1) А, C1, B1 нүктелері бір түзудің 

бойында жататынын дәлелдейік. А нүктесі 
және BB1 кесіндісі β жазықтығын 
анықтайды. 
𝛽 ∩ 𝛼 = 𝐴𝐵
1
. 𝐶
1
∈ 𝐴𝐵
1
екенін дәлелдейік.
𝐶
1
∉ 𝛽
болсын, сонда
𝐶𝐶
1
∩ 𝛽 = 𝐶
1
.
𝐶𝐶
1
∥ 𝐵𝐵
1
𝐶𝐶
1
∩ 𝛽
| => 𝐵𝐵
1
∩ 𝛽, 
ал бұл
𝐵𝐵
1
⊂ 𝛽
шартына қайшы келеді.
𝐶𝐶
1
∩ 𝛽,
бұдан,
𝐶
1
∈ 𝐴𝐵
1
.
10-сурет 
2)
BB
1
 || CC
1
болғандықтан,
∆ACC
1
 ≈ ∆ABB
1
, сонда
AC : AB = CC
1 
: BB
1
;
3: 5 = 𝐶𝐶
1
: 20; 𝐶𝐶
1
=
3∙20
5
= 12.
Жауабы:
12 см.