Н.И. Лобачевскийдің ғылыми жұмыстары жайлы

20 жұмыстан тұрады. Лобачевскийдің “Алгебра және ақырлы есептеу” (Москва 1834), “Параллель түзулер теориясы бойынша геометриялық зерттеу” атты еңбектері бар.

Казань университетінің мүшелері 80 жылдар бойы Лобачевскийдің геометрияға қатысты шығармалар жинақтарын жинады.

1883-86 жылы Лобачевскийдің шығармаларында үлкен рөл атқарған шығармалар жинақтарының екі томы жарық көрді. Ол 400 данадан тұрған, соңғы жылдары библиографиялық сиректікті көрсетті.

Қазіргі кезде Лобачевскийдің шығармалары толық жинақ болып, алты томнан тұрады. Жоспар бойынша алғашқы үш томы Лобачевскийдің геометриялық шығармашылығынан тұрады, төртінші томында алгебра бойынша шығармашылықтары жинақталған, бесінші томы механика, астрономия анализ шығармашылықтарына қатысты болса, ал алтыншы томында Лобачевский туралы тарихи және библиографиялық мәліметтер жазылған.

Лобачевскийдің “Геометрия бастамалары” (1829-30) алғаш басылып шыққан мемуары геометрия тарихының екі кезеңінен тұратын шекарадан тұрады. Ол бірінші жағдайда 2000 жыл бойы математиктерге жұмбақ болып келе жатқан Евклидтің кез келген постулаты мен көрсетілген постулатты 100-ге жуық әртүрлі дәлелдеулер туралы сұраққа жауап іздесе, екінші жағдайда Лобачевскийдің мемуары геометрияның жаңадан бір бөлімін ашты.

Лобачевский осы мемуарда зерттеу мақсаты жайлы анықтап айтқан.

“Ешқандай математика ғылымы қараңғы түсініктен тұруға мүмкін емес екеніне бәрі келіседі, сондықтан параллель түзулер теориясында жіберілгендегідей математикада мұндай қатаң кемшілікке жол берілмеуі тиіс”.

Бұл теорияның Евклидтің параллель түзулер туралы постулатына сүйенетіні Лобачевскийді қызықтыра түсті. Ол осы Евклид постулаттарынан бас тартуды дұрыс деп шешіп, ішкі қайшылықтарын қорытындыламайтыннан өзгеше толығырақ өзінің геометриялық жүйесін құрды.

Лобачевский тамаша геометриялық салулар мен түсініктер көмегімен жаңа “жорамалдағы геометриядан” орын алатын жазық және сфералық геометрияға және аналитикалық геометрияға формула шығарды. Лобачевскийді “жорамал геометриясының” қаншалықты физикалық кеңістіктегі геометриялық арақатынасты бейнелейтіні қызықтырды. “Жорамал геометриядағы” анализ және интегралдық есептеуді қолдану формулалары да Лобачевскийдің назарында болды. “Геометрия бастамалары” мемуарының үлкен бөлігін осы тақырыпқа арнады.

Бұл мемуарда көбірек тараған Лобачевскийдің геометриялық зерттеулеріндегі мынадай барлық сұрақтар талданған:

“Жорамал геометрия” (1835), “Кейбір интегралдарды шешуде жорамал геометрияны қолдану” (1836), “Параллельдің толық теориясындағы жаңа геометрия бастамалары” (1835-38), “Параллель түзулер туралы геометриялық зерттеулер” (1840), “Пангеометрия”.

Лобачевский геометриясы кеңістіктер геометриясының теріс тұрақты қисықтығы, ал кәдімгі евклидтік геометрия геометрия кеңістігінің нөлдік қисықтығы болады. Бұдан Лобачевский мен Евклид кеңістігінің арасында маңызды айырмашылық бар екені шығады. Айырмашылықтарын ары қарай жалғастырайық.

Лобачевский геометриясында “қисықтық радиусы” деп аталатын “абсалют өлшем бірлігі” бар. Лобачевский кеңістігіндегі фигуралар R қисық радиусымен салыстырғанда өлшемі ең кіші болатындай евклид заңдылығы кеңістігі заңдылығына үлкен дәлдікпен бағынады. Дербес жағдайда үшбұрыштың қабырғалары R-мен салыстырғанда кіші болса, онда мына қатынастың мағынасын, яғни кәдімгі стандарт ұзындық өлшемін абсалют ұзындық өлшеміне бөлінетіндігін айтып береді. Сондықтан, жеңіл өлшенетін үшбұрыш қандай да бір шектеулі санға тең қабырғаға ие болады, онда К кіші болған сайын, екі түзуден өзгеше бұрыштардың қосындысы да кемиді, яғни жеңіл түрде берілген бөліктері нақты кеңістіктегі геометрияның евклидтік геометриядан айырмашылығы аз ғана болады.

