Лекция жоспары: Н. И. Лобачевский өмірі мен қызметі Н. И. Лобачевский геометриясының жарыққа шығуы

Лобачевский өлді, бірақ оның геометриясы әлі танылған жоқ. Мыңдаған жылдар бойы құрылған салтты бұзған оның геометриялық идеялары қажетсіз болып көрінді. Ал егер кейбір геометрлер оның идеяларына аянышпен қараса да, олар Гаусс сияқты, ашық түрде өз пікірлерін айтуға бата алмады. Тек келесі онжылдықта Лобачевский идеялары қолдау тауып, одан әрі дамыды. Оның зерттеулерінің дұрыстығы анықталып, оның геометриясының қарама-қайшылығы болмау үшін математикалық ғылымдардың әрі қарай дамуы қажет болды. Оның идеялары, Лобачевский өлімінен кейін, тек 12-15 жылдан кейін ғана танылса, оның идеяларының математиканың әрі дамуына маңызды мәні бар тек ХІХ ғасырдың аяғында ғана анықталды.

Бұл танылымды әржақтағы келесі ғалымдар зерттеулері негізгі рөл атқарды. Дертн университетінде жұмыс істеген Ф.Миндинг неміс математигінің, Е.Бельтрам итальян математигінің, А.Кэли ағылшынның, Ф.Клейн неміс математигінің және А.Пуанкаре французының Лобачевскийдің еңбектерінің мәнін көрсету және оның идеяларын тарату бойынша Қазан Университеті және А.В. Васильевтың басқаруымен Қазан физика-математикалық қоғамы үлкен жұмыс жасады. Оның идеяларының кең танылуы 1893 жылы Қазан Университеті мен қоғам атап өткен ұлы ғалымның туғанына 100-жыл толуына тойында алынды. Сол кезде қоғам Лобачевский атындағы Халықаралық сый құрды. Келесі жылдары ірі геометрлер осы конкурстың лауреаттары болды: С.Ли, В.Киллинг, Д.Гильберт, Ф.Шур, Б.Вейнь, Э.Картан; совет ғалымдарынан В.В. Вагнер. 1896 жылы Университет алдында Н.И. Лобачевскийға ескерткіш қойылды.

Ұлы Отан соғысынан кейін 1950 жылы СССР ғылым Академиясы Н.И. Лобачевский атындағы жаңа сыйлық құрды. Келесі жылдары ол А.Д. Александровқа, Н.В. Ефимовқа, А.В. Погореловқа, А.С. Понтрагенға, Г.Хопфқа және П.С. Александровқа берілді.

1883 және 1886 жылдар Лобачевский еңбектерінің екі томы басылып шықты. Бірақ оның ғылыми зерттеулерінің толық жинағы тек Ұлы октябрь социалистік революциядан кейін басылды. Басылым бес томдық, 1946-1951 жылдары шықты. Түзетулер жасауға Москва және Қазан ғалымдарының үлкен тобы қатысты. Жаңа қорытындылар жасалғанда, келешекте қандай да бір қарама-қайшылықтар пайда болмайды ма деген күдік пайда болды. Бұл барлық теория, соңында өзін-өзі жойып жіберетін, бос қиял емес пе?

Бұл күдіктерді жоятын фактілер беттер теориясымен дайындалды, басында оны Эйлер және Лагранж талдады, одан кейін Монж және оның оқушылары. Гаусс еңбектерінде (1827) бұл теория жаңа бағыт алды. Гаусс беттің иілу кезінде, яғни оның формасын өзгертсе, бірақ қысу және созусыз, сақталатын беттегі фигуралар қасиеттерін зерттеген “беттің ішкі геометриясын” қарастыра бастады. Беттің ішкі геометриясына алдымен, келесі ұғымдар және шамалар жатады: “тегіс сызық”, “сызық ұзындығы”, “қиылысқан сызықтар арасындағы бұрыш”, “беттегі контурмен шектелген фигура ауданы”.

