§4. Лейбниц мектебі. Лопитальдың оқулығы

жоғарғы математика негіздерін өз беттерінше, бір-біріне тəуелсіз тапқан тек Ньютон 
біраз  бұрынырақ  ашқан,  ал  Лейбниц  бұрын  жариялап,  аса  қолайлы  символика 
енгізген. 
Алғашқы  кезде  Лейбництің  ізбасарлары  көп  болмаған.  Алайда,  оның  алғашқы 
шəкірттерінің  қатарында  Яков  пен  Иоганн  Бернулли  сияқты  аса  дарынды  ғылым 
қайраткерлерінің  болуы  Лейбництің  ғылыми  мектебінің  өркендеуіне  баға  жетпес 
бастама  жасады.  1687  жылы  сол  кездің  өзінде  профессор  атағы  бар  Бернулли 
Лейбницке  хат  жазып,  шексіз  аздар  анализінен  консультация  беруін  өтінеді,  бірақ 
Лейбниц  сыртта  жүргендіктен  жауап  үш  жылдан  кейін  беріледі.  Бұл  аралықта 
Лейбниц  еңбектерін  мұқият  оқып  дифференциладық  жəне  интегралдық  есептеуді 
терең  түсінп  ғана  қоймай,  інісі  Иоганнды  да  тартады.  Көп  ұзамай  олар  Лейбницке 
үшеуі  триумврат  құрып,  20  жылға  жетпейтін  уақыт  ішінде  жаңа  анализді  байытып 
тастайды.Математикалық  анализді  дамытуда  Бернулли  (1667-1748),  əсіресе  оның 
шəкірттері  –  Лопиталь,  Вариньон,  өзінің  ұлдары:  Николай  мен  Даниил  Бернулли, 
Крамер жəне XVIII ғасырдың аса ұлы математигі Леонард Эйлер аса зор үлес қосты. 
  
Шексіз аздар анализі тарихында француз математигі маркиз Франсуа Антуан де 
Лопитальдың  (1661-1704)  өзіндік  орны  бар  1691  жылы  Францияда  бір  жылдай 
уақытын өткізген Бернулли шексіз аздар анализін кең насихаттап, бұл елде Лейбниц 
мектебінің бір бұтағының пайда болуында шешуші қызмет атқарады. Лопиталь оның 
ең таңдаулы шəкірті болған. Бернулли оның бір өзіне ғана дəріс береді, бұл тарихта 
сирек кездесетін жағдай. Еліне кетерде Бернулли осы дəрістер бойынша жинақталған 
дифференциалдық  жəне  интегралдық  есептеудің  бүтін  курсының  қолжазбасын 
Лопитальға  тастап  кетеді,  олар  мұнан  кейін  де  он  жыл  бойы  хат  алмасып 
тұрған.Лопитальдың  ең  негізгі  жетістігі  1690  жылы  жарық  көрген  математика 
татихында  тұңғыш  рет  дифференциалдық  есептеу  жəне  оның  геометрияға 
қолданылуы туралы «Шексіз аздар анализі» атты оқулығының шығуы болды. 
  
Бұл  оқулық  Бернуллидің  деректерінің  негізінде  жазылған.  Мұнда  баяндалған 
деректердің  барлығы  дерлік  Лейбниц  пен  ағайынды  Бернулли,  əсіресе  И.Бернулли 
еңбектерінен  алынған.  Мұны  Лапитальдың  өзі  кітабында  ашық  айтады.  Алайда, 
тəрпіштеп  талданған  есептердің  көптігі,  сөз  қолданыс  шеберлігі  сияқты  оқулықтың 
дидактикалық 
жетістіктері 
Лопитальдың 
тамаша 
методист 
болғанын 
танытады.Лапитальдың  бұл  еңбегі  француз  тіліндн  төрт  рет  басылған,  ағылшын, 
латын  тілдеріне  аударылған.Мұннан  басқа  оған  бірнеше  түсінктемелер 
жазылған.Оның бірінің авторы Лопитальдың досы Бернуллидің шəкірті механик Пьер 
Вариньон (1654-1722) еді. Лапитальдың «Шексіз аздар анализі» ғылым сүйер көпшілік 
қауым  үшін  ашқан  тұңғыш  шығарма  болды.Ол  1935  жылы  орыс  тіліне  аударылып 
басылды.  
 
§5. XVII ғасырда математиканың басқа тарауларының дамытылуы. Ферма 
проблемалары.Ғасыр қорытындысы 
 
XVII ғасырда математиканың даму жолына шолу жасай отырып біз 30-жылдары 
бой  көрсете  бастаған  революцияның  ғасырдың  аяғына  таман  толық  жеңіске 
жеткенінің  куəсі  боламыз.  Негізгі  зерттеу  объектісі  жаңа  математикалық 
жаратылыстанудың  қажеттігінен  пайда  болған  аналитикалық      өрнектер  түріндегі 

функция ұғымы,ал негізгі зерттеу құралы шексіз аздарды есептеу алгоритмдері болды. 
Математикалық  революцияның  бірінші  кезеңінде  пайда  болған  аналитикалық 
геометрияның  принциптік  мəн-мағынасымен  бағасы  осы  математикалық  анализдің 
қалыптасуына жасаған жағдайы мен ықпалына қарай өлшенеді. 
Осы  тараудың  басында  айтқанымыздай,  математиканың  басқа  салалары  да 
революциялық өзгерістерге ұшырады. 
Алгебра бұл ғасырда геометриялық элементтерден едəуір арылып, онда əріптік 
символикалық  аппарат  орнығады.  Негізгі  ғылыми  проблематиканың  –  теңдеулердің 
жалпы  теориясының  басы  ашылады.  Бұл  салада  қол  жеткен  табыстар  мыналар: 
алгебралық теңдеулердің келтірімдігі проблемасы, яғни бүгін рационал функцияларды 
осы  тектес  екі  немесе  одан  көп  функциялар  көбейтіндісі  түрінде  кескіндеу 
проблемасы  қойылып,  оны  шешуде  біраз  ілгерілеушілік  байқалады.  Ньютон  өзінің 
«Жалпы  арифметикасында  келтірлетін  функциялардың  иррационал  коэффиценттер 
болған жағдайын қарастырады. 
Лейбниц  бүкіл  сызықтық  алгебраға  ашқан  сызықтық  теңдеулер  жүйесі 
анықтаушы  ұғымының  анықтамасын  енгізеді.ол  мұнда  өзінше  қос  индексацияны 
пайдаланады.  Лейбниц    белгісізі  бар  теңдеудің  шешімділігін  (үйлесімділігін) 
қарастырып  қазіргі  Кратер  есімімен  аталып  жүрген  ережені  береді;  «Детерминант» 
термині мен символы кейін енгізілген. 
Алгебраны  дамытуға  осы  қажетті  сандар  ұғымын  кеңейтуін  біршама  аяқтап, 
Ньютон  нақты  сандардың  жалпы  анықтамасын  береді:  «Сан  деп  біз  тек  бірліктер 
жиыны  ғана  емес  кез  келген  шаманың  соған  тектес  бірлік  өлшем  ретінде  алынған 
басқа шамаға дерексіз қатынасын түсінеміз. Сан үш түрлі болады: бүтін, бөлшек жəне 
иррационал.  Бүтін  сан  бірлік  пен  бөлшек  бірлігіне  еселі  үлесімен  өлшенеді; 
иррационал сан бірлікпен өлшенетін болады». 
 
Теріс  жорамал  сандар  барған  сайын  математикада  басқа  түрдегі  сандармен 
қатарласа  қолданыла  бастайды.  Алайда,  олардың  əсіресе,  жорамал  сандардың 
геометриялық  жəне  арифметикалық  табиғатында  анықталмаған  жəйттер  əлі  көп 
болатын. 
 
Үшінші  жəне  төртінші  дəрежелі  теңдеулерді  радикал  арқылы  шешу 
формулалары  табылғаннан  кейін  одан  жоғары  дəрежелі  теңдеулерді  осылай  шешу 
əдістері іздестіріледі Лейбниц жəне оның досы сақсондық ақ сүйек Эренфрил Вальтер 
фон Чирингауз (1651-1708) жəне басқалар бұл мəселемен көп айналысады. 1883 жылы 
Чинингауз  өз  атымен  аталған  алгебралық  теңдеуге  түрлендіру  əдісін  ұсынады.  Бұл 
түрлендіру  кейіннен  бесінші  жəне  одан  жоғары  теңдеулерді  зерттеуде  үлкен  қызмет 
атқарады.  
 
XVII  ғасырда  алгебралық  теңдеудің  түбірлерінің  саны  туралы  алгебраның 
негізгі теоремасын дəлелдеуге бастапқы əрекеттер жасалады. 
 
Бұл  ғасырда  геометрияның  құрамы  да  едəуір  кеңейеді.  Оған  геометрияны 
алгебрамен  байланыстыра  қарастыратын  жоғарыда  келтірілген  аналитикалық 
геометирия  қосылды.  Шексіз  аздар  анализін  геометрияға  қолдану  мұқтаждығынан 
біртіндеп  математиканың  болашақ  дербес  саласы-  дифференциялдықгеометиря 
қалыптаса  бастайды,  Проективті  геометиряның  негізі  қаланды.  1636ж  француз 
инженері  жəне  сəулеткері  Ж.Дезарт  1593-1662  перективалар  теориясын  жасады. 

Проективтік  идеяларды  енгізушілер  қатарында  Дезарттан  басқа  Б.Паскаль  (1640), 
Ф.Лагир(1685)жемісті еңбек етті. 
XVII  ғасырда  нақты  ықылас  ауған  кезде  ежелгі  сандар  теориясы  жаңа 
қарқынмен  қайта  жандана  бастады.  Бұл  бағыт  əсіресе,  1621  жылы  Диофанттың 
«Арифметикасы» грек жəне латын тілінде басылып шыққаннан кейін күшті дамиды. 
Францияда  Ферма  бастаған  сандар  теориясымен  айналысатын  оқымыстылар  тобы 
ұйымдасады. 
Декарттың геометриясынан өзгеше аналитикалық геометрияның бір  вариантын 
жасаған  Ферма  туралы  жəне  оның  шексіз  аздар  анализінің  жетістіктері  жайлы  біз 
жоғарыда  тоқталғанбыз.  Пьер  Ферма  өмрінің  көбін  Францияның  Тулуда  қаласында 
өткізген.Ол  əуелі  заң  ғылымдары  мамандығын  алады.  Ескі  грек,  латын,  испан  т.б. 
тілдерін жетік меңгереді, осы тілдерде өлең шығарады. Евклид, Архимед, Аполлоний, 
Папп жəне Диофант еңбектернің түп нұсқаларын өз бетінше оқып, оларды ой елегінен 
сұрыптай өткізіп, жаңа математикамен ұштастырады. Осы бағытта ерінбей еңбектеніп 
ұлы  математик  дəрежесіне  жетеді.  Ферма  математиканың  көп  салалары  бойынша 
өшпес із қалдырған.  
Ферманың  аса  ден  қойып  айналысқан  саласы    -  сандар  теориясы.  Ол  қысқаша 
тұжырымды, проблема түрінде жазуға машықтанған ғалым. Əдетте ол теоремалардың 
дəлелін келтірмейді. Ол көзінің тірісінде бірде-бір еңбектерін жарияламаған, олар тек 
қолжазба түрінде ғанғ таралған. Сандар теориясы туралы арнайы шығарма жазу ниеті 
əйтеуір бір себептерден жүзеге аспаған. Ферманың бұл жөніндегі жаңалықтары бізге 
оның  хаттарынан  Диофанттың  «Арифметикасы»  беттеріндегі  ескертпелер  түрінде 
жеткен. Тек 1670 жылы Ферма өлгеннен кейін оның үлкен ұлы Самюэль əкесінің бір 
сыпыра  еңбектерінің  басын  біріктіріп  басып  шығарады.  Біз  енді  Ферма 
проблемаларына қысқаша тоқталайық: 
1.Ферма жай сандар сырына терең үңіліп, n-нің барлық бүтін мəні үшін тек қана 
жай сандар беретіндей F(n) өрнегін іздестіреді. Ақырында ол 
 осындай 
өрнекболуға тиіс деген қорытындыға келеді. Шынында 
  жəне 4 болғанда 
F(n) жай сандар болатын 3,5,17,257,65 537 мəндерін табады. Алайда, кейіннен Эйлер 
  жай сан емес екенін көрсетеді. Ол ғана емес Гольдбах пен Эйлер де 
бүтін  болғанда  барылқ  мəндерə  жай  сандар  қазір  Ферманың  сандары  деп  аталады. 
Мұндай сандар шекті ме əлде шексіз бе бұл күнге дейін шешілмеген мəселе. 
 
