Лекция Закон кулона. Напряженность электростатического поля План: 1
жүктеу/скачать 1,05 Mb. Pdf көрінісі
|
| Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. Кафедра физики 1 из 17
1.
2.
Закон Кулона 3.
Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля 4.
Принцип суперпозиции. Поле диполя 5.
Теорема Гаусса 6.
Применение теоремы Гаусса к расчету полей 7.
Циркуляция вектора напряженности 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД Еще в глубокой древности было известно, что янтарь, потертый о шерсть, притягивает легкие предметы. Английский врач Джиль- берт (конец XVI в.) назвал тела, способные после натирания при- тягивать легкие предметы, наэлектризованными. Сейчас мы го- ворим, что тела при этом приобретают электрические заряды. Несмотря на огромное разнообразие веществ в природе, суще- ствует только два типа электрических зарядов: заряды, подобные возникающим на стекле, потертом о кожу (их назвали положитель- ными), и заряды, подобные возникающим на эбоните, потертом о мех (их назвали отрицательными), одноименные заряды друг от друга отталкиваются, разноименные – притягиваются. Электрический заряд частицы является одной из основных, первичных ее характеристик и он имеет следующие фундамен- тальные свойства: 1.
Существует в двух видах: положительный и отрицательный; 2.
Закон сохранения электрического заряда (Майкл Фарадей, 1843):
Фундаментальные свойства электрического заряда Положительный и отрицательный В электрически изолированной системе алгебраическая сумма зарядов не меняется Релятивистски инвариантная величина В настоящее время известно, что в основе всего разнооб- разия явлений природы ле- жат четыре фундаменталь-
частицами – сильное, элек- тромагнитное, слабое и гра- витационное. Каждый вид взаимодействия связывается с определенной характеристикой частицы. Например, гравитационное зависит от масс частиц, элек- тромагнитное – от электриче- ских зарядов.
Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. Кафедра физики 2 из 17 В любой электрически изолированной системе алгебраиче- ская сумма заряда не меняется Все тела в природе способны электризоваться, т. е. приобретать электрический заряд. Электризация тел может осуществляться различными способами: соприкосновением (трением), электро- статической индукцией и т. д. Всякий процесс заряжения сводится к разделению зарядов, при котором на одном из тел (или части тела) появляется из- быток положительного заряда, а на другом (или другой ча- сти тела) — избыток отрицательного заряда. Общее количество зарядов обоих знаков, содержащихся в те- лах, не изменяется: эти заряды только перераспределяются между телами. 3.
ная, т. е. не зависит от системы отсчета, а значит, не зависит от того, движется этот заряд или покоится. Опытным путем (1910–1914) американский физик Роберт Энд- рюс Милликен (1868–1953) показал, что электрический заряд дис- кретен. Заряд любого тела составляет целое кратное от элементар- ного электрического заряда e ( Кл e 19 10 6 , 1 ). В зависимости от концентрации свободных зарядов тела де- лятся на проводники, диэлектрики и полупроводники.
перемещаться по всему его объему. Единица электрического за- ряда — кулон (Кл) — электрический заряд, про- ходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А за время 1 с. Электрон и протон являются соответственно носителями элементарных отрицатель- ного и положительного заря- дов. ТЕЛА
ПРОВОДНИКИ электрический заряд может перемещаться по всему объему I-го типа (металлы) перенос заряда не сопровождается хим.превращения II-го типа (электролиты) перенос заряда ведет к
хим.изменениям ДИЭЛЕКТРИКИ отсутствуют свободные заряды ПОЛУПРОВОДНИКИ электропроводность меняется в широких пределах
Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. Кафедра физики 3 из 17 Проводники делятся на две группы: 1) проводники первого рода (металлы) — перенос в них зарядов (свободных электронов) не сопровождается химическими превращениями; 2) проводники второго рода (например, расплавленные соли, растворы кислот) — перенос в них зарядов (положительных и отрицательных ионов) ведет к химическим изменениям.