мұндағы ,, үздіксіз және дифференциалданатын функциялар. Белгілі шекараларда u және v-ны өзгерте отырып:

біз , айнымалыларының берілген обылыстағы үздіксіз кеңістікте бейнеленуін аламыз, яғни беттің бөлігі. және параметрлерін беттегі қисықсызықты координаталар деп аталады. Бұл мынамен түсіндіріледі: егер -ды ғана өзгертсек (ал -ға тұрақты мән береміз ), -сызық деп аталады, алынатын сызық мүлдем қисық болады.

мұндағы

Сонымен, біз сфераның көрсетілген бөлігінің нүктелері үшін алғашқы параметрлік теңдеулерін алдық. Осы теңдеумен анықталған барлық нүктелер координаталар бас нүктесіне қашықтықта орналасқанына тікелей көз жеткізуге болады. Шынында да, егер есептеп және және тепе-теңдіктерін қолдансақ, мынаны аламыз:

Гаусс ең жақсы (egreghium) деп атаған теоремасын дәлелдеді. Ол беттің берілген нүктедегі толық қисықтығы иілу кезінде өзгермейтінін, яғни иілудің инвариантты болып табылатынын дәлелдеді. толық қисықтық деп бас қисықтар көбейтіндісін айтады, яғни беттің нормальдық қималарының қисықтығының экстремальдық мәндері. Бас қималар үнемі өзара перпендикуляр болады. Гаусс -ны тек арқылы өрнектейтін және олардың екінші ретке дейін туындыларын беретін формуланы тапты, ал бұл иілу кезінде өз мәнін сақтайтынын дәлелдейді.

Ф.Миндинг Гаусс зерттеулерін жалғастырды және 1839 жылы тұрақты толық қисықтыққа ие бет бөлігін иілу көмегімен сол толық қисықтығымен бетке беттестіруге болатынын дәлелдеді. Бұл кезде оны бет бойынша еркін қозғалтуға болады. Ал 1840 жылы Ф.Миндинг тұрақты теріс қисықтық бетінде геодезиялық үшбұрыштар үшін тригонометриялық арақатынастар шығарды. Тұрақты оң қисықтық бет-ол сфера бөлігі (не оның иілуі). Мұндай беттер үшін сфералық тригонометрия формулалары алынды. Егер , онда бас қималардың бірі ойыс, екіншісі дөңес. Онда әр нүктеде бет ертоқым тәрізді түрде болады. Мұндай бет үшін, Миндинг көрсетуі бойынша, геодезиялық үшбұрыштар үшін тригонометриялық формулаларды сфералық тригонометриялық формулалардан алуға болады. егер сфера радиусын таза жормал санмен ауыстырса. Бірақ, Ф. Миндинг Лобачевский жұмыстарымен таныс болған жоқ және сондықтан оның формулалары Лобачевский кеңістігі тіксызықтық үшбұрыштар үшін тригонометриялық арақатынастармен дәл келеді. Және де 1840 жылы Лобачевский Миндинг жұмысы басылған журналдарды қарастыруға алған жоқ.