2.  Ферманың  кіші  теоремасы:  егер  Р  жай  сан  болса,  а  саны  р-ға  бөлінбейтін 
бүтін  сан  болса,  онда  а
р-1
=1(mod
р-1
-1  р-ға  бөлінеді.Бұл  теореманы  бірінші 
рет салыстырмалық теориясының негізін қалаған Л.Эйлер дəлелдеген. Ферманың кіші 
теоремасы сандардың элементар теориясындағы ең маңызды теоремалардың бірі. 
 
3.  Ферманың  ұлы  теоремасы.  Диофанттың  «Атифметиканың  екінші  кітабының 
8-ші  есебі  берілген  а
2
  –ты  екі  квадраттың  қосындысы  түрінде  жіктеуді  талап  етеді. 
Осыған  байланысты  Ферма  кітап  бетінің  ақ  жеріне  мынадай  тұжырым  келтіреді: 
«Керісінше кубты екі кубқа, биквадратты екі биквадратқа, жалпы квадраттан жоғары 
дəрежелі көрсеткішті дəл сондай екі дəрежеге жіктеу мүмкін емес; мұның мен тамаша 
дəлелін таптым, бірақ орын жетпейтіндіктенол дəлелді бұл жерге келтіруге болмады». 
 
Бұл əйгілі Ферманың ұлы теориясы мына түрде өрнектеледі. x
n
+y
n
=z
n
 теңдеуінің 
n>2  жəне  x,y,z
≠
0  болғанда  бүтін  шешуі  болмайды.  Ферма  өзінің  хаттарында  түсу 

əдісін қолданып, ол теореманы n=3 жəне n=4 жағдайлары үшін дəлелдейді. Ферманың 
ұлы  теоремасының  жалпы  дəлелə  жоқ,  тек  ол  n<2521  көрсеткіштері  үшін  ғана 
дəлелденген. 
XVII  ғасырда  комбинаторика  мен  ықтималдық  теориясының  ғылыми 
бастамалары жазылды. Комбинаторика бойынша Паскаль, Ферма, Лейбництер жемісті 
еңбек  етіп,  оның  негізгі  ұғымдарын  тағайындайды.  «Комбинаторика»  терминінің  өзі 
Лейбництің  1666  жылы  шыққан  комбинаторикалық  өнер  жөніндегі  пайымдаулардан 
алынған.  Бұл  еңбекте  терулер,  алмастырулар  туралы  бірсыпыра  теоремалар 
келтіріледі. 
Комбинаториканы  дамытуда  Паскальдың  «Арифметиканың  үшбұрыш  туралы 
трактатының»  ықпалы  зор  болды.  Мұнда  ол  теру  сандарының  кестесін  үшбұрыш 
түрінде жазады. 
Бұрыннан  белгілі 
m
m
n
n
n
C
m
n
⋅
⋅
⋅
⋅
+
−
−
=
...
3
2
1
)
1
)...(
1
(
    мультипикативті  жіктелуді  Паскаль 
толық  математикалық  принциптің  жəрдемімен  жалпы  түрде  дəлелдеген.  Ол  бұл 
формуланың  бастапқы  жатық  жолдары  үшін  дұрыс  болатынын  жəне  оның  n-ші 
жолының  дұрыстығын  (n+1)–ші  жол  үшін  орындалатыны  шығады.  Кейінірек, 
Я.Бернулли  бірінші  рет  n  элементінен  m-нен  жасалған  алмастыруларды  зерттеп 
m
m
n
m
n
P
C
m
n
n
n
А
=
+
−
−
=
)
1
)...(
1
(
ережесін 
тағайындайды. 
Осыдан 
комбинаторлық  
қатынастар Бернуллидің ықтималдық теориясының ғылыми іргетасын қалаған атақты 
еңбегі  «Болжалдау  өнерінде»  (1685)  келтірілген.  XVII  ғасырдың  ортасына  дейін 
ықтималдық  бойынша  бүтін  математикалық  теория  түгел,  есеп,  шешуге 
қолданылатын ешқандай жалпы əдісі болған жоқ. Тек жеке-дара есептерді ғана шешу 
жолдары белгілі болған, алайда адам практикасының сан-салалары бойынша аса бай 
материал  жинақталады.  XVII  ғ  ортасында  ықтималдық  теориясын  жасауға  Паскаль, 
Ферма  жəне  Гюйгенс  сияқты  аса  көрнекті  оөымыстылар  ат  салысады.Мəселен, 
Гюйгенс  (1629-1695)  «Құмар  ойынындағы  есеп-қисаптар»  атты  еңбегінде 
математикалық ұғымын енгізеді. 
Ықтималдық  теориясының  математиканың  дербес  бір  саласы  болып 
қалыптасуында  шешуші  маңызы  болған  Я.Бернуллидің  «Болжамдар  өнері»  болды. 
Мұнда негізгі ықтималдық теориясының басты теоремаларының бірінің- үлкен сандар 
заңының қарапайым түрі беріледі. Оны Я.Бернулли былай тұжырымдайды: «Қолайлы 
жағжайлар санының қолайсыз жағдайлар санына қатынасы дəл немесе жуықтап r–дің 
s–ға  немесе  барлық  жағдайлар  санына,  r-дің  r+s  немесе  r–дің  t–ға  қатынасындай 
болсын.  Сонда  саны  қалауымызша  алынған  тəжірибелер  жасағанда  қолайлы 
бақылаулар  санының  осы  шектерден  тыс  емес,  олардың  аралығында  жатуы 
ықтималырақ  болатынын,  яғни  қолайлы  жағдайлар  санының  барлығының  санына 
қатынасы (r+1)/t–ден көп, ал (r-1)/t–ден аз болатынын дəлелдеу керек».  
Академик  А.Н.Колмогоровтың  классификациясы  бойынша  ықтималдылықтар 
теориясы тарихының бірінші кезеңі Я.Бернуллидің осы жаңалықтарымен анықталады. 
Басқа салалардағы елеулі жетістерге қарамастан бұл XVII ғ математикасындағы 
сан  жағынан  да,  сапа  жөнінен  де  айрықша  орын  алатын  шексіз  аздар  анализі 
бағытындағы  зерттеулер  болды.  Ньютон,  Лейбниц  жəне  олардың  маңына  топтасқан 
оқымыстылар  осы  зерттеулеріне  сүйеніп  анализдің  жаңа  бөлімдері  мен  өолдану 
облыстарын  ашады.  XVII  жəне  XVIII  ғасырлар  шекаралығында  математикалық 

анализдің  тағы  да  екі  жаңа  саласы  бойынша  зерттеулер  қолға  алына  бастайды.Бұл 
Лейбниц  пен  И.Бернуллидің  рационал  бөлшектерді  интегралдауға  байланысты 
жүргізілген  комплексайнымалы  функциялар  теориясының  нышаны  жəне  1696-97  ж 
ағайынды  Бернуллилер  қойған  брахистрон,  геодезиялық  сызықтар,  изопериметрлік 
есептер төңірегіндегі вариациялық есептеудің бастамасы еді. 
XVIII  ғ  математиканың  дамуы  өзінің  барлық  басты  ерекшеліктері  тұрғысынан 
алғанда XVII ғасырдағы ғылыми революцияның тікелей жалғасы болды.   
 
 
          Он бірінші тарау 
XVIII ғасыр жəне XIX ғасырдың бірінші жартысындағы                                                                         
математика. 
    XVIII ғасырдағы математиктердің бүкіл іс – əрекеттері анализ жəне оның 
механикаға қолданысы төңірегінде шоғырланады. Ең күшті тұлғаларды олардың шығу 
тегі емес, интеллектуалдық тектестігін көрсететін шежіреге орналтыруға болады.  
    Лейбниц ( 1646-1716 ),  Эйлер ( 1707-1783 ),  Лагранж (1736-1813),  Даплас (1749-
1827). 
    Бұл ғалымдардың еңбектерімен Ағарту дəуірінің философтарымен қарым-
қатынаста болған  Клеро,  Даламбир  жəне  Мепертюн бастаған француз математиктер 
тобының іс-əрекеттері тығыз байланысты.  Бұларға швейцар математиктері Ламбертті 
жəне Даниил  Бернуллиді қосу керек.  Ғылыми   жұмыстар негізінен академияларда 
шоғырланады, бұлардың ішінде Париж,  Берлин,  Петербуг академиялары көрнекті 
орын алады.  Бұл кезде университеттерде мардымды сабақ өтеді. Европаның алдаңғы 
қатардағы елдерін оқымысты деспоттар билеп тұрды. Атақ – даңққа ие болуды мақсат 
еткен қатыгез əміршілер өздерінің маңына оқымыстыларды топтастырды.  Мұның өзі 
қарулы күштері жаугершілік қабілетін күшейтуге жаратылыстану мен қолданбалы 
математиканың  манызын түсінуге келіп тірелді.  Мысалы француз  флотында аса 
жоғыры сапалы ( фрагаттар мен линкорларды жасауда )  кеме жасаушылар үшін  
белгілі бір дəрежеде математикалық теорияны  пайдаланған. Эйлердің еңбектерінде 
армия мен флот үшін аса қажетті математикалық қолданыстар өте көп болған. 
    Шверцариядағы империялық еркін қала – Базель 1263 ж. əуел  бастан ғылымның 
шоғарланған жері болды.  Сонау Эразм заманының озінде-ақ университеті бар 
маңызды орталық болған.  Базельде  жəне голландияның басқа қалаларында көпес 
жақсылары билігімен ғылым мен өнер өркен жаяды. Базельдік ақсүйектердің бір 
ғасыр бұрын испандықтар жаулап алған Ангверпеннен  бас  сауғалап қашып келген 
Бернулли көпес семьясы да бар еді. Он жетінші ғасырдың  соңынан  қазірге дейін 
ағайынды  Якоб пен Игонн Бернуллиден тараған еді.  Бұл  əулеттің əрбір ұрпағынан 
оқымыстылар щығып келеді. Бастапқыда Якоб  дін  ғылымын  Иоганн  мединцинаны 
қуады,  алайда « Acta Eruditarum »  журналында Лейбниц мақалаларымен танысқаннан 
кейін екеуі де  біржола математик болуға бел байлайды. Екеуі  Лейництің тұңғыш 
көрнекті  шəкірттері болады. 1687 Якоь Базель унирверсиетінің  математика 
кафедрасын алады.  Мұнда ол 1705 ж.  қайтыс болғанға дейін сабақ береді. Игони 
1697 ж. Голландияның  Гронинг  қаласында профессор болады,  кейін ағасы өлгеннен  
соң  Базельге келіп оның орын басады, бұл қызметті ол аттай қырық үш жыл 
атқарады.  Якоб Лейбницпен 1687 жылдан бастап хат жазысып тұрған.  Ол  