торых практически отсутствуют свободные заряды. Полупроводники (например, германий, кремний) занимают промежуточное положение между проводниками и диэлек- триками. Указанное деление тел является весьма условным, однако боль- шое различие в них концентраций свободных зарядов обусловли- вает огромные качественные различия в их поведении и оправды- вает поэтому деление тел на проводники, диэлектрики и полупро- водники. 2. ЗАКОН КУЛОНА Закон взаимодействия неподвижных точечных электрических зарядов установлен в 1785 г. Шарлем Огюстеном де Кулоном с по- мощью крутильных весов. Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, ли- нейные размеры которого пренебрежимо малы по сравне- нию с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует. Понятие точечного заряда, как и материальной точки, является физической абстракцией. Закон Кулона: сила взаимодействия F между двумя непо- движными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам 1
2
и обратно пропорцио- нальна квадрату расстояния r между ними: 2 2
| |
q q k F , где
k – коэффициент пропорциональности, зависящий от вы- бора системы единиц. Сила
F направлена по прямой, соединяющей взаимодейству- ющие заряды, т. е. является центральной, и соответствует притя- жению (
0
) в случае разноименных зарядов и отталкиванию ( 0 F ) в случае одноименных зарядов. Эта сила называется куло- новской силой. В векторной форме закон Кулона имеет вид:
(фр. Charles-Augustin de Coulomb, 14 июня 1736— 23 августа 1806) — французский военный инженер и учёный- физик, исследователь элек- тромагнитных и механиче- ских явлений; член Париж- ской Академии наук
Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. Кафедра физики 4 из 17
12 2 2 1 12 r F ,
где
12 F – сила, действующая на заряд 1
2
12
– радиус-вектор, соединяющий заряд 2
1
12
(
). На заряд 2 q со стороны заряда 1
ствует сила 12 21 F F . В СИ коэффициент пропорциональности равен )
( 1 0
Тогда закон Кулона запишется в окончательном виде: 2 2 1 0 | | 4 1
q q F
(2)
Величина 0 называется электрической постоянной; она от- носится к числу фундаментальных физических постоянных и равна
м Ф м Н Кл 12 2 2 12 0 10 85 , 8 10 85 , 8 ,
(3)
где фарад (Ф) — единица электрической емкости. Тогда
Ф м 9 0 10 9 ) 4 ( 1 3. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Если в пространство, окружающее электрический заряд, внести другой заряд, то на него будет действовать кулоновская сила; зна- чит, в пространстве, окружающем электрические заряды, суще- ствует электрическое силовое поле. Согласно представлениям современной физики, поле реально существует и наряду с веществом является одной из форм суще- ствования материи, посредством которого осуществляются опре- деленные взаимодействия между макроскопическими телами или частицами, входящими в состав вещества. В данном случае гово- рят об электрическом поле – поле, посредством которого взаимо- действуют электрические заряды.
Закон Кулона ◄ Закон Кулона ◄ Диэлектрическая посто- янная Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. Кафедра физики 5 из 17 Мы будем рассматривать электрические поля, которые созда- ются неподвижными электрическими зарядами и называются
Для обнаружения и опытного исследования электростатиче- ского поля используется пробный точечный положительный заряд – такой заряд, который не искажает исследуемое поле (не вызы- вает перераспределения зарядов, создающие их поле). Если в поле, создаваемое зарядом q , поместить пробный заряд 0
, то на него действует сила
, различная в разных точках поля, которая, со- гласно закону Кулона (2)
, пропорциональна пробному заряду 0
. Поэтому отношение 0 q F не зависит от 0
и характеризует элек- тростатическое поле в той точке, где пробный заряд находится. Эта величина называется напряженностью и является силовой ха- рактеристикой электростатического поля.
точке есть физическая величина, определяемая силой, дей- ствующей на пробный единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля 0
(4)
Как следует из формул (4) и (1) , напряженность поля точечного заряда в вакууме r r r q 2 0 ) 4 ( 1 E
или 2 0 ) 4 ( 1 r q E
Направление вектора E совпадает с направлением силы, дей- ствующей на положительный заряд. Если поле создается положи- тельным зарядом, то вектор F направлен вдоль радиус-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положи- тельного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор
направлен к заряду ( рис.2 ).
Графически электростатическое поле изображают с помощью линий напряженности:
Единица измерения напря- женности электрического за- ряда – вольт на метр
В E
Из формулы (4) следует, что единица напряженности электростатического поля — ньютон на кулон (Н/Кл): 1 Н/Кл — напряженность та- кого поля, которое на точеч- ный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н; 1Н/Кл=1В/м, где В (вольт) — единица потен- циала электростатического поля. Свойства электрического поля Материально, т.е. существует независимо от нас, от наших представлений о нем Порождается электрическим зарядом
Обнаруживается по действию на электрических заряд
Не имеет границ Распростроняется в пространстве с конечной скоростью, равной скорости света ◄ Напряженность элек- трического поля Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. Кафедра физики 6 из 17
каждой точке совпадают с направлением вектора E (
). Линиям напряженности приписывается направление, совпа- дающее с направлением вектора напряженности. Так как в каждой данной точке пространства вектор напряжен- ности имеет лишь одно направление, то линии напряженности ни- когда не пересекаются. Для однородного поля (когда вектор напряженности в лю- бой точке постоянен по величине и направлению) линии напряженности параллельны вектору напряженности. Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженно- сти — радиальные прямые, выходящие из заряда, если он положи- телен (
рис.4а ), и входящие в него, если заряд отрицателен (
).