Сонымен, олардың біреуі де тамаша факт анықталғанын байқаған жоқ: евклидтік кеңістікте тұрақты теріс қисықтық бетінде геодезиялық сызықтар геометриясы Лобачевский планиметриясымен дәл келеді. Тек 28 жыл өткеннен кейін итальян геометрі Е.Бельтрами 1868 жылы екі зерттеуді салыстырды, қатаң есептеулер жасады және бұл түсіндірмелерді толық дамытты, немесе Лобачевский геометриясының интерпретациясы. Тұрақты қисықтық бетті Бельтрами жалған сфералық деп аталады. Егер оларды айналу бетте иілдірсе, онда Миндинг көрсеткендей мұндай жалған сфераның үш типі болуы мүмкін. Мұнымен Лобачевский геометриясы Евклид кеңістігіндегі белгілі бір қисықсызық фигуралардың қасиеттерін өрнектейді, ал бұдан онда қарама-қайшылық болуы мүмкін емес, өйткені онда евклидті геометрияда да қарама-қайшылықтар болар еді. Лобачевский геометриясының қарама-қайшылықсыздығы математиктер үшін анық болғаннан кейін, евклидтік емес геометрия идеялары математиканың дамуына өсетін әсер ете бастады. Барлық Лобачевский жазықтығы үшін басқа интерпретация үш жылдан кейін Ф.Клейн тапты. Ол проективті геометрияда алынған нәтижелерге сүйенді, яғни жазықтықты жазықтыққа центрлік проекциялау кезінде сақталатын фигура қасиеттерін зерттейтін геометрия. Көбіне, мұндай қасиет-түзу сызықтық, өйткені түзу түзуге проекцияланады. Бірақ, мұнда түзу тұйықталған сызық ретінде қарастырылады, оны шексіз қашықталған нүктемен тұйықталған екенін ескерген жөн. Ұзындық және бұрыштар-бұл проективті емес ұғымдар, өйткені фигураларды проекциялау кезінде Ұзындық және бұрыш шамалары өзгермейді.

Бірақ, 1859 жылы А.Кэлли проективті метрика ұғымын енгізді. Ол егер екінші ретті сызық берілсе, онда оның теңдеуінің сол бөлігін қолдана отырып, екі берілген түзу үшін сандық мән қабылдайтын формула құруға болатынын анықтады. Және де әр түрлі түзулер жұбы үшін бұл сандар түзулер арасындағы бұрыш шамасының қасиеттеріне ие. Яғни екі түзулер беттесуі кезінде ноль санын аламыз. Ал екі іргелес бұрыштан бұрыштың құрылуы кезінде бұл сандар қойылады. Сонымен бірге бұл сандар проективті инвариантты, яғни олар өзгермейді, егер абсолютті де қарастырылып отырған түзулерді де проективті түрлендірсе. Бұл шамаларды беретін өрнектерді Кэли проективті метрика деп атады. Ол, сонымен қатар, егер абсолют жорамал, яғни нақты нүктелері болмаса, онда проективті метрика сфералық геометрияның кәдімгі метрикасымен дәл келеді. Бірақ, бұл жерде көрсетілмеген айырмашылықта бар, екі әр түрлі түзу мұнда үнемі қиылысады. Бірақ екі нүктеде емес, бір ғана нүктеде. Мұндай геометрияны соңында Кэли эллипстік деп атады. Бұл геометрияда үшбұрыш бұрыштарының қосындысы -дан артық. Кэлиға дейін мұндай геометрияны Б.Риман тек 1868 жылы басылымға шықты.

Ф.Клейн Кэли формулаларын Е.Бельтрами формулаларымен салыстырды және соңғысының нәтижелерін жалпылады. Бельтрами өзінің шеңбер ішіндегі жалған сферасының бетін зерттегенде геодезиялық сызықтар бетте түзумен бейнеленетіндей етіп бейнеледі, мұнда абсолют ролін шеңбер атқарды. Клейн арақашықтықты өлшеу үшін қарапайым формулалар берді.

және де Клейн евклидтік геометрияның проективті метрика көмегімен интерпретациялануы мүмкін екенін көрсетті. Тек эллипстік және гиперболалық метрика арасындағы аралық жағдайды қарастыру керек. Абсолют ролін түзудің шексіз қашықтығын жорамал компекстік түйіндескен нүктелер жұбы атқарады. Бұл параболалық метрика жағдайы. Клейнға дейін бұл жағдайға сәйкес бұрыштар үшін формулаларды француз математигі Э.Лагерр берді. Клейннан жұмысынан 11 жылдан кейін Лобачевский геометриясына жаңа интерпретацияны А.Пуанкаре берді. 1882 жылы ол комплексті айнымалы функциясын қолдану бойынша өте маңызды теория таңдады, механикада және теориялық физикада әр түрлі қолданыс табатын фукстық (автоморфты) функциялар теориясы.