Лейбницпен үнемі пікір алысып, кейде бір-бірімен қатаң бəсекелестікке де барады; 
ағайынды екеуі де Лейбниц еңбектеріндегі бар асылдың      қадір-қасиетін ерте 
түсініп, ол қазынаны өз беттерінше аша түсуге ұмтылған. Олардың зерттеулерінде 
қазіргі дифференциалдық жəне интегралдық есептеудің элементар  оқулықтарында 
бар  көп нəрселерден басқа. Бірсыпыра жай диффеоенциалдық теңдеулерді 
интегралдау келтірілген.  Якоб полярлық координаталарды пайдаланады. Бұрын  
Гюйгенс жəне басқалар қарастырған тізбекті сызықтарды – лемнискатаны (1691)  жəне  
логарифмдік спиральды зерттейді. 1690 ж. Лейбниц  бойымен дене тұрақты 
жылдамдыөпен түсетін қисық ретінде анықталған изохрониканы ашады, оның 
жартылай кубты парабола болатынын дəлелдейді,  Якоб сонымен қатар , 
изопериметрлік  фигураларыды зерттеп варнациялық есептеу мəселелерін қолға 
алады.  Əр түрлі түрлендірулерде қайта жаңғырып отыратын қасиеті бар логарифмдік  
спиральды  (оның эвалютасы  да логарфмдік спираль болады )  тапқанда  Якоб  бұл  
қисықты өлгенде құлпытасына  « өзгеріп барып, қайтадан осылай туамын »  деп  
жазуды өсиет етіп қалдырған екен.  
    Якоб Бернулли ықтималдық теория бойынша  « Болжаудау өнерін»                  ( 
1713ж. жарық көрген) жазғаны  жоғарыда  айтылғанды. Мұның ьірінші бөлімінде 
Гюйгенетің құрам ойындар трактаты  түгелдей келтіріледі, болған тарауларында 
алмастырулар үлестірушілік  туралы   « Бернулли теоремасы».  Ол үлкен сандар 
теоремасынның қарапайым түрі болып таблады.  Паскаль үшбұрышын  қарастыру  
барысында   ол  « Бернулли  сандарын»  тапқан. 
    Иоганн Бернулиидің еңбектері ағасының жұмыстарымен тығыз ьайланысты. 
Сондықтан, олардың  табыстарын бір-бірімен бөліп қарау кейде оңай емес. 
Брахиснохрои туралы есепті шешкен де Игонн, оған сол үшінде « варнациалдық 
есептеуді жасаушы»  деп айдар таққан .  Бұл – тартылу өрісіндегі бастапқы нүктенің 
ең шапшаң түсу жолының  сызығы. Мұны 1697 жылдан бастап бірнеше жыл Лейбниц 
жəне ағайынды Бернуллилер зерттетен.  Осы тұста олар беттігі геодезиялық қисықтың 
табады.  Брахистрохрон есебінің шешуі циклоила болып табылады.  Бұл қисық 
таутахон – тартылу  өрісінде бойымен қозғалған материалдық нүктенің ең төменгі 
нүктесіне жету уақыты бастапөы нүктеге тəуелді болмайтын қисық сызық .  
Математиканы  дамытуға ат салысқан  Бернуллилер арасында  Иоганның  Николай  
Даниил  атты екі баласы да бар.  Бұл екеуі  де ұлы  Петр          ғана  құралған  Петебург 
академиясына  жұмысқа шақырылады.  Николай мұнда көп болмаған.  Осындағы жұрт 
оның  ұсынған   ықтималдық теориясын  Петербург есебі немесе Петербург 
парадокасы деп атады.   Ол  1777 ж. дейін Базель университетінің профессоры болады.  
Астрономия, физика, гидродинамика салаларында  жемісті еңбек  еткен.  Оның  « 
Гидродинамика»  атты еңбегі 1738 ж. жарық көреді, бұл кітаптағы бір теорема оның 
есімімен аталады.  Сол жылы ол газдардың кинетикалық теориясының негізін 
қалайды.  Даламбер жəне Эйлермен бірлесіп шектердің тербелу теориясын зерттейді.  
Даниил  əкесінің жай дифференциалдық  теңдеулер теориясын бойынша жұмыстарын  
жалғастырып  ең бірінші болып дербес туындылы теңдеулер саласына жол салады.  
    Базельден он сегізінші ғасырдағы қала берді барлық замандағы көрнекті математик 
Эйлер де ашқан.  Оның əкесі математиканы Якоб Бернуллидің жетекшілігімен оқып-
үйренсе, өзі Иоганның  тəлім алады. 1725 ж. жас Эйлер  Иоганның баласы николай 
мен Петербург академиясында қалып қояды.   Мұнда ол орыстың ұлы энциклопедист 

ғалымы  М.В.  Ломоносовпен достасады. 1741-1766 жылдары қайтадан Петербургке 
келіп Екатерина патшаның қарамағында ғылыми жұрыстар жүргізеді.  Оның бүкіл 
өмірі дерлік таза жəне қолданбалы математиканың  əр түрлі  салаларына арналған. 
1735 ж. бір көзінен, ал 1766 ж. екінші көзінен айырылса да тындай еңбектене берген.  
Ғажап ексе ұстаушылық қабілетінің арқасында өзінің ашқан жаңалықтары ауызша 
айтумен жатқа жаздырған.  Көзінің тірісінде оның 530 кітабы мен мақалалары жарық 
көреді.  Өлгеннен кейін одан көп қолжазбалар қалған, оның еңбектерімен Петербург 
академиясы 47 жыл бойы айналысқан.  Кейбір зерттеушілер Эйлердің еңбегінің  ұзын 
саны 886-ға жеткенін айтады.  
    Эйлер сол кезде бар математика ның барлық саласы бойынша елеулі табыстарға 
жеткен .Ол өзінің жаналықтарын мақала түрінде ғана емес,бір жүйеге келтірілген оқу 
құралдарында жариялап отырған .Эйлердің кейбір салалардағы баяндауы ғылымның 
соңғы сөзіндей,кейіннен ол ешбір қзгеріске ұшырамаған . Мысалы ,  біздің  қазіргі 
триногометриялық шамаларды қатынас  түріндегі анықтау  жəне қабылданған 
таңбалар Эйлердің  « Шексіз аздар анализіне кіріспе » ( 1748 )  атты кітабынан 
алынған.  Оның оқу нұсқауларының беделі алгебра мен анализ бойынша көптеген  
таңбалаулардарының  орнығын  қалуына  себепші болды.  Лагранж, Лаплас жəне  
Гаусс Эйлерді құрметтеп, өздерінің  бүкіл  əрекеттерінде соның жолын қуған. 
«Шексіз аздар анализіне кіріспенің» екі томында қамтылған мəселелер едəуір əрі сан 
алуан .Мұнда шексіз қатарлар,оның ішінде 
x
x
e
x
sin
,
cos
,
   қатарлары Иогонн Бернаулли 
мен басқалар əр түрлі формада тапқан
x
i
x
e
ix
sin
cos +
=
қатасы орын алған. Қисықтар мен 
беттерді теңдеулер арқылы зерттеудің кем елдігіне жəне ұғымдылығына қарай бұл 
еңбекті аналитикалық  геометрия бойынша жазылған ең біріңші оқулық деуге 
болады.Мұнда біз алгебралық  теріске шығару ьеориясын кездестіреміз.Оқу 
құралының ең қызықты бөлімдеріне Дзета функциясы жəне оның жай сандар 
теориясымен байланысы ,сандарды қосындыларға жіктеуге арналған тараулары орын 
алған. 
    Эйлердің көлемі, мазмұны жөнінен бай оқу нұскасы – « Дифференциалды есептеу» 
(1755) жəне  осының соның  ала жарық көрген үш томдық                   « Интегралдық 
есептеу»  (1768-1774) . Бұларда біздің элементарлық дифференциалдық  жəне 
интегралдық есептеуімізден басқа дифференциалдық теңдеулерді интегралдау, Тейлор 
теоремасы жəне оның толып жатқан қолданыстары, Эйлердің  қосындылау 
формуласы, Эйлер интегралдары бар.  
     Эйлердің « Механика немесе аналитикалық жолмен баяндалған қозғалыс туралы 
ғылымы» (1736)  Ньютонның материалдық  нүкте динамикасы аналитикалық 
əдістермен дамытылған бірінші оқулық болды. Бұдан кейін     «Қатты  денлер 
қозғалысының теориясы» (1765)  жарық көреді.  Бұл трактатта нүктені айнала 
қозғалған  дененің  теңдеулері келтірілген. Эйлердің жатқа айтып отырып жаздырған  
« Алгебраға толық  кіріспе »            (1770) атты еңбегі алгебра жөніндегі көптеген 
кейінгі оқулықтарға үлгі  болды.  Мұнда алгебраның  үшінші  жəне төртінші дəрежелі 
теңдеулер теориясына дейін баяндалған.  
    1744 ж.  Эйлердің « Максимум жəне минимум қасиеттері болатын қисық 
сызықтарды табу» атты шығармасы жарық көреді. Бұл вариайиалық  есептеуді 
баяндауға арналған , бірінші еңбек еді.Эйлердің тапқан көптеген нəтижелерін қазіргі 
кезде көпшіліктің бəрі біле бермейді,бірақ асылдарының көбі көлемі шағын 

еңбектерінде. Олардың ішінде белгілілері: тұйық көпжақтың төбелері 
( )
V
, жақтары 
( )
F
жəне қырлары; 
( )
E
 сандарын байланыстыратын теорема 
(
)
2
=
−
+
E
F
V
, үш бұрыш 
ішіндегі Эйлер түзуі, тұрақты ені болатын қисықтар жəне Эйлер тұрақты саны: 
...
0577216
,
0
ln
1
...
2
1
1
1
lim
=






−
+
+
+
∞
→
n
n
n
 
Қызықты математикаға бірнеше мақала арналған: жеті Кенигсберг көпірі, шахмат аты 
туралы есеп. Эйлердің тек сандар теориясы саласындағы табыстарының өзі-ақ оның 
есімін математика тарихында қалдыруға жетер еді.  
      Эйлердің еңбектерінің едəуір бөлігі астрономияға арналған. Əсіресе ол үш дене 
есебінің маңызды тарауы саналатын Ай қозғалысы теориясына көп көңіл бөлген. 
Оның «Планеталар мен кометалар қозғалыс теориясы» 
(
)
1774
 аспан механикасына 
арналған. 
     Эйлердің гидровлика, кеме жасау артиллерия туралы кітаптарының өзі бір төбе. 
1769-1771жылдары оның «деоптрикасының» үш томы жарияланды. Мұнда линзалар 
жүйесінде сəулелердің сыну теориясы баяндалған 
(
)
1739
ж. Ол туралы 
замандастарының «математиктер үшін тым музыкалы, ал музыканттар үшін тым 
математикалы» дегендері əзіл ғана емес, ол шын мəнінде музыканың жана 
математикалық теориясын жасайды. 1760-61ж шыққан «Бір неміс ханшасына хат» 
атты еңбегі жаратылыстанудың аса маңызды философиялық проблемалардың 
көпшілікке түсіндірудің тамаша үлгісі болып қалды. 
    Эйлердің еңбегінің жасампаздығы, өміршендігі оны оқып-үйренуші əркімді таң 
қалдырады. Оны түсіну аса қиын болмаған. Өйткені, Эйлердің латынщасы өте анық, 
қарапайым, ал таңбалаулары – қазіргідей, кейінгі үлкен математиктер əркез көп нəрсе 
жөнінен Эйлерге қарыздар екенін мойындаған. « Эйлерді оқыңдар, ол біздің ортақ 
Лаплас. Ал математика патшасы атанған  Гаусс: « Математиканың əр түрлі 
салаларынан мағмұлмат беретін Эйлер мектебін ешнəрсемен алмастыруға болмайды» 
деген екен. Риман Эйлер еңбектерін жақсы білген, оның мазмұны терең 
щығармаларының бірсыпырасы Эйлердің ықпалымен дүниеге келген.  
   Эйлердің ғылымға қосқан жаңалықтарын ғана емес, оның кейбір олқы жерлерін айта 
кетудің тəлім-тəрбиелік мəні бар. Он сегізінші ғасырда əлі де болса шексіз 
процестерге бейқам қараушылық орын алады. Шексіз қатарлармен, шексіз 
көбейтінділермен,  0, ∞, 
1
−
 сияқты символдармен, интегралдаумен алғашқы 
тəжіриберлер жасалады. Мəселен, біз Эйлердің 
n
ln
 өрнегінің 
0
f
n
 болғанда бір мəні 
нақты болатыны, ал басқа жағдайлардың бəрінде  шексіз көп комплекс мəні болатыны 
туралы пікірін біз сөзсіз кабылдаймыз. Эйлер бұл өортындыны 1747 ж. Даламберге 
жазған хатында келтірген. Алайда біз Эйлер 1-3+4-5-7+...=0 қортындысымен, немесе 
n
n
n
n
−
=
+
+
+
1
...
2
 жəне 
1
...
1
1
1
2
−
=
+
+
+
+
n
n
n
n
 теңдіктеріне сүййеніп алған 
0
...
1
1
1
1
2
2
=
+
+
+
+
+
+
n
n
n
n
теңдігімен келісе алмаймыз. 
    Əр түрлі нөлдер енгізіп анализді негіздемекші болған Эйлер  əдісін қызу қолдай 
алмаймыз. « Шексіз аз шама» деп жазады. Эйлер өзінің «дифференциалдық 
есептеунде» ол нағыз нөл.  
      
