Лекция №8 элементы математической статистики и ее приложения план Понятие и виды корреляционного анализа
жүктеу/скачать 36,74 Kb.
|
Лекц 8. Элемент математическ статистики
| yi = f (хi)
И получаем среднеабсолютную медианную регрессию: Регрессионный анализ – это метод статистического анализа зависимости случайной величины у от переменных хj-(j=1, 2, ...,k), рассматриваемых в регрессионном анализе как неслучайные величины, независимо от истинного закона распределения хj. 2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Планирование эксперимента - раздел математической статистики, изучающий рациональную организацию измерений, подверженных случайным ошибкам. Под экспериментом здесь подразумевается следующее: Эксперимент - изучение зависимости целевой функции (или функции отклика) y от нескольких факторов x1 ... xn Цели планирования эксперимента: Теоретические: изучение характера зависимости, степень влияния различных факторов на целевую функцию, предсказание значения целевой функции при определенных значениях факторов. Практические: поиск оптимальных условий (набора значений факторов), при которых целевая функция достигает экстремума (минимума или максимума). Например: поиск условий измерения, чтобы погрешность была минимальна. Или: оптимизация условий хроматографического разделения для достижения максимального разрешения пиков. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ЭКСПЕРИМЕНТА Задача оптимизации одна из наиболее распространенных задач, встречающихся в практике измерительного эксперимента. Определение наилучших в некотором смысле условий, значений параметров и уровней факторов является во многих случаях основной целью эксперимента. Такого рода оптимизационные проблемы возникают, в частности, в следующих случаях: при управлении технологическими процессами и установками, где необходимо достижение требуемой производительности при наилучшем качестве и минимальных затратах; при проектировании устройств для подбора параметров, обеспечивающих наилучшие эксплуатационные характеристики; при создании новых образцов сплавов и синтезе химических веществ, обладающих определенными свойствами; при решении задач вычислительного характера, например, численное построение плана эксперимента, оптимального в соответствии с выбранным критерием. Методы экспериментальной оптимизации. С математической точки зрения задача оптимизации может быть сформулирована как нахождение значений управляемых факторов объекта исследования, при которых его отклик или критерий оптимизации достигает экстремального значения. Экстремальная точка при этом должна находиться с учетом ограничений на диапазон изменения управляемых факторов. Все методы оптимизации можно разделить на два основных класса: теоретические методы, применяемые в случаях, когда задача полностью определена с математической точки зрения и допускает применение известных аналитических методов оптимизации, например, дифференциального или вариационного исчисления, а также линейного, целочисленного и динамического программирования; экспериментальные методы, используемые в условиях, когда функция отклика не известна и имеется возможность измерить ее значение при различных комбинациях величин факторов. Экспериментальные методы характерны как для исследования различного рода физических объектов, так и для задач теоретического плана, если аналитические методы по тем или иным причинам не эффективны и приходится использовать численные методы решения. Главное отличие подобных задач от оптимизационных процедур чисто вычислительного плана – это присутствие неконтролируемых факторов, т.е. наличие шума случайного характера, а также ряд случаев детерминированного дрейфа. В этой связи особенно важным является решение вопросов эффективности различных методов оптимизации при наличии помех, сходимости алгоритмов и точности их функционирования в данных условиях. Экспериментальные методы можно разделить на две группы: поисковые методы и методы, основанные на предварительном получении эмпирической модели объекта, описывающей его поведение в области оптимума. В поисковых методах осуществляется последовательное локальное изучение поверхности отклика. Экспериментальное значение при этом достигается с помощью последовательных процедур, включающих в себя этапы: определение по результатам специально спланированного эксперимента направления движения из некоторой точки, в окрестностях которой проводится эксперимент; организацию движения в найденном направлении; повторение указанных этапов до достижения точки оптимума. В методах оптимизации, основанных на предварительном экспериментальном получении математической модели объекта, фактически предусматривают в отличие от поисковых, изучение не локальных, а общих свойств поверхности отклика в определенной области факторного пространства, где предположительно находится оптимум. В качестве подобной модели могут использоваться регрессионные модели в виде полного квадратичного полинома. При этом само определение точки экстремума осуществляется с помощью известных теоретических методов, например, дифференциального исчисления или линейного программирования. Для методов оптимизации наибольший интерес представляет проблема планирования эксперимента, обеспечивающего наивысшую точность в определении координат оптимума, а также рассмотрение специфики, возникающей при использовании стандартных аналитических методов нахождения экстремального значения применительно к статистическим моделям, построенным экспериментально. Использование ЭВМ при расчетах сложных процессов является принципиально необходимым для проведения экспериментов. Это дает возможность проводить имитационный эксперимент для объектов с адекватными математическими моделями. Понятие имитационного или вычислительного эксперимента впервые было сформулировано в 1945 году в связи с моделированием траектории движения нейтронов. В дальнейшем вычислительный эксперимент стал широко применяться в различных областях науки и техники. Выделяют два класса принципов имитационного моделирования: эксперименты, использующие описание исследуемого объекта с помощью уравнений; эксперименты, использующие непосредственно описание объекта. Первый класс, в конечном счете, сводится ко второму. Так, например, решать уравнение теплопроводности можно, моделируя броуновское движение молекул, т.е. вычисляя последовательно местоположение молекул. Проведение имитационного моделирования эксперимента с помощью ЭВМ состоит из следующих этапов: описание явления или процесса, подлежащего моделированию; определение количественных характеристик, доступных наблюдению или измерению; проведение необходимых упрощений и выбор типа математической модели; перевод модели на язык ЭВМ, т.е. выбор языка программирования и создание программы; анализ результатов расчета и сравнение с результатами натурного эксперимента или косвенными данными, имеющимися в распоряжении. Модели, изучение которых проводится с помощью имитационного эксперимента, отличаются от других возможностью наиболее полного учета всех факторов по сравнению с моделями, допускающими только аналитическое исследование. Модели принято подразделять на детерминированные и вероятностные. Простейшим примером детерминированной модели может служить модель системы, описываемой дифференциальным уравнением или системой таких уравнений. Детерминированные модели такого типа исследуются аналитически, если они достаточно просты, и с использованием ЭВМ. Имитационный эксперимент с помощью ЭВМ состоит в численном решении соответствующих уравнений. Примером вероятностных моделей являются в первую очередь системы массового обслуживания. Такие системы часто невозможно исследовать другими способами, кроме имитационного моделирования. Они характеризуются: случайным потоком заявок; случайным временем обслуживания. Современные ЭВМ снабжены датчиками случайных чисел, которые могут присваивать указанной переменной значение, равное реализации равномерно распределенной случайной величины. С их помощью получают разнообразные законы распределения случайных величин. Имитационный эксперимент имеет большие возможности, чем натурный, так как при этом имеется возможность изменения параметров закона распределения случайных величин. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ жүктеу/скачать 36,74 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|