Вследствие большой наглядности графический способ пред- ставления электростатического поля широко применяется в элек- тротехнике. Чтобы с помощью линий напряженности можно было характе- ризовать не только направление, но и значение напряженности электростатического поля, условились проводить их с определен- ной густотой (
). Число линий напряженности, пронизываю- щих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора E . Тогда число линий напряженности, пронизывающих элементарную пло- щадку
dS , нормаль n которой образует угол с вектором E , равно dS E EdS n cos , где
n E – проекция вектора E на нормаль n к площадке dS (
). Величина
называется потоком вектора напряженности через площадку dS . Здесь n S dS d – вектор, модуль которого равен dS , а направ- ление совпадает с направлением нормали n к площадке. Выбор направления вектора n (а следовательно, и S d ) условен, так как его можно направить в любую сторону. Единица потока вектора напряженности электростатического поля – 1 В
Для произвольной замкнутой поверхности
поток вектора E
сквозь эту поверхность (где интеграл берется по замкнутой по- верхности S ) S S n E d dS E Ф S E
(6)
Рис.2 Рис.3 Линии напряженно- сти неоднородного поля
Расчет потока век- тора напряженности ◄ Поток вектора напря- женности Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. Кафедра физики 7 из 17 Поток вектора E является алгебраической величиной: зависит не только от конфигурации поля
, но и от выбора направления n . Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали принимается внешняя нормаль, т. е. нормаль, направлен- ная наружу области, охватываемой поверхностью.
Рассмотрим метод определения модуля и направления вектора напряженности
в каждой точке электростатического поля, со- здаваемого системой неподвижных зарядов
,...,
, 2 1 . Опыт показывает, что к кулоновским силам применим рассмот- ренный в механике принцип независимости действия сил, т. е. ре- зультирующая сила F , действующая со стороны поля на пробный заряд 0
, равна векторной сумме сил i F , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов
:
i i 1
F
Согласно (7) ,
F 0
и
i i q E F 0 , где E – напряженность ре- зультирующего поля, а
– напряженность поля, создаваемого зарядом
. Подставляя последние выражения в (7) , получаем
r q i i n i i r E E 2 0 1 4 1
(8)
Формула (8) выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей: Напряженность E результирующего поля, создаваемого си- стемой зарядов, равна геометрической сумме напряженно- стей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности. В истории развития физики имела место борьба двух теорий: дальнодействия и близкодействия. В теории дальнодействия при- нимается, что электрические явления определяются мгновенным взаимодействием зарядов на любых расстояниях. Согласно теории близкодействия, все электрические явления определяются изменениями полей зарядов, причем эти изменения распространяются в пространстве от точки к точке с конечной ско- ростью. Применительно к электростатическим полям обе теории дают одинаковые результаты, хорошо согласующиеся с опытом. Принцип суперпозиции позво- ляет рассчитать электростати- ческие поля любой системы неподвижных зарядов, по- скольку если заряды не точеч- ные, то их можно всегда свести к совокупности точечных заря- дов.
Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. Кафедра физики 8 из 17 Переход же к явлениям, обусловленным движением электриче- ских зарядов, приводит к несостоятельности теории дальнодей- ствия, поэтому современной теорией взаимодействия заряженных частиц является теория близкодействия.
Для упрощения математических расчетов во многих случаях бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискрет- ную структуру (электроны, ядра), и считать, что они «размазаны» определенным образом в пространстве. При переходе к непрерывному распределению вводят понятие плотности зарядов – объемной , поверхностной и линейной . Формулы плотностей запишутся, как dV dq , dS dq , dl dq , где
dq – заряд, заключенные соответственно в объеме dV , на
поверхности dS и на длине dl . С учетом этих распределений формула (8) может быть пред- ставлена в другой форме, заменив
на
dV dq и на :
r dl r r dS r r dV r E r E r E 2 0 2 0 2 0 4 1 , 4 1 , 4 1
где интегрирование проводится по всему пространству, в котором плотность зарядов отлична от нуля. Напряженность электростатического поля равна силе действующей на единичный положительный пробный заряд величина векторная, совпадает по направлению с действием куловновской силы на положительный заряд наряженность поля системы зарядов равена геометрической сумме напряженностей полей этих зарядов ◄ Объемная, поверхностная, линейная плотность Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. Кафедра физики 9 из 17 Таким образом, зная распределение зарядов, мы можем полно- стью решить задачу о нахождении напряженности электрического поля по формуле (8) , если распределение дискретно, или оп фор- мулам (8а)
, если распределение непрерывно. Поле диполя. Применим принцип суперпозиции применим для расчета элек- тростатического поля электрического диполя.