( )
,
;
;
1
dx
a
cdx
dx
a
dx
dx
dx
a
ndx
n
n
=
+
=
±
=
+
+
   

олай болса, шексіз аз шамалардың барлығы нөлге тең болғанмен, олардың шексіз көп 
реті болады. Сондықтан да геометриялық қатынас арқылы өрнектелетін олардың өзара 
тəуелдігін қарастырғанда оларды бір-бірінен анық ажырату жөн болады». 
    Эйлер анализді негіздеуде əлсіз болғанмен, ол өзінің көзқарасын бұлыңғыламай 
анық айтып отырған. Даламбер «Энциклопедияның» кейбір мақалаларында мұндай 
негіздеулерді басқаша жолмен беруге тырысады. Ньютон біріншіжəне соңғы қатынас» 
терминдерін флюк теориясына қолданғанда қазір ғана пайда болған екі шаманың 
бірінші жəне соңғы қатынастарын екені алады. Даламбер мұны шек ұғымымен 
ауыстырады. Ол бір шаманы екіншісінің шегі дейді, егер екіншісі біріншісіне жуықтай 
келе олардың айырмасы кез келген алдын ала берілген шамадан кіші болса, 
«Теңдеулерді дифференциалдау – теңдеуге енетін екі айнымалының щекті 
айырмаларының қатынасының шектерін табу болады» дейді. Бұл Даламбердің əр 
түрлі ретті шексіздіктер туралы идеяларымен бірге алғанда едəуір алға басушылыңы 
еді. Бірақ та оның замандастары бұл сөздің маңыздығына сенімсіздеу қарайды. 
Даламбер қиюшы түзу екі қиылысу нүктесі бірігін кеткенде жанама болады дегенде 
Зенон парадокстарына тəн қиыншылықтарды шеше алмағаны көрініп тұр.  
   Ньютонның флюксияларын эпископ Берки сынға алады. Джордж Беркли (1685-
1753) – Оңтүстік Ирландияда ұзақ уақыт епискон болған, барып тұрған идеалистік 
көзқарастарды жақтаушы (« болу дегеніміз ойда қабылдану»). Ол Ньютон ғылымы 
материализмді қолдайтындығына қапа болады, сондықтан өзінің «Аналистінде» 
флюксиялар теориясына шабуылға шығады. Ол шексіз аздарды «марқұр болған 
шамалардың көлеңкелері» деп мазақтайды; егер       х-тің  өсімшесі 0 болса, онда 
−
n
x
нің 0-ға бөлінген өсімшесі 
...
0
*
2
1
)
1
(
2
1
+
−
−
+
−
−
n
n
x
n
n
nx
болады. Мұнда 
n
x
 нөлден өзгеше 
деп ұйғарылады. Алайда 
n
x
флюксиясы, яғни 
1
−
n
nx
 алғанда 0 нөлге тең деп 
қабылдайды, бұл бастапқы 0 нөлден өзгеше деген ұйғарымға қайшы келеді. 
    Ағылшын математигі, есімі эллипистік интегралдар теориясында қалған Джон 
Ланден анализдің негізі қиыншылықтарынан құтылуда өз  əдісін қолдануға 
талпынады. Өзінің «Қалдықтар анализінде» ол Берклидің сынынан құтылу үшін 
шексіз аздардан бас тартады; мысалы 
3
x
туындысын  х-ті 
1
x
-мен ауыстырып табады. 
2
2
2
1
3
1
1
x
xx
x
x
x
x
+
+
=
−
−
өрнегі 
1
x
x =
 болғанда 
2
3x
-қа тең болады. Функциялар күрделірек 
болған жағдайда бұл əдіс дəрежеде кейіннен шыққан Лагранждың алгералық əдісі 
тектес деуге болады. 
    Эйлердің бүкіл дерлік ғылыми өмірі Россиямен байланысты өтті. Тіпті өмірінің 
Берлинде өткен жылдарында да Петербург  академиясынан қол үзбеген, өзінің 
жұмытарының едəуір бөлігін осында бастырған, əр түрлі мəселелер бойынша 
консуьтациялар берген, Академия қызметкерлерін іріктеп талдауға, қатысқан, оған 
командировкаға келген жас ғалымдардың оқуына жетекшілік еткен. Эйлердің  
көптеген қолданбалы еңбектері ( мəселен, картография мен теңіз істері бойынша) 
орыстың өкімет едəуір көтеріп тастаған элементар мазмұнды оқулықтары басылып 
шыққан. Эйлердің «Арифметикаға жетекші кітабы»- орыс тілінде екі рет (1740-1780) 
басылады. Əмбебап арифметикасының орысша, немісше түпнұсқасы « Алгербаға 
толық кіріспеден» бұрын шыққан (1768-1769). Эйлерден математика бойынша 

сайланған бірінші орыс академиктері С.К. Котельников (1723-1801) 
С.Я.Румовскийден (1723-1806) сабақ алған. Сол бір дəуірде Эйлер бүкіл оқымыстылар 
тобының орталығын айналады; бұл топқа аты аталған математиктерден басқа баласы 
И.А. Эйлер, дифференциалдық геометрия жөнінде əсіресе көптеген өзіндік 
зерттеулердің  авторы, соқыр болған шағында Эйлерге көмекші болған жиені И.И 
Фусс (1755-1816), полигонометрия бойынша жұмыстарымен атағы шыққан А.И. 
Лекселль (1740-1781), астроном жəне геометр Ф.И Шуберт (1758-1829) келіп 
қосылған. Эйлердің бұл шəкірттерінің математикалық зерттулері ұстазы қойған 
немесе соған байланысты дербес есептері шешуге арналған, оларда Эйлер əдістерінің 
ықпалы жəне геометриялық бейімдідік басым болды. Мұндай бағыт сол кездегі 
математиканың сара жолынан алшақ жатты, сондықтан да он тоғызыншы ғасырда 
Петербург матемтика мектебін  даңққа көтеру үшін  М.В. Остоградский мен П.Л. 
Чебышевтердің еңбектері қажет болды. 
   
Эйлер  осы  дəуірдегі  ең  басты  да  жетекші  математик  болды  десек  те, 
Францияда  бұрынғы  қарқынмен  сындарлы,  соны  еңбектердің  шығуы 
толастамайды.  Мұнда  басқа  елдерге  қарағанда  математиканы  Ньютон 
теориясын  үлкен  кемелдікке  жеткізуге  тиісті  ғылым  деп  қарастыру  басым  еді. 
Ағартушылық  заманының  философтары  бүкіл  əлемдік  тартылыс  теориясын 
құштарлықпен  қабылдап,  оны  феодализм  сарқыншақтарына  қарсы  өздерінің 
күрестеріне  қару  етіп  жұмсайды.  Католиктік  шіркеу  1664  жылы  Декарттың 
еңбектерін  тиым  салынған  кітаптар  тізіміне  қосса,  1700  ж.  шамасында  оның 
теорияларын тіпті кертартпа консервативтер арасында үлкен беделге ие болады. 
Ньютоншылдық  па  жоқ    декартшылдық  (картезианство)  па  деген  проблема 
ғалымдарға  ғана  емес,  салондар  үшін  де  қызғылықты  тақырыпқа  айналды. 
Вольтердің  «Ағылшындар  туралы  хаттары»  (1834)  француз  оқырмандарын 
Ньютон  идеяларымен  таныстыруға  көп  пайда  келтірді;  Вольтерге  ниеттес  Дю 
Шатле  ханым  тіпті Ньютонның  «Негіздерін»  француз  тіліне  аударады.  Бұл  екі 
мектеп үшін ең басты талас Жердің пішіні туралы болды. 
   
Картезиандықтар  қолдаған  космогония  бойынша  Жер  полюстарына 
қарай  созылыңқы,  ал  Ньютон  теориясы  бойынша-сығылыңқы  деп 
қарастырылған.  Картезиандық  астрономдар,  əкелі-балалы  Кассинилер  (  əкесі 
Жан  Доминик  геометрияда  Кассини  овалын  ашқан)    1700  жəне  1720  ж. 
аралықтарында  францияда  меридиан  доғасының  ұзындығын  өлшей  келіп 
картезиандық көзқарасты қуаттаған. Көп математиктер араласында талас туған. 
Бойлық  градусын  өлшеу  мақсатында  1737  ж.  Перуге,  сонан  кейін    1736-37  ж. 
Лапландияға  (мұны  Пьер  Мопертюи  басқарған)  экспедициялар  жіберіледі.  Бұл 
екі  экспедицияның  нəтижесінде  Ньютон  теориясы  дəлелденіп  салтанат 
құрылды,  бұл  Мопертюидің  де  салтанаты  болады.  Ол  осыдан  кейін  Берлин 
академиясының  президенті  сайланып,  II  Фридрих  сарайында  көп  жыл  даңқ 
құшағына  бөленген.  Бұл  1765  ж.  механикадағы  ең  кіші  принцип  туралы 
Швейцар математигі Самуил Кенигпен таласқа түскенше созылады. Мопертюи 
өзіне дейінгі Декарт, кейінгі Эйнштейн сияқты əлем заңдарын біріктірерліктей 
бір жалпы принципті табуға тырысады. Мопертюидің тұжырымы айқын емес, ол 
өзінің «əсерін» 
s
m
υ
 (m-масса, 
υ
-жылдамдық, s-ара қашықтық) шамасы ретінде 
анықтайды.  Бұл  мұны  құдайдың  бар  екенін  дəлелдеумен  ұштастырған.  Бұл 

талас, əсіресе жолы болмаған президентті мазақ жасаған Вольтердің «Папаның 
дəрігері  Анакия  доктордың  Диатрибесі»  атты  кітабы  жарық  көргеннен  кейін 
онан  сайын  ушыға  түседі.  Эйлердің  қорғауы  да,  корольдің  қолдауы  да 
Мопертюидің  көңілін  көтере  алмайды,  осыдан  құса  болған  математик  көп 
ұзамай  Базелде,  Бернуллидің  үйінде  қайтыс  болады.  Эйлер  ең  кіші  əсер 
принципін  қайта  қолға  алады,  оның  тұжырымы  бойынша  Sm
υ
ds  минимум 
болуы  қажет,  бірақ  ол  Мопертюи  сияқты  метафизикаға  ұрынбайды.  Міне, 
осылай  бұл  принципке  берік  іргетас  қаланады.  Оны  Лагранж  кейінірек 
Гамильтон  пайдаланады.  «Гамильтониананың»  қазіргі  математикалық 
физикадағы  алатын  орны  мен  маңызы,  Эйлердің  Мопертюи  мен  Кениг 
арасындағы таласқа қосқан үлесінің қаншалықты мəнді болғанын көрсетеді.  
   
Мопертюимен  Лапландияда  бірге  болған  математиктер  арасында 
Алексис Клод Клеро да бар еді. Клеро он сегіз жасында кеңістік қисықтарының 
аналитикалық  жəне  дифференциалдық  геометрия  саласы  бойынша  бірінші 
тəжірибе  саналатын  «Қос  қисықтағы  бар  қисықтар  туралы  ізденістерді» 
жариялаған.  Лапландиядан  қайтып  келген  соң  гидростатика  мен  айналу 
эллипсоидтар  тартылысы  жөнінде  үлгілі  туынды  «Жер  фигурасы  теориясын» 
(1743) жарыққа шығарады. Лаплас мұның тек кейбір ұсақ-түйек жеке бөліктерін 
ғана  жетілдіре  алған.  Бұл  жұмыстың  басты  нəтижелерінің  бірі  Mdx+Ndy 
дифференциалының толықтық шарты. Бұл кітаптан соң Эйлердің Ай қозғалысы 
теориясы  мен  үш  дене  жалпы  есебіне  толықтыруларды  баяндаған.  «  Ай 
теориясы»  дүниеге  келеді.  Клеро  мұнан  басқа  да  қисық  сызықты  интегралдар 
мен  дифференциалдық  теңдеулер  теориясында  да  жаңалықтар  ашқан,  Клеро 
қарастырған  дифференциалдық  теңдеулердің  бір  типі  қазір  оның  есімімен 
аталып жүр.  
   