Егер К=0 болса, реалды кеңістік евклидті геометрияға, ал К¹0 болса, Лобачевский геометриясына айналады.

Лобачевский тәжірибелік жолмен біздің кеңістікте кәдімгі немесе жорамалданған геометрияны қолдануға бола ма, жоқ па, соны тексерді. Ол осы мақсатқа жету үшін Жерге, Күнге және қозғалмайтын Сириус жұлдызына қатысты үшбұрыштың бұрыштарының төбелерінің қосындысын анықтады. Есептеулер ешқандай анықталған нәтижеге әкеле алмағандықтан, мынаны мойындады: “евклидтік жағдай әрқашан дәлелдеусіз қалса да, ақиқат ғана болатыны өте ықтимал”.

Лобачевскийдің әлемдік даңқын геометриядан жасаған еңбектері шығарды.

Анализ бойынша Лобачевскийдің мынадай статьялары бар:

“Тригонометриялық қатардың жойылуы жайында” (1834), “Шексіз қатардың жойылуына сену әдісі және өте үлкен сандар функцияларының мәндеріне жуықтау” (1835), “Шексіз қатардың жинақтылығы туралы” (1835-36), “ Кейбір анықталған интегралдар мәні” (1852-53).

Лобачевский осы статьяларының алғашқысында функция ұғымына жалпы анықтама берген және үзіліссіз дифференциалданатын функцияларды ажырата білген, сонымен қатар осы ұғымдардың әрбіреуіне жеке-жеке тоқталып өткен.

Лобачевский статьясының негізгі мазмұнында Пуассон, Дирихле, Риман және Лебег анықтаған нәтижеге сәйкес келетін анализ ғылымы бойынша алынған тригонометриялық қатарлар теориясына қатысты маңызды нәтижеге жетті.

Лобачевский осы сияқты геометрия және аналитикалық жұмыстарындағы “Алгебра және ақырлы есептеуде” оқытушылардың жетекшілігіне арналған және университет оқырмандарына қажет оқу құралын дайындап шығарған.

Лобачевскийдің “Алгебра” оқулығы он жеті бөлімнен тұрады, оның он үшінде элементар алгебра курстары жайлы көбірек жазылған; ал қалған бөлімдерінде “Тригонометриялық функция туралы” (14-бөлім), “Функция өсімшесі жайында” (15-бөлім),

“Екі айнымалыдан тәуелді теңдеулер” (16, 17-бөлім).

Лобачевский “Алгебраның” алғашқы 7 бөлімінде арифметикалық амалдар туралы негізгі сандар түсінігіне баяндама жасады.

Сандарға амалдар қолдана отырып, Лобачевский алдымен осы амалдарға қатысты қасиеттерді (жалғыздық, коммутативті) қарастырды және жаңа сандарға қолданылатын амалдар өз күшін алдыңғы сандарға да сол қалпы сақтайтынын дәлелдеген.

Лобачевскийдің “Алгебрасының ” қалған бөлімдеріне көңіл аударсақ, біз автордың тек сол уақытта белгілі болған алгебраға қатысты материалдарды ғана емес, өзінің меншікті нәтижелерін ұсынғанын көреміз. Оған Греффе әдісін заңсыз иемденген жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу әдісін жатқызуға болады.

Осыдан Лобачевскийдің “Алгебра немесе ақырлы есептеу” еңбегі сол кездегі алгебра курстарынан өзінің мазмұнының толықтығымен, әрі байлығымен және арифметикалық амалдарды баяндау қатаңдығымен ерекшеленеді.

Еңбегінің бірінші бөлімінде аксиоматикалық әдісті құрастыруға алғашқы қадам жасай отырып, аксиоматикалық арифметикалық салу қолданылды; ал қалған бөлімдері түпнұсқа мен жаңартылған түрді құрайды. Сондықтан, Лобачевскийдің “Алгебра” еңбегінің жарыққа шығуы математика тарихында аса көрнекті орын алады.

Лобачевскийдің: “Екі қосмүшеден тұратын теңдеулер дәрежесін төмендету” атты алгебраға қатысты екінші жұмысы теңдеуінің шешімі 4 санына бөлінгенде ғана орындалады.

Лобачевскийдің геометриялық зерттеулерге қатысты жұмыстары ықтималдылықтар теориясымен тығыз байланысты.