разноименных точечных зарядов q и q , расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рас- сматриваемых точек поля. Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положитель- ному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя l . l p q
(9)
Вектор (9) совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда
на плечо l , называется электрическим моментом диполя или дипольным момен- том ( рис.6 ).
Согласно принципу суперпозиции (8)
, напряженность E поля
диполя в произвольной точке
E E , где E и
ственно положительным и отрицательным зарядами. Воспользовавшись этой формулой, рассчитаем напряженность поля в произвольной точке на продолжении оси диполя и на пер- пендикуляре к середине его оси. 1. Напряженность поля на продолжении оси диполя в точке А ( рис.7 ). Как видно из рисунка, напряженность поля диполя в точке А направлена по оси диполя и по модулю равна
E E A
Обозначив расстояние от точки А до середины оси диполя через r , на основании формулы (5) для вакуума можно записать Рис.6. Диполь
Рис.7. Расчет поля диполя
В общем случае расчет напряженности через рас- пределение зарядов сопря- жен с большими трудно- стями.
Действительно, для нахожде- ния
E надо вычислить сна- чала его проекции
,
E ,
E , а это по существу три интеграла. И только в тех случаях, когда система зарядов обладает той или иной симметрией, за- дача, как правило, значи- тельно облегчается. ◄ Дипольный момент Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. Кафедра физики 10 из 17 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 ) 4 ( 2 2 4 1
r l r l r l r q l r q l r q E A Согласно определению диполя, r l 2 , поэтому 3 0 3 0 2 4 1 2 4 1
p r ql E A
2. Напряженность поля на перпендикуляре, восставленном к оси из его середины, в точке В ( рис. 7 ). Точка В равноудалена от зарядов, поэтому 2 0 2 2 0 ) ' ( 4 1 4 ) ' ( 4 1
q l r q E E ,
где
' r – расстояние от точки В до середины плеча диполя. Из подобия равнобедренных треугольников, опирающихся на плечо диполя и вектор B E , получим
' 1 2 ' 1 2 2 r l r E E B , откуда ' r l E E B
(11)
Подставив в выражение (11) значение (10) , получим 3 0 3 0 ) ' ( 4 1 ) ' ( 4 1
p r ql E B
Вектор B E имеет направление, противоположное вектору элек- трического момента диполя (вектор
направлен от отрицатель- ного заряда к положительному).
Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. Кафедра физики 11 из 17
Вычисление напряженности поля системы электрических заря- дов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя выведенную немецким ученым Карлом Фридрихом Гауссом (1777–1855) теорему, опре- деляющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность. В соответствии с формулой (6) поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r , охватывающую то- чечный заряд
, находящийся в ее центре ( рис.8 ), равен 0 2
0 4 4 q r r q dS E Ф S n E
Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Действительно, если окружить сферу ( рис.8 ) произволь- ной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность. Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (
рис.9 ), то при пересечении любой выбранной линии напря- женности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конеч- ном счете сводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхно- сти, и отрицательным для линий, входящих в поверхность. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, вхо- дящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходя- щих из нее. Таким образом, для поверхности любой формы, если она за- мкнута и заключает в себя точечный заряд
, поток вектора E
будет равен 0
,
0
dS E d Ф S n S E S E
(12)
Знак потока совпадает со знаком заряда q . Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружа- ющей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции (8)
напряженность E поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей
полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: i i E E . Поэтому
Иоганн Карл Фри́дрих Га́усс (нем. Johann Carl Friedrich Gauß; 30 апреля 1777, Браун- швейг — 23 февраля 1855, Гёттинген) — немецкий мате- матик, астроном и физик, считается одним из величай- ших математиков всех вре- мён, «королём математи- ков».
Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. Кафедра физики 12 из 17 i S i S i i S E d dS E d Ф S E S E ) ( Согласно (12) , каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен 0 i q . Следовательно,
n i i S n S q dS E d 1 0 1
E
(13)
Формула (13) выражает теорему Гаусса для электростатиче- ского поля в вакууме: Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхно- сти зарядов, деленной на 0 . В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью
, различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности
, охватывающей некоторый объем
,
i i dV q
(14)
Используя формулу (14) , теорему Гаусса (13) можно записать так: V S n S dV dS E d 0 1
E
РЫХ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ВАКУУМЕ 1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость ( рис.10 ) заряжена с постоянной поверх- ностной плотностью . Линии напряженности перпендику- лярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе сто- роны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим ци- линдр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра парал- лельны линиям напряженности ( 0 cos ), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь
Бесконечная плоскость
Эта теорема выведена мате- матически для векторного поля любой природы рус- ским математиком Михаи-
тем независимо от него при- менительно к электростати- ческому полю – Карлом Фридрихом Гауссом. ◄ Теорема Гаусса для поля в вакууме Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. Кафедра физики 13 из 17 его основания (площади оснований равны и для основания n E сов-
падает с E , т. е. равен ES 2 . Заряд, заключенный внутри постро- енной цилиндрической поверхности, равен S . Согласно теореме Гаусса (13) 0
ES , откуда 0 2
(15)
Из формулы (15) вытекает, что E не зависит от длины цилин- дра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно.
). Пусть плоскости заряжены равно- мерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями и . Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, созда- ваемых каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плос- кости, нижние — от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля 0 E . В области между плоскостями E E E ( E и
ются по формуле (15)
), поэтому результирующая напряженность 0
(16)
Таким образом, результирующая напряженность поля в обла- сти между плоскостями описывается формулой (16)
, а вне объема, ограниченного плоскостями, равна нулю. 3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заря-
жена равномерно с поверхностной плотностью .
Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, созда- ваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально (
).
Построим мысленно сферу радиуса r , имеющую общий центр с заряженной сферой. Если R r , тo внутрь поверхности попадает весь заряд q , создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса (13)
, 0 2 4 q E r , откуда Рис. 11. Две бесконечные плоскости
Заряженная сфера
Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. Кафедра физики 14 из 17 ) ( 4 1 2 0 R r r q E
(17)
При R r поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости E от r приведен на рис. 13 . Если R r ' , то замкнутая поверхность не содержит внутри за- рядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической по- верхности электростатическое поле отсутствует ( 0 E ).
4. Поле объемно заряженного шара. Шар радиуса R с общим зарядом
q
заряжен равномерно с объемной плотностью . Учи-
тывая соображения симметрии (см. п. 3), можно показать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в предыдущем случае (см. (17)
). Внутри же шара напряженность поля будет другая. Сфера радиуса
' охватывает заряд 2 ' 3 4 '
q . Поэтому, согласно теореме Гаусса (13)
, 0 3 0 2 3 4 4 r q E r . Учитывая, что 3 4 3 R q , получаем ) '
' 4 1 3 0
r r R q E
(18)
Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряжен- ного шара описывается формулой (17)
, а внутри его изменяется линейно с расстоянием ' r согласно выражению (18)
. График зави- симости E от r для рассмотренного случая приведен на рис.14 .
(нити). Бесконечный цилиндр радиуса R ( рис.15 ) заряжен равно- мерно с линейной плотностью ( dl dQ – заряд, приходя- щийся на единицу длины). Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с оди- наковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиаль- ный с заряженным цилиндр радиуса r и высотой
. Поток вектора E сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы па- раллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность
Поле заряженного шара
Поле заряженной сферы
◄ Поле заряженной сферы ◄ Поле заряженного шара Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. Кафедра физики 15 из 17 равен
rlE 2 . По теореме Гаусса (13)
, при R r
0 2
rlE , от- куда ) ( 2 1 0 R r r E
(19)
Если R r , то замкнутая поверхность зарядов внутри не содер- жит, поэтому в этой области 0 E . Таким образом, напряжен- ность поля вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра определяется выражением (19) , внутри же его поле отсутствует. Общие выводы о применении теоремы Гаусса. Полученные в этих примерах результаты можно получить и непосредственным интегрированием (8а)
. Однако, использование теоремы Гаусса позволило решать эти задачи несравненно более простым путем. Тем не менее число задач, легко решаемых с помощью теоремы Гаусса, весьма ограниченно. Уже при решении задачи о нахожде- нии поля такого симметричного распределения заряда, как у рав- номерно заряженного диска, теорема Гаусса оказывается бессиль- ной. В этом случае конфигурация поля оказывается слишком сложной, и замкнутой поверхности, обладающей необходимой для простоты вычисления потока вектора E формой, здесь нет. Использование теоремы Гаусса для расчета полей эффективно лишь в тех случаях, где поле обладает специальной симметрией (плоской, цилиндрической или сферической). Симметрия должна быть такой, чтобы можно было найти достаточно простую замкну- тую поверхность
и вычисление потока вектора E можно было свести к простому умножению E (или
) на площадь S или ее
жүктеу/скачать 1,05 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|