1750  ж.  кейін  ескі  режим,  тəртіпке  қарсы  интеллектуалдық 
оппозицияның  бір  орталығы  əйгілі  «Энциклопедия»  (1752-1772  ж.  28  томнан 
тұрады)  болады.  Оның  редакторы  Дени  Дидроның  жетекшілігімен 
«Энциклопедияда»  ағартушылық  ғасырының  философиясы  егжей-тегжейлі 
баяндалған.  Энциклопедистердің  басты  математигі  ақсүйек  əйелден  некесіз 
туып,  Париждегі  əулие  Жан  ле  Рон  шіркеуі  маңынан  табылған,  тастанды  бала 
Жан  ле  Рон  Даламбер  (1717-1783)  болды.  1754  ж.  ол  француз  академиясының 
«міндетті хатшысы» болды. Осы арқылы францияның ең ықпалды оқымыстысы 
дəрежесіне көтерілді. Қазір «Даламбер принципі» аталып жүрген қатты денелер 
динамикасын  статикаға  келтіру  əдісі  жазылған  оның  «Динамика  туралы 
трактаты»  1743  ж.  шығады.  Ол  қолданбалы  оның  ішінде  гидродинамика 
аэродинамика, үш дене есебі бар мəселелер бойынша зерттеулер жүргізе береді. 
Ол 1747 ж. шек тербелісі теориясын жариялайды, ол Даниил Бернуллимен қоса 
дербес туындылы теңдеулер теориясының негізін салады. Даламбер мен Эйлер 
x
z
k
z
te
χ
11
2
11
=
  теңдеуі  шешуін 
)
(
)
(
kt
x
kt
x
f
z
−
+
+
=
ϕ
  түрінде  тапса,  Бернулли  бұл 
теңдеуді тригонометриялық қатарлар жəрдемімен шешеді. Бұл шешімнің сипаты 
жөнінде  елеулі  күмəн  туады.  Даламбер  шектің  бастапқы  формасы  тек  жалғыз 
ғана  аналитикалық  өрнекпен  берілуін  мүмкін  деп  тапса,  Эйлер  ол  кез  келген 
үздіксіз  қисық  бола  алады  деп  санаған.  Бернулли,  Эйлерге  қайшы  келіп,  оның 
қатар  түріндегі  шешуін  жалпы  түрде  тұжырымдаған.  Бұл  мəселенің  толық 

түсінігі  1824  ж.  «кез  келген»  функцияны  тригонометриялық  қатар  арқылы 
кескіндеуге болатыны туралы күдікті жоққа шығарған Фурье еңбегінде беріледі. 
Даламберге  математиканы  негіздеуге  қоса  көп  мəселелер  жөнінде  еңбектер 
жазу  қиын  болмаған.  Оның  шек  ұғымын  енгізгені  жоғарыда  айтылды. 
«Алгебраның  негізгі  теоремасын»  кейде  Даламбер  теоремасы  деп  атайды. 
Өйткені, ол оны дəлелдеуге тырысқан (1746); ал ықтималдықтар теориясындағы 
«Даламбер парадоксы» онша сəтті болмаса да, оның бұл теориясының негіздері 
туралы ойластырғанын көрсетеді. 
Бұл дəуір бойында негізінен Ферма, Паскаль, Гюгенс идеяларын өңдеп, 
толықтыру  барысында,  ықтималдықтар  теориясы  жедел  дамытылады.  Я. 
Бернуллидің  «Болжалдау  өнерінің»  ізін  қуа  басқа  кітаптар  шығады.  Олардың 
ішінде  француз  гугеноты  Авраам  де  Муаврдың  «Кездейсоқтар  туралы  ілім»  
(1716)  бар.  Муаврдың  есімі  бірінші  рет  Эйлердің  «Кіріспесінде»  келтірілген, 
қазір 
ϕ
ϕ
ϕ
n
i
nx
i
n
sin
cos
)
sin
(cos
+
=
+
  пішіндегі  тригонометриялық  теоремамен 
байланысты  көпке  мəлім.  Муавр  1733  ж.  нормал  үлестірімділік  функциясын 
биномдық заңның аппроксимациясы ретінде қорытып шығарады жəне Стирлинг 
Ньютонның  жолын  қуушы  ағылшын  математигі,  ол  өзінің  қатарын  1730  ж. 
жариялаған.  
 
Осы  дəуірде  ұйымдасқан  көптеген  сан  алуан  лотерейлер  мен 
қамсыздандыру  компаниялары  Эйлердің  ықтималдықтар  туралы  ілімді  жаңа 
облыстарға  қолдануды  көздеген  əрекеттер  туғызады.  Қызғылықты  түрде 
жазылған  36  томнан  тұратын  «Табихи  тарихтың»  авторы  Бюффон    (1777  ж.) 
геометриялық 
ықтималдықтардың 
бірінші 
мысалын 
келтіреді. 
   
Дəл  осы  кездерде  ықтималдықтар  теориясын  адам  пікір  - 
қорытындыларына  қолдану  əрекеті  жасалады  (мысалы,  егер  əрбір  куəгердің 
шындық айтуының ықтималдығын білдіретін санды көрсету мүмкін болса, онда 
трибуналдың  дұрыс  үкім  шығаруының  мүмкіндігін  есептеуге  тырысқан)  . 
Мұндай  ағартушылық  ғасыры  философиясының  лебі  сезілетін  «  пікірлер 
ықтималдығы»  маркиз  Кондерсенің  еңбектерінен  үлкен  орын  алған.  Мұндай 
ықтималдықтар кейіннен Лаплас, тіпті Пуассонда да болған. 
Де  Муавр,  Стирлинг  жəне  Ланден  -  он  сегізінші  ғасырдағы  ағылшын 
математикасының мықты өкілдері. Бұл жерде құрылықтағы əріптестерімен тең 
түсе  алмайтын,  басқа  да  кейбір  ағылшындар  туралы  да  айтуымыз  қажет. 
Ағылшын  ғылымы  Ньютонды  құрметтеу,  пір  тұту  ауыр  салмағын  басынан 
кешірген.  Əсіресе  оның  Лейбниц  таңбалауларымен  салыстырғанда  ыңғайсыз 
таңбалауы  прогреске  тежеу  салды.  Ағылшын  математиктерінің  Ньютонның 
флюксия  методынан  босана  алмауының  мұнан  басқа  да  терең  қоғамдық 
себептері  бар  еді.  Франциямен  үзбей  сауда  соғысын  жүргізген  Англияда  тек 
қана  жеңістермен  ғана  емес,  құрылық  философтарын  таң  қалдырған 
ағылшынның  саяси  жүйесінен  туған  интеллектуалдық  артықшылық, 
тəкаббарлық  сезім  қатты  дамиды.  Англия  осы  қияли  кемелдіктің  құрбаны 
болады,  он  сегізінші  ғасырдағы  ағылшын  математикасы  мен  кейінгі 
александриялық  дəуірдегі  грек  математикасы  арасында  бұл  жөнінде  ұқсастық 
бар. Екі жағдайда да ыңғайсыз таңбалаулар прогреске техникалық қиыншылық 

келтірілген,  ал  сонда  да  болса,  математикаға  қанағаттану  себептері  терең 
қоғамдық сипаттан туындайды. 
Ағылшын тілін пайдаланған жетекші математик бұл кезде Ньютонның 
жолын қуушы жəне көз көргені Эрдинбург университетінің профессоры Коллин 
Маклерон  еді.  Оның  флюксия  əдісін  зерттеулері  мен  жалпылаулары,  екінші 
жəне  одан  жоғары  ретті  қисықтар,  эллипсоидардың  тартылуы  жөніндегі 
еңбектері Клеро мен Эйлердің зерттеулерімен қатар жүргізіледі. Маклеронның 
кейбір  теоремалары  қазіргі  жазық  қисықтар  теориясы  мен  проективтік 
геометрияға  енді.  Оның  «Органикалық  геометриясында»  (1720)  қазір  Крамер 
парадоксы  аталып  жүрген  мынадай  ескертпені  кездестіреміз:  n-  ретті  қисық 
)
3
(
2
1
+
n
n
 нүкте арқылы əрқашанда анықтала бермейді, үшінші ретті қисықты бір 
мəнді анықтау үшін тоғыз нүкте аз, ал он нүкте тым артық болуы мүмкін. Осы 
жерде  əр  түрлі  ретті  жазық  қисықтарды  сызу  үшін  кинематикалық  əдістер 
келтіріледі.  Ньютонды  Берклиден  қорғап  алуға  арналған  Маклеронның 
«Флюксиялар  туралы»  трактатын  (1742)  ескі  геометриялық  тілмен 
жазылғандықтан,  түсіну  қиынға  соғады,  бұл  жағынан  ол  Эйлер  еңбектерінің 
ұғымына  кереғар  келеді.  Маклерон  əдетте  Архимедтің  қатандығына  ұмтылған. 
Кітапта айналу эллипсоидтары тартылуы туралы Маклеронның зерттеулері жəне 
екі  конфокальдық  эллипсоид  ось  бойындағы  немесе  экватордағы  бөлшекті 
олардың  көлемдеріне  пропорционал  тартатыны  туралы  теорема  бар.  Бұл 
трактатта  Маклерон  атақты  «Маклерон  қатарын»  пайдаланады.  Шынында  бұл 
қатар  бұрын  корольдік  қоғам  хатшысы  Брук  Тейлор  жазған  «Өсімшелер 
əдісінде»  (1715)  жарық  көрген,  ал  одан  да  бұрын  И.  Бернулли  ашқан,  тіпті 
Лейбницке  де  белгілі  болған.  Маклерон  оны  Тейлордан  алғанын  мойындайды. 
Тейлор қатарын қазір əрқашан да Лагранж таңбалаулары бойынша келтіреді; 
..........
)
(
!
2
)
(
)
(
)
(
2
1
+
+
+
=
+
x
f
h
x
hf
x
f
h
x
f
H
 
 
Тейлор  бұл  қатарды  x=0  болғанда  анық  келтірген,  алайда  көптеген 
оқулықтарда ол Маклерон қатары аталып жүр. Тейлорда қатардың жинақылығы 
туралы  түсінік  жоқ,  ал  Маклерон  мұндай  зерттеулерді  жүргізе  бастаған.  Тіпті 
шексіз  қатарлардың  жинақылығының  интегралдық  белгісін  игерген.  Тейлор 
қатарының  маңыздылығын  Эйлер  оны  өзінің  «Дифференциалдық  есептеуінде» 
қолданғаннан  кейін  барып  толық  мойындалады.  Лагранж  оған  қалдық  мүше 
қосып,  оны  өзінің  функциялар  теориясына  негіз  етеді.  Тейлор  өзінің  қатарын  
кейбір  дифференциалдық  теңдеулерді  интегралдауға  пайдаланған.  Ол  шектің 
тербелістерін зерттеуді бастайды, мұны кейін Даламбер т.б. жалғастырады. 
Жозеф Лун Лагранж (1736-1813 ж.) Турин қаласында итальян-француз 
семьясында  туған.  Он  тоғыз  жасында  Туриндегі  артиллериялық  мектептің 
математика  профессоры  болады.    1766  ж.  Эйлер  Петербургке  кеткенде    II 
Фридрих Лагранжды Берлинге шақырады. Шақыру хатта «Европаның асқан ұлы 
геометрі  асқан  ұлы  корольдің  қасында  болғаны»  лəзім деп  жазылған.  Лагранж 
Берлинде Фридрих өлгенге дейін   (1786)  қызмет  жасап,  онан  кейін  Парижге 
орын  ауыстырады.  Революция  кезінде  өлшемдер  мен  салмақтар  реформасына 

қатысады, кейіннен алғашында Нормальдық мектептін (1795) сонан кейін 1797 
ж. Политехникалық мектептің профессоры болады. 
Вариациялық  есептеу  бойынша  зерттеулер  Лагранж  қызметінің 
алғашқы дəуіріне келеді. Эйлердің бұл мəселе туралы мемуары  1755 ж. жарық 
көреді.  Лагранж  Эйлер  əдісі  туралы  «ол  таза  талдауға  жарасымды  келетін 
қарапайым  емес»  деп  сын-ескертпе  жасаған.  Осының  нəтижесінде  Лагранж 
бүкіл творчествосына тəн, қорланған тарихи материалды аса тəртіпке келтіріп, 
өңдеп  өз  жаңалықтарын  қоса  келтіру  əдісімен  баяндалған  Лагранждың  таза 
аналитикалық  вариациялық  есептеуі  пайда  болады    (1760-61).  Лагранж  өзінің 
теориясын  бірден  механика  есептеріне  қолданады,  мұнда  ол  ең  аз  əсер 
принципінің  Эйлерлік  тұжырымын  толық  пайдаланады.  «Аналитикалық 
механиканың»  (1788) негізгі көп идеялары Лагранж өмірінің туриндік кезеңінде 
табылған. Осымен қатар ол, өз заманындағы негізгі проблемалардың бірі болған 
Ай қозғалысы теориясын зерттеуге ат салысады. Ол үшін дене есебінің алғашқы 
дербес шешімдерін табады. Лагранж теоремасы бойынша, бірде уақытта жүріп 
өтетін  орбиталары  ұқсас  эллипстер  болатындай  үш  дененің  бастапқы  орнын 
табу  мүмкін    (1772).      1767  ж.  оның  алгебралық  теңдеудің  заттық  түбірін 
ажырату  жəне  оларды  үздіксіз  бөлшектер  жəрдемімен  жуықтап  табу  əдістері 
баяндалған «Сандық теңдеулерді шешу туралы» мемуары шығады. Сонан кейін 
1770  ж.  төртінші  дəрежеден  жоғары  емес  теңдеуді  шешуге  мүмкіндік  беретін 
əдістер,  төртінші  дəрежеден  жоғары  дəрежелерүшін  ешнəрсе  бермейтінінің 
себептері  қарастырылған  «Теңдеулердің  алгебралық  шешу  туралы»  трактаты 
жарияланады.  Бұл  Лагранжды  түбірлердің  рационалдық  функцияларына  жəне 
түбірлерді ауыстыруды олардың өзгеріс-сипаттарын зерттеуге əкеледі. Мұндай 
əдіс 
4
f
n
  болған  жағдайда  Руффини  мен  Абель  еңбектері  үшін  стимул  болып 
қана  қоймай,  Галуаны  группалар  теориясына  əкелген.  Лагранж  сандар 
теориясын да ілгерілетеді, ал квадрат қалындыларды қарастырады. Ішінде əрбір 
бүтін  сан  төрт  немесе  одан  кем  сандардың  квадраттарының  қосындысы 
болатыны туралы теорема бар бірсыпыра теоремалар дəлелдейді. 
Өмірінің  екінші  кезеңін  Лагранж  үлкен  еңбектеріне  –  «Аналитикалық 
механика»,  «Аналитикалық  функциялар  теориясы»  жəне  оның  жалғасы 
«Функцияларды  есептеу  жөнінде  дəрістерді»  жасауға  арнайды.  Функциялар 
теориясының екі кітабы да анализге алгебраға сүйенген сенімді іргетас қалауға 
əрекет  болып  табылады.  Лагранж  Ньютон  нұсқасын  жасап,  Даламбер 
тұжырымдаған түрдегі шектер теориясын қабылдамайды. Ол 
х
у
∧
∧
 өзінің шегіне 
жеткенде  не  болатынын  өзі  де  білмей  дал  болады.  Ньютонның  шексіз  аздар 
əдісіне  риза  болмаушылардың  бірі,  француз  революциясы  кезінде  «жеңісті 
ұйымдастырушы»  Лазарь  Карноның  сөзімен  айтқанда:  «бұл  методтың  үлкен 
кемшілігі  мөлшерлер  (сандар)  мөлшерлер  болудан  қалған  жағдайда 
қарастырылады;  біз  шекті  болып  тұрған  екі  мөлшердің  қатынасын  жақсы 
елестетеміз,  ал  оның  мөлшері  бір  уақытта  түк  болмай  қалған  кезде,  біздің 
ақылымыз ол қатынасты анық та дəл елестетуден қалыс қалады». Лагранждың 
əдісі  өзінің  алдындағылардан  өзгеше  болды.  Ол  қалдық  мүшесімен  бірге 
қорытылған Тейлор қатарынан бастайды, біраз үстірттеу түрде «кез келген» f(x) 

