Лекция №15. Бірінші ретті сызықтық дербес туындылы теңдеулер. Сипаттауыштар. Коши есебі
жүктеу/скачать 115,61 Kb.
|
1 2
- Бұл бет үшін навигация:
- Мысал -1.
- Ұсынылатын әдебиеттер
| Д əлелдеуі. 1) қажеттілігі. Айталық, функциясы (2) теңдеудің шешімі болсын:
(4) Бұл функцияның толық дифференциалы былай жазылады: (5) Осындағы əрбір -дің орнына оған пропорционал функциясын қойсақ, төмендегідей қатынас аламыз: (6) Мұндағы, - пропорция коэффициенті. Алдыңғы (4) тепе-теңдікті ескерсек, квадрат жақшаның ішіндегі өрнек нөлге тепе-тең болады, яғни (7) Ал бұл тепе-теңдік функциясының (3) жүйенің интегралы болатынын білдіреді. 2) жеткіліктілігі. Айталық, функциясы (3) жүйенің интегралы болсын: (8) Соңғы тепе-теңдік функциясының (2) теңдеудің шешімі екенін көрсетеді. Теорема дәделденді. Теорема-2. Берілген (2) теңдеудің жалпы шешімі (9) түрінде анықталады. Мұндағы, Φ - кез келген үздіксіз дифференциалданатын функция, ал - (3) жүйенің тəуелсіз интегралдары. Дəлелдеуі. Айталық, кейбір функциясы (2) теңдеудің D облысындағы кез келген шешімі болсын. Бұл шешім функцияларымен қоса (2) теңдеуді тепе- теңдікке айналдырады: (10) Бұл біртекті сызықты жүйенің нөлдік емес шешімі бар. Сондықтан, бұл жүйенің анықтауышы нөлге тең. Ол функцияларының якобианына тең. (11) Соңғы қатынас функцияларының өзара тəуелділігін көрсетеді. Олардың алдыңғы функциялары өзара тəуелсіз функциялар еді. Сондықтан тəуелділікті соңғы функциясы беріп тұр: (12) Мұндағы, - кез келген шешім боғандықтан, (12) қатынас жалпы шешімді береді. 3. Біртексіз сызықты теңдеуді қарастырайық: (13) Мұндағы, - функциялары кейбір облысында үздіксіз дифференциалданатын жəне бəрі бірдей нөлге тең емес деп есептелінеді: теңдеуі үшін Коши есебі былай қойылады: Бұл теңдеуді біртекті сызықты түрге келтіру арқылы интегралдайды. Ол үшін шешімді айқындалмаған функция түрінде іздейді: (14) Мұндағы v - функциясын D облысында үздіксіз дифференциалданатын жəне деп аламыз. Осы қатынасты кез келген бойынша дифференциалдайық: Осыдан (15) (15) өрнекті (13) теңдеуге қойып, оны бөлшегіне көбейтсек, (16) теңдеуін аламыз. Бұл v бойынша біртекті сызықты теңдеу. Сондықтан, алдыңғы пунктте көрсетілген тəсілді қолданамыз. Бұл теңдеудің сəйкес сипаттаушы жүйесі түрінде жазылады. Бұл жүйенің өзара тəуелсіз интегралдары n - ге тең: түрінде жазылады. Шешімді анықталмаған түрде іздеп отырғанымызды ескерсек, Бұл жағдайда (13) теңдеудің жалпы шешімі қатынасын аламыз. Осындағы u -ды арқылы өрнектеуге мүмкін болса, ол функция (13) теңдеудің шешімі болады. Бұл жерде арнайы шешімдер де болуы мүмкін. Ондай шешімдер сол уақытта пайда болады, егер (14) тепе-теңдік тек болғанда ғана орындалса. 4. Біртекті жəне біртексіз сызықты теңдеулер үшін Коши есебі былай қойылады: теңдеудің шешімдерінің ішінен оның бір аргументі тұрақталған жағдайда белгілі бір n −1 - өлшемді бетке айналатын дербес шешімді анықтау керек, яғни шешімінің болғанда белгілі функциясына тең болатын шешімді табу керек. Мұны қысқаша түрінде жазады. Мысал-1. теңдеудің жалпы шешімін табайық. Сəйкес сипаттаушы симметрия жүйесін құрайық: dxx = dyy = dzz. Осыдан, интегралдарын табамыз. Бұл жағдайда жалпы шешім түрінде жазылады. Дифференциалдау арқылы бұл функцияның шешім болатынына көз жеткізу оңай. теңдеуінің жалпы шешімін құрайық. Сəйкес dxx = −dyy = xdu− y жүйесінің екі тəуелсіз интегралдары оңай табылады: Жалпы шешім айқындалмаған түрде жазылады: Φ(xy, x + y −u)= 0 Осы қатынасты екінші аргументі бойынша шешсек, u = x + y − f (xy) түріндегі шешім аламыз. Ұсынылатын әдебиеттер: Шырақбаев, А.Б. Дифференциалдық теңдеулер: Оқу құралы. - Тараз: ТарМПИ, 2018. - 182б. Сүлеймен, Ж. Дифференциалдық теңдеулердің сапалық теориясы [Мәтін] : Оқу құралы / Ж. Сүлеймен. - Алматы : Қазақ университеті, 2013. - 220б. Филиппов,А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: учебник. - М. : Наука, 1992. - 128с. Краснов,М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.Задачи и примеры с подробными решениями: учеб.пособие. - 4.изд.,испр. - М. : УРСС, 2002. - 256с. жүктеу/скачать 115,61 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
1 2