Бұл теорияны талдау кезінде ол өте үлкен қиыншылықтарға кезікті. Бірақ одан кейін ол қиыншылықтарды жеңді. Сонымен қатар ол келесі интерпретацияны тауып қолданды.Лобачевский жазықтығы-кәдімгі шеңбердің іші. Лобачевский түзулері-айтылған шеңберді (абсолют) тік бұрыш жасап қияды және оның ішінде жатқан шеңбер доғалары. Бұрыштар шамасы кәдімгі. Бірақ ұзындықтарды проективті метрикаға ұқсас ерекше формулалармен есептеу керек. Түсіндіру үшін 31-сурет алдыңғы сурет 30-дағы жағдай бейнеленген. Осы суреттерді салыстырып, талдау ұсынылады. Осы үлгілер көмегімен Лобачевский планиметриясының кейбір нәтижелері туралы көрнекті елестету алуға болатынын ескерейік.

Евклидтік емес геометрияның әр түрлі интерпретацияларының пайда болуы математика негізін талдауда маңызды рол атқарды. Әр түрлі математикалық пәндер үшін аксиоматикалық әдістің дәлелденуі мен дамуы және қатаң аксиоматикаларды салу басталды.

Евклид аксиомалар өңделіп, бұрын ескерілмеген, әсіресе үзіліссіздік ұғымы (Дедекинд, Кантор) және жазықтықтағы, түзудегі (Паш) нүктелер реттілігі ұғымымен сипатталатын жаңа аксиомалармен толықтырылды. Бұрын осы ұғымдармен байланысты қасиеттерді дәлелдеген кезде сызбаларға сүйенді. Мұнымен олар кейде қателер жіберді. Арифметика және проективті геометрияның аксиоматикасы құрылды және т.б. Евклидтік геометрия аксиоматикасы Д.Гильберт (1889) және В.Ф.Каган (1902) жұмыстарында белгілі бір мағынада аяқталды. Интерпретация әдісі кез-келген ғылымға ұсынылған аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығын дәлелдеудің маңызды құралы болды. Бірақ бұл дәлелдеуде салыстырмалы сипаттамасы бар, өйткені шын мәнінде сұрақ тек басқа облысқа көшіріледі, бірақ жақсы зерттелген теория облысына. Соңғы қорытынды былай тұжырымдалады: зерттелінді аксиомалар жүйесі қалайша қарама-қайшылықсыз болса, солайша интерпретацияда қолданылатын теорияда қайшылықсыз. Мысалы, Евклидтік геометриясы үшін Д.Гильберт өз аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығын арифметика қайшылықсыздығына әкелді.

Біртіндеп ХІХ ғасырдың аяғында аксиомалар жүйесіне ұсынылатын негізгі талаптар және аксиоматикалық әдіс принциптері анықталды. Оларды қысқаша келесі түрде беруге болады.

а) элементтері өз атауларын немесе белгілеулерін алатын негізгі жиындар енгізіледі.

ә) бұл элементтер бір-бірінен кейбір негізгі арақатынастарда болады. Мысалы, Гильберт жүйесінде “түзу нүктесі арқылы өтеді, нүктеден басқа екеуінің арасында жатыр” және т.с.с. Колмогоров аксиомалар жүйесінде негізгі қатынас-арақашықтық. Бұл қатынастар деп аталады, бірақ олардың нақты мағынасы анықталмады.

б) элементтер арасындағы енгізілген қатынастар қасиетін сипаттайтын аксиомалар құрылды.

Математикалық қорытындыларда аксиомаларда шыққан логикалық қорытындыларға ғана сүйену керек. Бірақ бұл аксиомалар жүйесі логикалық қорытушы мазмұнды теорияның негізі болу үшін оған келесі талаптар қойылады.