функциясы  таза  алгебралық  процесс  арқылы  осындай  қатарға  жіктелуі  мүмкін 
екенін  дəлелдейді.  Сонан  соң 
)
(
),
(
11
1
υ
f
x
f
....    туындылады  f(x+h)-  тің  h 
дəрежелері  бойынша  Тейлор  қатарына  жіктегенде 
2
,h
h
....    коэффициенттері 
ретінде анықталады (
)
(
),
(
11
1
x
f
x
f
..........  таңбалауларын Лагранж  енгізген). 
Анализді негіздеудің бұл алгебралық методы қанағаттанарлықсыз жəне 
Лагранж  қатарлардың  жинақылығына  жетерліктей  көңіл  бөлмегенмен, 
функцияларды  мұндай  абстрактылы  баяндау  алға  қарай  жасалған  елеулі  адым 
еді.  Бұл  жерде бірінші рет  заттық айнымалы функциялар  теориясы жəне  оның 
алгебра мен геометрияның əр түрлі есептеріне қолданылуы көрініс береді.  
«Аналитикалық  механиканы»  Лагранждың,  бəлкім,  ең  бағалы  еңбегі 
деп  айту  артық  емес.  Оны  əлі  де  тəптіштеп  зерттей  түсу  қажет  Ньютонның 
«Бастамаларының»  жүз  жылдан  кейін  шыққан  бұл  кітапта  кемелденген 
талдаудың  барлық  күш-қуаты  нүктелер  мен  қатты  денелердің  механикасына 
қолданылған.  Эйлер,  Даламбер  жəне  он  сегізінші  ғасырдың  басқа  да 
математиктері  жетістіктері  мұнда  бұрынғы  тұрғыдан  өңделіп,  зерттеліп,  одан 
ары дамытылады. Лагранждың вариациялық есептеуін толық қолдану арқасында 
статика мен динамиканың əр түрлі принциптерін біріктіру мүмкін болды; мұнда 
статикада-виртуалдық  жылдамдықтар  принципі,  ал  динамикада-  Даламбер 
принципі  қолданылады.  Бұл  табиғи  түрде  жалпыланған  координаттар  мен 
қозғалыстардың  Лагранж  формасындағы 
t
F
qt
dt
qt
dt
df
d
=
∂
−
∂
)
(
  теңдеулеріне  əкелді. 
Енді  Ньютонның  геометриялық  тəсілінің  қажеті  болмай,  ол  толық  алынып 
тасталды.  Лагранждың  кітабы  таза  талдаудың  салтанат  құруы  болды.  Оның 
авторы  алғы  сөзінде,  «Бұл  еңбекте  ешқандай  сызбалар  жоқ,  мұнда  тек 
алгебралық амалдар бар» деп ашық көрсетеді. Бұл Лагранждың ең бірінші таза 
аналитик екенін сипаттайды. 
Біз енді он сегізінші ғасырдың соңғы- жетекші математигі Пьер Симон 
Лапласқа  (1736-1813)  көшеміз.  Нормандиядағы  қарапайым  жер  иеленушінің 
баласы,  ол  Бомон  жəне  Кан  қалаларында  оқып,  білім  алады.  Даламбердің 
көмегімен Париждегі əскери мектептің профессоры болады. Ол бұдан басқа да 
оқытушылық  жəне  əкімшілік  қызметтер  атқарады.  Революция  кезінде 
Нормальдық  жəне  Политехникалық  мектептерді  ұйымдастыруға  қатысады. 
Наполеон оған көп құрмет көрсеткен, оны XVIII Людовик те жоғары бағалаған. 
Монж пен Карноға қарама-қарсы Лаплас өзінің саяси көзқарастарың тез өзгертіп 
отырған,  онда  көрсеқызарлық,  мағынасыз  мансапқорлықтың  да  кейбір 
көріністері  бой  көрсеткен.  Мұндай  тұрақсыздық,  бейімделгіштік  оған 
франциядағы  барлық  саяси  құрылыстар  кезінде  таза  математикалық 
жұмыстарын жүргізе беруге мүмкіндік жасаған. 
Өзінің  ғана  зерттеулер  қорытындысын  жинақтап  қана  қоймай,  сəйкес 
салалардағы өзіне дейінгі барлық жұмыстардың нəтижесі келтірілген Лапластың 
екі  үлкен  еңбегі  бар.  Олар:  «Ықтималдықтардың  аналитикалық  теориясы»  
(1812) жəне «Аспан механикасы»  (5 том, 1799-1825). Бұл екі монументтальдық 
туындыға  «Ықтималдықтарға  қатысты  философиялық  тəжірибе»  (1814)  жəне 
«Əлем  жүйесін  баяндау»    (1796)  деп  аталатын  көпшілікке  түсіндірме  еңбекті 

қоса  жариялайды.  «Əлем  жүйесінде»,  1755  ж.  Кант  ұсынған  күн  жүйесінің 
тұмандықтардан  пайда  болуы  жөніндегі  гипотезаны  дамытады.    «Аспан 
механикасы»  Жер  фигурасы  теориясы,  Ай  теориясы  күн  жүйесінің 
орнықтылығы  туралы  негізгі  проблеманы  қамтыған  үш  дене  есебі  туралы 
Ньютон, Клеро, Даламбер, Эйлер, Лагранж жəне Лаплас еңбектерінің аяқталуы, 
қорытындысы  болып  табылады:  «Лаплас  теңдеуі»  термині 
0
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
y
x
υ
υ
υ
, 
бізге  «Аспан  механикасының»  бір  бөлігі  потенциалдар  теориясы  болғанын 
аңғартады.  Бұл  теңдеудің  өзін  1752  ж.  гидродинамиканың  кейбір  негізгі 
теңдеулерін  қорыту  кезінде  Эйлер  тапқан.  Бұл  бес  томдық  үлкен  еңбекке 
қатысты  бірсыпыра  анекдоттар  таралған.  Напелеон  Лапласты  кітабында  құдай 
туралы  айтпапсың  деп  кінəлағанда,  ол  «Тақсыр,  маған  ондай  гипотезаның 
қажетті  болмады»-  деп  жауап  берген  көрінеді.  Гамилотонның  математикалық 
мансабы Лапластың «Аспан механикасынан» тапқан қатесінен басталған. Грин 
Лапласты  оқу  барысында  электрдің  математикалық  теориясы  туралы  идеяға 
келген. 
«Ықтималдықтарға  қатысты  философиялық  тəжірибе»  -  жеңіл 
жазылған ықтималдықтар теориясына кіріспе іспеттес. Мұнда «тең ықтималды 
оқиғалар»  көмегімен  ықтималдықтың  Лапластық  «теріс»  анықтамасы 
келтірілген. 
 
 
«Ықтималдықтардың  аналитикалық  теориясы»  трактатының  мазмұнының 
байлығы  сонша,  ықтималдықтар  теориясы  бойынша  ашылған  көп  жаңалықтарды 
Лапластан кездестіруге болады. Бұл көлемді еңбекте құмар ойындары, геометриялық 
ықтималдықтар  ,  Бернулли  теоремасы  жəне  оның  қалыпты  үлестіру  интегралмен 
байланысы,  Лежандр  ойлап  тапқан  ең  кіші  квадраттар  теориясы  егжей-  тегжейлі 
қарастырылған  .  Лаплас  ағылшын  Томас  Байестің  ықтималдықтар  теориясы  (1763-
1764) нобайын қайта тұжырымдап, оны ұмыт болудан сақтап қалады. 
 
Бір  қызығы,  он  сегізінші  ғасырдың  аяғына    қарай  бірсыпыра  жетекші 
математиктер  математикалық зерттеу салалары түгесіліп барады дегенге саятын хауіп 
айта  бастайды.  Олардың  пайымдауынша,  Эйлер,  Лагранж,  Даламбер  жəне 
басқалардың  еңбектері  мен  ыждахатты    ізденістері  нəтижесінде  ең  маңызды  деген 
теоремалар  ашылып  болды.  Олар  тиісті  түрде  ретке  келтіріліп    классикалық 
трактаттарда  баяндалған  немесе  жақын  уақытта  баяндалады,  келесі  ұрпақтың  саны 
шақтаулы  математиктеріне  маңызы  онша  емес  есептерді  ғана  шешу  қалады.  «Сізге 
жоғары  геометрия  (яғни  математика,  А.К.)  бір  жағынан  төмендеп  келе  жатқандай 
көрінбей ме?- деп жазады Лагранж. 1772 ж. Даламберге- Оны сіз бен Эйлер екеуіңіз 
ғана  ұстап  тұрсыз».  Лагранж  біраз  уақыт  математикамен  айналысуды  қояды. 
Даламбер  үміттенерліктей  жауап  айтпаған.  Мұндай  пессимистік  сезімнің  төркіні- 
математиканың  прогресін  механика  мен  астрономияның  прогресімен  бірдей 
санаушылықта жатыр еді.  Шынында ежелгі Вавилоннан Эйлер мен Лаплас заманына 
дейін    астрономия  тамаша  математикалық  жаңалықтардың  жетекші  жəне 
шабыттандырушы  күші  болып  келген,  енді  бұл  прогресс  өзінің  ең  шарықтау  шегіне 
жетеді.  Алайда,  француз  ревалюциясы  мен жаратылыстанудың  гүлденуі  ашқан  жаңа 
перспективалармен  шабыттанған  жаңа  ұрпақ  бұл  песимизмнің  негізсіздігін  көрсетуі 

қажет  болды.  Гаусс,  Галуа,  Н.И.  Лобачевский    бас  болған  он  тоғызыншы  ғасыр 
математиктері мұны толық дəлелдеп шықты. 
 
Он  тоғызыншы  ғасыр  математикасы  туралы  сөз  бастамас  бұрын  оның  өткен 
дəуірдегі  математикаға  енгізген  кейбір  сапалық  өзгешеліктерін  айта  кеткен  жөн. 
Мұнда  жаңа  математикалық  бағыттар  пайда  болады.  Дəл  ғылымдар  түпкі  мақсаты 
механика мен астрономия болып келген бұрынғы дəстүрден бірітіндеп арылып, жалпы 
алғанда,  экономика  немесе  əскери  істер  сияқты  тікелей  қолданыс  талабынан  іргесін 
ажыратады.  Енді  ғылыммен  ғылымның  өзі  үшін  айналысатын  мамандар  қалыптаса 
бастайды.  Мамандықтардың  көбейіп  өсуі  математика  жəне  қолданбалы  математика 
тарауларының бөлінуімен қатар жүрді.  
 