Лобачевский евклидтік емес геометрия саласы бойынша параллельдер туралы аксиоманы зерттеді. Дедуктивтік түрдегі евклидтік геометрия жүйесі бірнеше аксиомалар жиынтығынан тұратыны бізге белгілі. Бұл аксиомалар арқылы мынадай әртүрлі түсініктер енгізілген: бірігу немесе жатады, рет, қозғалыс немесе конкуренттілік, үзіліссіздік немесе параллельдік.

Геометрияда параллельдіктің қолданылуының тәуелді немесе тәуелсіздігіне қатысты аксиомалар екі бөлікке бөлінеді. Бұл аксиомаға сүйенбейтін бөлігі абсалют геометрия деп аталады.

Бастапқы кезде Лобачевский осы айтылған аксиомаларды дәлелдеуге тырыса отырып, геометрияның абсалютті және абсалютті емес болып жіктелетініне көзі жетіп оны жүзеге асырды. Осының ізімен параллельдік аксиоманы теріске шығаруға әрекет жасады: берілген түзуде жататын нүкте арқылы осы түзумен жалғаспайтын кем дегенде бір түзу өтеді деп жорамалдады. Бұдан формальды қайшылықтың шықпайтынын байқады, ал ол қорыта келе евклидтіктен басқа геометрия бар екендігін шығарды.

Лобачевский “Геометрия негізінде қатаң дәлелденген параллельдер туралы теоремаға баяндама” атты шығармасы 1826 жылы 11(23) февральда болған Казань университетінің физика-математика ғылымы бөлімшесі мәжілісінде дүниеге келді.

1829 жылы Лобачевский осы еңбегін кең көлемді “Геометрия бастамалары” деген атпен шығарды.

Лобачевский геометриясының нақты бөлімі Евклид геометриясынан көп өзгешеленбейді. Негізгі бөлігінде параллельдің аксиомалары қолданылады.

Бұл бөлімі мынадай теоремалар жайында:

1. 
   Параллель түзулердің орналасуы;
   
2. 
   Көпбұрыштар мен үшбұрыштардың бұрыштарының қосындысы;
   
3. 
   Ауданы;
   
4. 
   Іштей сызылған шеңбер мен сырттай сызылған көпбұрыш;
   
5. 
   Тригонометрия;
   
6. 
   Пифагор теоремасы;
   
7. 
   Дөңгелектің өлшемі және оның бөліктері.
   

Лобачевский геометриясының кейбір нақты ерекшеліктерін қарастырып өтейік.

Түзуде жатқан нүкте арқылы осы түзумен беттеспейтін бірнеше түзу жүргізуге болады және ол шексіз көп. Олар шоқ жасайды. Бұл түзулер шоғында екі шеткі түзу болады, олар параллель түзулер деп аталады.

Бұл параллельдердің бағытын қарастырайық: түзулер параллель болса, бағыттары жақындай түседі, ал керісінше жағдайда алыстатылады.

Параллельдердің α бұрышы парллельдердің арақашықтығына тәуелді, яғни ұзындығы -ке тең перпендикуляр сәйкес келсе, мына түрде болады:

,

мұндағы -таңдап алынған бірлік ұзындық тұрақтысы.

Егер х→с, онда , осы сияқты х→∞, онда

Осыдан перпендикуляр болып келетін түзулердің екі жаққа тарайтыны көрінеді.

Осыған ұқсас үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы -дан кіші екені шығады. Көпбұрыштың қабырғалары көбейген сайын, бұрыштарының өлшемі азаяды. Барлық үшбұрыш аудандары түріндегі жоғары жақтарының жиынымен өрнектеледі, мұндағы: -аудан өлшеміне қатысты тұрақты.

Лобачаевский геометриясында ұқсас үшбұрыштар мен көпбұрыштар қарастырылмайды.

Лобачаевский геометриясының ары қарай дамуы түзулер шоғының кіріспесімен тығыз байланысты. Олар: жинақты, жинақсыз және параллель.

Шоқта жататын түзулер циклдерден (с сызығынан немесе негізгі сызықтардан) тұрады.

Бұлар - түзулер шоғының ортогональ траекториясынан тұратын нүктелердің геометриялық орны. Ол шоғырдағы түзулердің біреуінде жататын бастапқы нүктемен анықталады. Бұл циклдер шоқтың үш түріне байланысты былай бөлінеді: шеңбер, эквидистанта (гиперцикл) және орицикл ( шеңбердің бейнесі).

Лобачевский геометриясындағы есептеу аппараттары гиперболалық функцияға негізделген.

Мысалы, Лобачевский геометриясындағы үшбұрышқа қатысты синустар теоремасы мына түрде болады:

Барлық тригонометрия гиперболалық функцияның негізгі тригонометриясы болып шықты.Тригонометрияның көмегімен Лобачевский өзінің аналитикалық және дифференциалдық геометриясын жасады.