1⁰. Аксиомалар жүйесі қайшылықсыз болу керек. Қайшылықсыздық барлық аксиомалар жүйесі орындалатындай интерпретациялы іздеу жолымен дәлелденеді. Алдында айтқандай, әдетте шартты қайшылықсыздық дәлелденеді. Мысалы, біз Лобачевский геометриясының аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығы Евклид геометриясының қайшылықсыздығына келтірілген, ал соңғы қайшылықсыздық арифметика қайшылықсыздығына келтірілген.

2⁰. Аксиомалар жүйесі тәуелсіз болу керек. Мұнда артық аксиомалар болмау керек, яғни басқа аксиомаларға сүйеніп, теоремалар сияқты дәлелдеуге болады. Қандайда да бір аксиома тәуелсіздігін келесі түрде дәлелдеуге болады. Зерттелінді аксиоманың орнына бірінші аксиомаға кері аксиома енгізеді. Егер жаңа өзгертілген аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығын дәлелдесек, онда шығарылған аксиоманың қайшылықсыздығы да дәлелденеді .

Шынында, егер шығарылған аксиома басқаларына тәуелді болса, онда ол теорема ретінде бұрынғы қалғандарынан шыққан еді. Яғни ол қайта шыққан аксиомаға кері болар еді. Басқаша айтқанда жаңа жүйе қарама-қарсы болар еді. Сондықтан, егер жаңа жүйе үшін интерпретация табылса, онда сонымен бұрынғы жүйеден қалған аксиомалардан бөлінген бұрынғы аксиома тәуелсіздігі дәлелденеді. Мұндай тәуелсіздікті дәлелдеу евклидтік емес геометрияның құрылуына байланысты тарихи пайда болды. Лобачевский геометриясының аксиоматикасы кәдімгі евклидтік геометриядан берілген түзуді қимайтын бір параллельдің орнына бірнеше түзулер бар болуы жіберілген параллелбдік аксиомасын тұжырымдауымен ерекшеленеді. Сондықтан, Лобачевский геометриясының қайшылықсыздығына көзіміз жетіп, басқа аксиомалардан Евклидтің бесінші постулатының тәуелсіздігінің дәлелдемесін аламыз. Сонымен, Лобачевский геометриясын құру бірмезгілде Евклидтің бесінші пастулатының оның қалған аксиомалардан тәуелсіздігін дәлелдеді.

3⁰. Аксиомалар жүйесі толық болу керек. Бұл талапты аксиомалар жүйесіне әр қашан қойылмайды. Көптеген теорияларда бұдан бас тартады, бірақ Евклидтік геометрияда аксиоматизациялау кезінде ол қойылады. Оның мәні барлық интерпретациялар изоморфты болуда яғни, кез-келген екі интерпретацияда негізгі элементтер мен қатынастар арасында сәйкес элементтер әрқашан сәйкес қатынастарда болатын өзара бірмәнді сәйкестікті анықтауға болады. Бірақ әр интерпретацияда элементтер және қатынастар өз бетінше талданады.

Евклидтік геометрия аксиомалар жүйесі үшін бұл талап орындалатынын дәлелдеуін кеңістікке енгізілген декартты координат жүйесін қарастырумен алуға болады. Бұл жолда әр арифметикалық интерпретациялы интерпретацияның изоморфизмі анықталады, ал бұдан өз аралық барлық интерпретациялар.

Лобачевский геометрия саласында ғана емес, онымен қоса математиканың басқа да салаларының алгебра, математикалық анализ, ықтималдықтар теориясы, механика, физика, астрономия ғылымдарына өз еңбегімен үлкен үлес қосқан, ол тек ғалым болып қана қоймай, халқына пайда келтіру үшін көп еңбек еткен аса көрнекті педагог және қоғам қайраткері болған.