Енді  математиктер  тек  академиялар,  патша  сарайы,  бекзадалар  маңында  ғана 
қалып  қоймайды,  университеттерде  дəріс  беріп,  ғылым  мен  оқытушылық  жұмысты 
қатар алып жүруге мəн береді. Мəселен, Бернулли, Лагранж жəне Лапластар сияқты  
дəріс  беретін  ұлы  математиктер  ұстаздық  жауапкершілігімен  қатар  əрі  тəрбиеші,  əрі 
жетекші  қызметті  атқарады.  Латын  тілінің  орнына  ұлттық  тілдер  (неміс,  француз, 
ағылшын,  орыс,  т.б.)  енеді.  Оқшау  салалар  бойынша  жұмыспен  шұғылданатын 
математиктер  үшін  Лейбниц,  Эйлер,  Даламбер  сияқты  əмбебаптар  сирек  кездесетін 
құбылысқа айналады. Мəселен Коши- аналитик, Кели- алгебрашы, Штейнер- геометр, 
Кантор-  жиын  теориясын  негіздеуші,  т.б.  Сондай-ақ  бірнеше  мамандықты  еркін 
меңгерген  Гаусс,  Риман,  Клейн,  Пуанкаре  сияқты  дарындылар  еңбектері  он 
тоғызыншы ғасыр математиктеріне аса зор ықпал жасады. 
 
Біз  XIX  ғасырдың бірінші  жартысында  жаңа дəуірді бастаушы  көрнекті Гаусс, 
Коши, Галуа, Абель, Бояи, Лобачевский сияқты математиктерге тоқталып өтпекшіміз. 
 
Он  сегізінші  жəне  он  тоғызыншы  ғасырлар  математикасына  ортақ  ең  ірі  тұлға 
математика  патшасы  атанған  Карл  Фридрих  Гаусс  болды.  Ол  1777  ж.  немістің 
Брауншвейг  қаласында  қарапайым  қолөнершінің  семьясында  туған.  Жас  баланың 
айрықша  зеректігін  кездейсоқ  байқай  қалған  дуанбасы  оны  оқытып,  тəрбиелеуді  өз 
қамқорлығына  алады.  1795-1798  жылдары  Гаусс  Геттингенде  оқиды  да,  1799  ж. 
Хельмштедте  бірден  докторлық  дəреже  алады.  1807-  1855  жылдар  арасында  ол  осы 
қаладағы астрономиялық обсерванторияның директоры жəне университет профессоры 
болып жұмыс атқарады. 
 
Гаусстың  күнделігінен  ол  он  жеті  жасқа  толар-толмастан-ақ  математикада 
таңқаларлық  жаңалықтар  ашқанын  көреміз.  Мысалы  1795  жылы  Эйлердің  тəуелсіз 
сандар  теориясындағы  квадраттық  арақатыс  заңын  табады.  Оның  жаңалықтары1799 
жылғы  докторлық  диссертациясына  жəне  1801  жылы  жарық  көрген  көлемді 
«Арифметикалық  зерттеулерінде»  баяндалған.  Диссертацияда  «алгебраның  негізгі 
теоремасының» , яғни нақты коэффициентті əрбір алгебралық теңдеудің кем дегенде 
бір  түбірі  бар  болатыны,  яғни  теңдеудің  дəреже  көрсеткішінде  қанша  бірлік  болса, 
сонша  түбірі  болатыны  туралы  теореманы  келтірген.  Гаусс  1816  жылғы  осы 
теоремасының екінші дəлелінде комплекстік интегралдарды пайдаланады, мұның өзі 
оның комплекстік сандар теориясын ерте кезден –ақ игергенін көрсетеді. 
 
«Арифметикалық зерттеулерінде» Гаусс сандар теориясы бойынша өзіне дейінгі 
математиктердің еңбектерін жинақтап, өз тарапынан іргелі жаңалықтарды қосады. Бұл 
кітап  қазіргі  сандар  теориясының  бастамасы  еді.  Мұнда  ең  негізгі  орынға  ол 
квадраттық  формалар  мен  қалындылар  (вычет)  теориясы  мен  екінші  дəрежелі 

салыстыруларды  қойған.  Бұл  еңбектегі  басты  жетістік  «алтын  теорема»  деп  аталған 
квадраттық арақатынас заңы болып табылады, мұның толық дəлелін тұңғыш берген де 
Гаусс.  Ол  бұл  теореманы  алгебраның негізгі  теоремасынан  кем санамаған,  кейінірек 
оның бес дəлелін келтірген, ал бір дəлелі Гаусс өлгеннен кейін қалған қағаздарынан 
табылған. «Арифметикалық зерттеулерге» бұдан басқа Гаустың дөңгелекті бөлу , яғни 
  теңдеуінің түбірлері туралы тапқан нəтижелері де енгізілген. Мұнда тек қана 
циркуль  мен  сызғышты  пайдаланып  дұрыс  он  жеті  бұрышты  көпбұрышты,  оны 
жалпылай  келіп  дұрыс  n-  бұрышты    (
) 
салуға болатын туралы тамаша теорема дəлелденген. 
 
Гаусс  математикалық  есептеулерін  астрономия  кəдесіне  жаратумен  де  көп 
айналысқан.  1801  жылдың  1  қантарында  астрономдар  Пиации  мен  Палермо  кіші 
планетаны  (астеройдты)  Церераны  ашады.  Математиктердің  алдына  бақылауды  ғана 
пайдаланып,  жаңа  планетаның  орбитасын  есептеу  проблемасы  қойылады.  Гаусс  бұл 
проблеманы сегізінші дəрежелі алгебралық теңдеуге келтіріп шешеді. Ал 1802 жылы 
екінші  астеройд  Палладаның  ашылуына  байланысты Гаусс  планеталардың  ғасырлық 
ұйытқу  мəселелерімен  айналысады.  Осының  нəтижесінде  «Аспан  денелері 
қозғалысының  теориясы»  атты  еңбегі,  кез  келген  эллипсойдтардың  тартылуы  жəне 
механикалық  квадратуралар  жəне  ғасырлық  ұйытқулар  туралы  зерттеу  жұмыстары 
жарық көреді. 1812 ж. Гаусс көптеген функцияларды тұтас бір көзқарас тұрғысынан 
қарастыруға  мүмкіндік  беретін  гипергеометриялық  қатарлар  туралы  мақала 
жариялайды, сөйтіп бұл қатарларды ең бірінші болып жүйелі зерттейді. 
 
1820  жылдан  кейін  Гаусс  геодезиямен  қызу  айналыса  бастайды.  Мұнда  ол 
теориялық зерттеулермен бірге  триянгуляция бойынша көлемді  жұмыс атқарады. Бұл 
тұстағы оның ең маңызды жетістігі- «Қисық беттерге қатысты жалпы зерттеулер» деп 
аталатын еңбегі. Мұнда да ол геометриялық практикалық бағыттағы ізденістерін аса 
нəзік  теориялық  талдаумен  шебер  ұштастырады.  Бұл  еңбек  те  «Беттің  ішкі 
геометриясы»  деп  аталатын  ілім  жасалады.  Мұндағы  табылған  ең  күшті  «асқан 
теорема» былай тұжырымдалады: беттің толық қисықтығы тек қана E, F, G олардың 
туындыларына  ғана  тəуелді,  яғни  бүктеу  кезінде  инвариантты  болады.  Геодезия 
проблемаларымен  беріле  араласып  жүрген  кездерінде  де  Гаусс  өзінің  математика 
патшасы-    сандар  теориясынан  қол  үзбейді.  Жоғарыда  айтылған  «Арифметикалық 
зерттеулеріндегі»  квадраттық  қалындылар  теориясын  жалғастырып,  ол  биквадрат 
қалындылар туралы еңбектерін жариялайды. Бұған ол комплекс сандардың теориясын 
қолданады. ОЛ 1831 жылы комплекс сандардың алгебрасы ғана емес, арифметикасын 
да  жасауға  əрекеттенеді.  Мұнда  жай  сандар  жаңа  сандар  түрінде  кескінделеді. 
Комплекс  сандардың  бұл  жаңа  теориясы  арифметикадағы  көптеген  жұмбақ 
жəйттердің бетін ашты. Бұл еңбегінде Гаусс математика тарихындағы алғашқылардың 
қатарында комплекс сандарды жазықтық нүктелерімен кескіндеуді енгізеді. 
 
Гаустың ғылыми- математикалық əрекеті 1855 жылы өзі қайтыс болғаннан кейін 
де  бəсеңдемеді.  Өмірінің  соңғы  жылдарында  ол  қолданбалы  математика  мəселерін 
шешуге бар күшін сарп етеді. Оның көптеген елеулі жаңалықтары көзі тірісінде баспа 
бетін  көрмей  белгісіз  болып  келген.  Ол,  мəселен,  1800  жылы  элиптикалық 
функцияларды  ашқаны,  ал  1816  жылдар  шамасында  биевклидтік  (евклидтік  емес)  
геометрияны меңгергені кейін мəлім болды. «Биевклидтік геометрия» деген терминді 
Гаусс  енгізген,  бірақ,  бұл  саладағы  зерттеулерін  еш  жерге  жарияламаған,  тек 

достарына  жазған  кейбір  хаттарынан  оның  Евклидтік  параллель  түзулер  туралы 
аксиомасын  дəлелдеу  əрекеттеріне  қарсы  шыққаны  аңғарылады.  Сірə,  Гаусс,  басы 
ашық  емес,  талас  мəселені  көпшілік  талқысына  салуды  жөн  көрмесе  керек.  Алайда 
кеңістік  ұғымы  априорлы  (тəжірибеден  тыс)  жəне  тек  ғана  евклидтік  түрде  деген 
Канттың 
доктринасына 
қарсы 
шығып, 
күмəнданып 
кеңістіктің 
ақиқат 
геометриясының  сыр  –  сипаты  эксперимент  арқылы  танылатын  физикалық  құблыс 
деп  қарайды.  Қалай  болғанда  Гаусс  биевклидтік  геометрияның  негізін 
қалаушылардың қатарынан орын алады. 
 
XIX  ғасырдың  бірінші  жартысында  Франциядағы  əйгілі  политехникалық 
мектептің маңына ірі математиктер топтасады (Монж, Пуассон, Фурье, т.б.). Олардың 
арасында  Огюстен  Кошидің  шоқтығы  биік  еді.  Кошидің  математикалық  анализ 
жөніндегі  ірі  жетістіктері  оның  механика,  оптика,  т.б.  салаларындағы  көптеген 
еңбектерін  ығыстырып  жібереді,  алайда  серпімділіктің  математикалық  теориясын 
жасаған  екі  математик  болса,  соның  (екіншісі  Навье)  бірі  болғанын  білуіміз  керек. 
Қалай  дегенде  де  Кошиді  даңққа  бөлеген  екі  жаңалық  болды.  Оның  бірі-  комплекс 
айнымалы функциялар теориясы, екіншісі- математикалық анализдің қатаңдығын іске 
асыру жөніндегі идеялар. Комплекс айнымалы функциясы Кошиге дейін де енгізілген 
(Даламбер, т.б.) . Алайда Коши оны гидродинамикамен аэродинамикаға ғана қажетті 
пайдалы  құралдан  математикалық  зерттеулердің  жаңа  да  дербес  саласына 
айналдырады. 
 
Коши өз замандастары Гаусс, Абель жəне Больцанолармен қатар математикаға 
жоғары  қатаңдықты  енгізушілердің  санатына  қосылады.  Он  сегізінші  ғасыр  ғасыр 
эксперимент,  тəжірибе  дəуірі  болғанмен  бұл  кезеңде  математиктер  өз  зерттеулерін 
негіздеуге  онша  көп  көңіл  бөлмеген.  Он  тоғызыншы  ғасырдың  бірінші  жартысында 
алынған  нəтижелердің  мағынасын  дəл  анықтау  қажеттігі  математиктерге  түрлі 
сауалдар қойды. Мұндай сауалдар талдауды негіздеу жəне шексіздіктің табиғаты, бар- 
жоқтығы  туралы  жинақталып  қалған,  шешуін  таппаған  проблемалар  көтерді.  Бұл 
проблемаларды  шешу  Коши  жəне  одан  кейінгі  толқын  Вейерштрасс,  Кантор  тағы 
басқа ғалымдардың үлестеріне тиеді. 
 
Кошидің анализге берген енгіздеуі қазіргі оқулықтарда келтіріліп жүр. Ол мұны 
өзінің  «Анализ  курсында»  жəне  «Корольдік  политехникалық  мектепте  оқыған 
дəрістер  жиынтығы»  (резюмесі)  атты  еңбегінде  баяндаған.  Ол  шексіз  даламберлік 
ұғымын  пайдаланып,  функцияның  туындысын  анықтайды.  Шектің  анықтамасын 
басшылыққа  алып 
  сияқты  шекті  мысалға  келтіреді.  Сонан  соң 
шексіз  аз  айнымалының  шегі  нөл  болатын  айнымалылы  сан  ретінде    анықтайды  да, 
одан əрі  
 шексіз аз шамалар (мөлшерлер)  болады деп алады. Содан кейін 
 
болғандағы 
бұл 
қатынастың 
шегін 
функцияның туындысы 
  деп атайды.  
Шексіз  қатарлар  теориясында  жинақтылықтың  бірнеше  белгісі  Кошидің  есімімен 
аталып жүр.  Оның кітаптарынан  Вейерштрасс зерттеулеріне арқау болған  талдауды 
арифметикаландыру  əрекеті  айқын  көрінеді.  Коши  дифференциялдық  теңдеулер  мен 
олардың  жүйесінің  шешуінің  бар  болуының  дəлелін  бірінші  береді.  1930  жылғы 
француз ревалюциясынан кейін Коши  Политехникалық мектептегі кафедраны тастап 

бірнеше жыл Турин мен Прагада болып (1838 ж.) Парижге қайтып келіп оқытушылық 
жұмыспен айналысады. 
 
Парижде  1811  жылы  тағыда  бір  математик  дүниеге  келеді.  Ол  əйгілі  Эварист 
Галуа  (1811-1832)  еді.  Галуа    Париж  маңындағы  кішірек    бір  қаланың  төрағасының 
семьясында  туған.  Политехникалық  мектепке  оқуға  екі  рет  əрекеттеніп,  түсе  алмай, 
Нормал  мектепке  оқуға  қабылданады,  бірақ  одан  да  шығарып  жібереді.  Ол 
математиканы оқып жүріп бір жағынан күнкөріс үшін , екінші жағынан ғылымға деген 
шексіз  құмарлығын,  əрекетін  заманындағы  демократиялық  гуманистік  идеялармен 
қатар дамытуға тырысқан. Ол 1830 жылы ревалюция кезінде республиканы жақтағаны 
үшін бірнеше ай түрмеге отырып шыққаннан кейін көп ұзамай жиырма бір жасында 
жекпе-  жекке  шығып  ,  қайтыс  болады.  Галуаның  редакцияға  жіберген  екі  мақаласы 
жоғалып кеткен, ал басқа бірнеше мақалалары өлгеннен соң көп жылдан кейін жарық 
көреді. Жекпе- жекке шығар алдында ол өзінің бір досына теңдеулер теориясы туралы 
ашқан  жаңалықтарын  қысқаша  жазып  беріп  кетеді.  Бұл  қайғылы  құжатта  ол  алда- 
жалда көз жұмғандай болса, ашқан жаңалықтарын көрнекті математиктерге жеткізуді 
өтінген екен. Ол хатын мынадай сөздермен тамамдапты: «Сен Якоби мен Гаусстан бұл 
теоремалардың  мағынасы  емес,  дұрыстығы  туралы  пікір-  қорытындыларын  сұрап 
алғайсың.  Мұнан  соң  бұл  былдыр-  батпақтың  (галиматьяның)  барлығының  егжей- 
тегжейін анықтап беретін кісілер шығып қалар деген сенімдемін». 
 
Ал  Галуаның  бұл  «былдыр-  батпағында»  қазіргі  алгебра  мен  қазіргі 
геометрияның  кілті  саналатын  топтар  теориясы  баяндалған  еді.  Бұл  идеялардың 
алғашқы  жобасы  Лагранж  бен  италья  математигі  Руффини  еңбектерінде  болған.  Ол 
алгебралық  теңдеудің  түбірлеріне  байланысты  болатын  түрлендіру  тобының  негізгі 
қасиеттерін  табады  да,  бұл  түбірлердің  рационалдық  облысы  осындай  топпен 
анықталатынын  көрсетеді.    Галуа  мұнда  инварианттық  ішкі  топтарының  басты 
орындалатынын  анықтап  береді.  Галуа  теориясында  кез  келген  дəрежелі  алгебралық 
теңдеулерді    шешумен  қатар  бұрышты  трисекциялау,  кубты    екі  еселеу  жəне 
биквадрат  теңдеулерді  шешу  сияқты  ескі  проблемалар  да  табиғи  орын  тапқан.  Ал 
жоғарыдағы хатқа келсек, ол Гаусстың да, Якобидің қолына тимейді. Математикалық 
қауым  оның  мазмұнымен  тек  ғана  1846  жылы,  яғни  Лиувил  оны  өзінің  журналында 
жарияланғаннан  кейін  барып  танысады.  Галуаның  ашқан  жаңалықтарының  толық 
мəн-  мəнісі  Камиль  Жорданның  «Ауыстырулар  туралы»  трактаты  жəне  Клейн  мен 
Лидің  еңбектерінің  арқасында  толық  мəлім  болады.  Галуаның  көп  саланың  басын 
біріктірген  зерттеулері  он  тоғызыншы  ғасырдағы  математиканың  ең  көрнекті 
жетістіктері қатарына жатады. 
 
Галуаның  қазір  біз  абель  интегралдары  деп  атап  жүрген  бір  айнымалының 
алгебралық функцияларының интегралдары туралы да жаңа идеялары болған. 
 
Он  тоғызыншы  ғасырдың  жиырмасыншы  жылдарында  шыққан  Норвегиялық 
атақты математиктердің бірі Нильс Генрих Абель еді. Абельде Галуа сияқты Қайғылы 
қысқа  өмір  сүреді.    Ол  Христиани  қаласында  студент  шағында    бесінші  дəрежелі 
теңдеуді  шештім    деген  сенімде  болады,  алайда  1824  жылы  жарық  көрген  бір 
мақаладан  ол  өзінің  қатесін  табады.  Бұл  бесінші  дəрежелі  жалпы  теңдеуді  ракалал 
арқылы шешу мүмкін еместігі туралы Абельдің əйгілі еңбегі болатын. Бомбелли жəне 
Виета заманынан бастап бұл есеп математиктердің зерттеулеріне нысана болды. Осы 
үшін Абель арнаулы стипендия алып Берлин, Италия жəне Францияға сапар шегеді. 

Осы  сапарында  Абель  қатарлар  жиыны  «абельдік»  интегралдар,  элиптиктік 
функциялар  туралы  зерттеулері  баяндалған  бірнеше  еңбек  жазады.  Шексіз  қатарлар 
теориясындағы Абель теоремалары берік ірге болып қаланады. 
 
Берлиндегі  аса  беделді  басылымда  (Крелль  журналында,  бұл  журнал  қазірге 
дейін шығады) оның бес мақаласы жарық көреді. Мəселен, 1827 жылы осы журналда 
шыққан «Эллиптикалық функциялары туралы зерттеулерінің» бірінші бөлімі қосарлы 
периодты  функциялар  теориясының  негізін  қалайды.  Абельдің  интегралдық  теңдеуі, 
абельдік  функцияларға  келтіретін  алгебралық  функциялар  интегралдарының 
қосындысы туралы абельдік теорема деген атаулар  қазіргі математикаға етене сіңіп 
кетті. Топтар теориясында коммутативтік топтардың абельдің есімімен аталуы Галуа 
мен Абель идеяларының өте тығыз байланыста болғанын көрсетеді. 
 
XIX  ғасырдың  бірінші  жартысында  геометрия  саласында  да  көрнекті 
математиктер  жемісті  ізденістер  жүргізген.  Мəселен,  прективтік  геометрияның  өз 
алдына  дербес  пəн  болуына  үлес  қосқан  1822  жылы  шыққан  француз  математигі 
Понселенің идеяларын одан əрі дамытып, жалғастырушылар неміс геометрлері болды. 
Бұл  тұрғыда  Штейнердің  есімі  бірінші  аталады.  Алгебралық  геометрияның  өкілдері 
Германияда Мебиус пен Плюккер, Францияда- Шаль, Англияда- Кели болды. Алайда 
геометриялық  осындай  жемісті  зерттеулер  тасасында  қалып  қойған,  бірақ  қазіргі 
математиканың туып, қалыптасуында айрықша мəні болған ірі жаңалық- биевклидтік 
геометрияның ашылуы еді. Бұл жетістіктің иелері ретінде Гаусс, Бояи жəне біздің ұлы 
отандасымыз Н.И. Лобачевскийдің аттары аталады. 
 
Биевклидтік  геометрияның  алғы  тарихи  Евклидтің  атақты  бесінші  постулаты 
немесе  параллель  түзулер  туралы  аксиомадан  басталады.  Бұл  постулат  өз  алдына 
дербес  тəуелсіз  аксиома  ма,  немесе  оны  басқа  аксиомалардан  шығарып  алуға  болу- 
болмауы  екі  мың  жыл  бойы  матемтиктерді  ойландырып  келген  проблема  болатын. 
Ежелгі дүниеде бұл сұраққа Птоломей, орта ғасырларда- Омар Хайям, Насыреддин, он 
сегізінші  ғасырда  Ламберт  пен  Лежандр  жауап  табуға  əрекеттенеді.  Бұлар  ол 
аксиоманы  теорема  ретінде  дəлəлдеуге  ұмтылыс  жасағанмен  олардың  ізденістері 
сəтсіз  шыққан.  Гаусс  параллельдер  туралы  постулатты  тəуелсіз  аксиома  санаған 
бірінші  адам  болатын,  егер  ол  аксиомаларды  басқаша  таңдаса,  Евклидтен  өзге 
геометриялар  шығатыны  туралы  логикалық  қорытынды  жасауға  болар  еді.  Бірақ, 
жоғарыда  айтқандай,  Гаусс  бұл  туралы  ойларын,  пайымдауларын  ешқашан 
жариялаған  емес.  Екі  мың  жыл  бойы  қалыптасқан  бұл  қағидаға  ашық  қарсы  шығып 
биевклидтік  геометрия  жасаушылар-  орыс  Николай  Иванович  Лобачевский  жəне 
венгр Янош Бояи еді. Өзінің идеясын алғаш ашық жариялаушы Қазан университетінің 
профессоры Лобачевский 1826 жылы Евклидтің параллель  түзулер аксиомасы туралы 
баяндама жасайды, оны орыс тілінде жарыққа шығарады. Бірақ бұл жаңалықпен Гаусс 
бастаған аз ғана адам танысады. Бұл кезде бұл мəселе жөнінде ой пікірлерін Бояи да 
жариялайды. 
 
Янош  Бояи  əскери  қызметте  болып,  үздік  офицер  абыройына  ие  болады.  Дəл 
осы кездерде ол Евклидтің бесінші постулатын тəуелсіз аксиома ретінде қарастырып 
мынадай    жаңалық  ашады:  «жазықтықта  берілген  түзуге  сондағы  басқа  бір  нүкте 
арқылы  ол  түзумен  қиылыспайтын  шексіз  көп  түзу  жүргізуге  болады  деген  басқа 
аксиомаға  негізделген  Евклидтік  емес  жаңа  геометрияны  құруға  болады  екен».  Бұл 
Гаусс пен Лобачевский идеясы еді.  Бояи өзінің ойлап- түйгендерін баяндап, оны 1832 

жылы  əкесінің  кітабына  қосымша  ретінде  «Кеңістік  туралы  мүлтіксіз  дұрыс  ілімді 
баяндайтын  қосымша  (аффендикс)»  атты  қосалқы  еңбегі  жарыққа  шығады.  Əкесі 
жалма-  жан  Гауссқа  хат  жазып,  ұлының  дəстүр-  қисынға  жатпайтын  көзқарасына 
ақыл-  кеңес  беруін  сұранады.  Гаусс  кіші  Бояидің  жұмысын  толық  қуаттайды,  бірақ 
оны аса мақтай алмайтынын, айта келіп «Қосымшадағы» идеялар өзінің ұзақ жылдар 
бойы сарымайдай сақтаған қорытындылары екенін білдіреді. 
 
Жас  Янош  бұл  құптау,  қуаттау  хаттан  көңілі  қатты  қалады.  Өйткені  Гаусстің 
оны  үлкен  дəрежелі  ғалым  санағанмен,  мұндай  ұлы  жаңалықты  бірінші  ашушы 
ретінде  қабылдамағанына  қиналады.  «Жығылғанға  жұдырық»  дегендей  1840  жылы 
неміс тілінде Лобачевскийдің кітабы шығып, біріншілік орыс математигінің еншісіне 
тиеді. 
 

жүктеу/скачать 1,46 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: