Лекция Закон кулона. Напряженность электростатического поля План: 1



жүктеу 295.22 Kb.

бет1/2
Дата15.03.2017
өлшемі295.22 Kb.
түріЛекция
  1   2

Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. 

Кафедра физики 

1 из 17 

Лекция 2.1. 

Закон кулона. Напряженность 

электростатического поля

 

 

План: 

1.

 

Электрический заряд 



2.

 

Закон Кулона 



3.

 

Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля 



4.

 

Принцип суперпозиции. Поле диполя 



5.

 

Теорема Гаусса 



6.

 

Применение теоремы Гаусса к расчету полей 



7.

 

Циркуляция вектора напряженности 



1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД 

Еще в глубокой древности было известно, что янтарь, потертый 

о шерсть, притягивает легкие предметы. Английский врач Джиль-

берт (конец XVI в.) назвал тела, способные после натирания при-

тягивать легкие предметы, наэлектризованными. Сейчас мы го-

ворим,  что  тела  при  этом  приобретают  электрические  заряды

Несмотря  на  огромное  разнообразие  веществ  в  природе,  суще-

ствует только два типа электрических зарядов: заряды, подобные 

возникающим на стекле, потертом о кожу (их назвали положитель-

ными), и заряды, подобные возникающим на эбоните, потертом о 

мех  (их  назвали  отрицательными),  одноименные  заряды  друг  от 

друга отталкиваются, разноименные – притягиваются. 

Электрический  заряд  частицы  является  одной  из  основных, 

первичных  ее  характеристик  и  он  имеет  следующие  фундамен-

тальные свойства: 

1.

 



Существует в двух видах: положительный и отрицательный; 

2.

 



Закон  сохранения  электрического  заряда  (Майкл  Фарадей, 

1843): 


Фундаментальные 

свойства 

электрического заряда

Положительный и 

отрицательный

В электрически 

изолированной системе 

алгебраическая сумма 

зарядов не меняется

Релятивистски 

инвариантная величина

В настоящее время известно, 

что в основе всего разнооб-

разия  явлений  природы  ле-

жат  четыре  фундаменталь-

ных взаимодействия между 

частицами  –  сильное,  элек-



тромагнитное, слабое и гра-

витационное

Каждый  вид  взаимодействия 

связывается  с  определенной 

характеристикой 

частицы. 

Например,  гравитационное 

зависит от масс частиц, элек-

тромагнитное – от электриче-

ских зарядов. 


Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. 

Кафедра физики 

2 из 17 

В любой электрически изолированной системе алгебраиче-

ская сумма заряда не меняется 

Все тела в природе способны электризоваться, т. е. приобретать 

электрический заряд. Электризация тел может осуществляться 

различными способами: соприкосновением (трением), электро-

статической индукцией и т. д. 

Всякий процесс заряжения сводится к разделению зарядов, 

при котором на одном из тел (или части тела) появляется из-

быток положительного заряда, а на другом (или другой ча-

сти тела) — избыток отрицательного заряда. 

Общее количество зарядов обоих знаков, содержащихся в те-

лах,  не  изменяется:  эти  заряды  только  перераспределяются 

между телами. 

3.

 

Электрический заряд — величина релятивистски инвариант-



ная, т. е. не зависит от системы отсчета, а значит, не зависит от 

того, движется этот заряд или покоится. 

Опытным путем (1910–1914) американский физик Роберт Энд-

рюс Милликен (1868–1953) показал, что электрический заряд дис-



кретен. 

Заряд любого тела составляет целое кратное от элементар-



ного электрического заряда   (

Кл

e

19

10



6

,

1





). 

В  зависимости  от  концентрации  свободных  зарядов  тела  де-

лятся на проводники, диэлектрики и полупроводники.  

Проводники — тела, в которых электрический заряд может 

перемещаться по всему его объему.  

Единица  электрического  за-

ряда — кулон (Кл) 

— электрический заряд, про-

ходящий  через  поперечное 

сечение  проводника  при 

силе тока 1 А за время 1 с.  

Электрон  и  протон  являются 

соответственно  носителями 

элементарных  отрицатель-

ного и положительного заря-

дов. 

ТЕЛА


ПРОВОДНИКИ

электрический 

заряд может 

перемещаться по 

всему объему

I-го типа 

(металлы)

перенос заряда не 

сопровождается 

хим.превращения

II-го типа 

(электролиты)

перенос заряда 

ведет к 


хим.изменениям

ДИЭЛЕКТРИКИ

отсутствуют 

свободные заряды

ПОЛУПРОВОДНИКИ

электропроводность 

меняется в широких 

пределах


Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. 

Кафедра физики 

3 из 17 

Проводники  делятся  на  две  группы:  1)  проводники  первого 



рода (металлы) — перенос в них зарядов (свободных электронов) 

не сопровождается химическими превращениями; 2) проводники 



второго рода (например, расплавленные соли, растворы кислот) 

— перенос в них зарядов (положительных и отрицательных ионов) 

ведет к химическим изменениям. 

Диэлектрики (например, стекло, пластмассы) — тела, в ко-

торых практически отсутствуют свободные заряды.  



Полупроводники (например, германий, кремний) занимают 

промежуточное положение между проводниками и диэлек-

триками.  

Указанное деление тел является весьма условным, однако боль-

шое различие в них концентраций свободных зарядов обусловли-

вает огромные качественные различия в их поведении и оправды-

вает поэтому деление тел на проводники, диэлектрики и полупро-

водники. 



2. ЗАКОН КУЛОНА 

Закон  взаимодействия  неподвижных  точечных  электрических 

зарядов установлен в 1785 г. Шарлем Огюстеном де Кулоном с по-

мощью крутильных весов. 



Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, ли-

нейные  размеры  которого  пренебрежимо  малы  по  сравне-

нию с расстоянием до других заряженных тел, с которыми 

он взаимодействует.  

Понятие точечного заряда, как и материальной точки, является 

физической абстракцией. 



Закон Кулона: сила взаимодействия 

F

 между двумя непо-

движными точечными зарядами, находящимися в вакууме, 

пропорциональна  зарядам 

1

  и 

2

q

 

и  обратно  пропорцио-



нальна квадрату расстояния 

r

 между ними: 

2

2

1



|

|

r



q

q

k

F



где 


k

  –  коэффициент  пропорциональности,  зависящий  от  вы-

бора системы единиц. 

Сила 


F

 направлена по прямой, соединяющей взаимодейству-

ющие заряды, т. е. является центральной, и соответствует притя-

жению (


0



F

) в случае разноименных зарядов и отталкиванию (

0



F

) в случае одноименных зарядов. Эта сила называется куло-



новской силой

В векторной форме закон Кулона имеет вид: 

 

Шарль Огюсте́н де Куло́н  

(фр.  Charles-Augustin  de 

Coulomb, 14 июня 1736— 23 

августа 1806) — французский 

военный инженер и учёный-

физик,  исследователь  элек-

тромагнитных  и  механиче-

ских  явлений;  член  Париж-

ской Академии наук 


Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. 

Кафедра физики 

4 из 17 

r

r

q

q

k

12

2



2

1

12



r

F



,  

 

 



 

 

(1)

  

где 


12

 – сила, действующая на заряд 

1

 со стороны заряда 

2

12

r

 – радиус-вектор, соединяющий заряд 

2

 с зарядом 

1

12

r



r

 (

рис.1

). 

На  заряд 



2

  со  стороны  заряда 

1

  дей-

ствует сила 

12

21



F

F



В СИ коэффициент пропорциональности 

равен 

)

4



(

1

0







k

 

Тогда закон Кулона запишется в окончательном виде: 



2

2

1



0

|

|



4

1

r



q

q

F





  

 



 

 

 



(2)

  

Величина 



0

 называется электрической постоянной; она от-



носится  к  числу  фундаментальных  физических  постоянных  и 

равна 


м

Ф

м

Н

Кл

12

2



2

12

0



10

85

,



8

10

85



,

8







,   


 

(3)

  

где  фарад (Ф) — единица электрической емкости. 



 

Тогда 


Ф

м

9

0



10

9

)



4

(

1







 

3. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. НАПРЯЖЕННОСТЬ 

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 

Если в пространство, окружающее электрический заряд, внести 

другой заряд, то на него будет действовать кулоновская сила; зна-

чит,  в  пространстве,  окружающем  электрические  заряды,  суще-

ствует электрическое силовое поле

Согласно  представлениям  современной  физики,  поле  реально 

существует и наряду с веществом является одной из форм суще-

ствования материи, посредством которого осуществляются опре-

деленные взаимодействия между макроскопическими телами или 

частицами, входящими в состав вещества. В данном случае гово-

рят об электрическом поле – поле, посредством которого взаимо-

действуют электрические заряды. 

  

Рис.1. 

 



 

Закон Кулона 



 

Закон Кулона 



 

Диэлектрическая посто-

янная 

Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. 

Кафедра физики 

5 из 17 

Мы будем рассматривать  электрические поля, которые созда-

ются  неподвижными  электрическими  зарядами  и  называются 

электростатическими

Для  обнаружения  и  опытного  исследования  электростатиче-

ского поля используется пробный точечный положительный заряд 

– такой заряд, который не искажает исследуемое поле (не вызы-

вает перераспределения зарядов, создающие их поле). Если в поле, 

создаваемое зарядом 



q

, поместить пробный заряд 

0

q

, то на него 

действует сила 

F

, различная в разных точках поля, которая, со-

гласно закону Кулона

 (2)


, пропорциональна пробному заряду 

0

q

Поэтому отношение 



0

q

F

 не зависит от 

0

q

 и характеризует элек-

тростатическое  поле  в  той  точке,  где  пробный  заряд  находится. 

Эта величина называется напряженностью и является силовой ха-

рактеристикой электростатического поля. 

Напряженность  электростатического  поля  в  данной 

точке есть физическая величина, определяемая силой, дей-

ствующей  на  пробный  единичный  положительный  заряд, 

помещенный в эту точку поля 

0

q

F

E

 



 

 

 



 

 

 



 (4)

  

Как следует из формул 



(4) 

и 

(1)



, напряженность поля точечного 

заряда в вакууме 



r

r

r

q

2



0

)

4



(

1







E

 

или 



2

0

)



4

(

1



r

q

E





 

 

(5)

 

Направление вектора 



E

 совпадает с направлением силы, дей-

ствующей на положительный заряд. Если поле создается положи-

тельным зарядом, то вектор 



F

 направлен вдоль радиус-вектора от 

заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положи-

тельного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то 

вектор 

E

 направлен к заряду (



рис.2

). 


Графически электростатическое поле изображают с  помощью 

линий напряженности:

 

Единица  измерения  напря-



женности электрического за-

ряда – вольт на метр 











м



В

E

 

Из  формулы  (4)  следует,  что 



единица 

напряженности 

электростатического  поля  — 

ньютон  на  кулон  (Н/Кл):  1 



Н/Кл  —  напряженность  та-

кого поля, которое на точеч-

ный  заряд  1  Кл  действует  с 

силой в 1 Н; 1Н/Кл=1В/м, где 



В  (вольт)  —  единица  потен-

циала  электростатического 

поля. 

Свойства электрического 



поля

Материально, 

т.е. существует 

независимо от 

нас, от наших 

представлений о 

нем

Порождается 



электрическим 

зарядом


Обнаруживается 

по действию на 

электрических 

заряд


Не имеет границ

Распростроняется в 

пространстве с 

конечной 

скоростью, равной 

скорости света





 

Напряженность элек-

трического поля 

Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. 

Кафедра физики 

6 из 17 

Линии напряженности — линии, касательные к которым в 

каждой точке совпадают с направлением вектора 



E

 (

рис.3

). 

Линиям напряженности приписывается направление, совпа-



дающее с направлением вектора напряженности. 

Так как в каждой данной точке пространства вектор напряжен-

ности имеет лишь одно направление, то линии напряженности ни-

когда не пересекаются. 

Для однородного поля (когда вектор напряженности в лю-

бой  точке  постоянен  по  величине  и  направлению)  линии 

напряженности параллельны вектору напряженности. 

Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженно-

сти — радиальные прямые, выходящие из заряда, если он положи-

телен  (


рис.4а

),  и  входящие  в  него,  если  заряд  отрицателен 

(

рис.4б

). 


Вследствие  большой  наглядности  графический  способ  пред-

ставления электростатического поля широко применяется в элек-

тротехнике. 

Чтобы с помощью линий напряженности можно было характе-

ризовать  не  только  направление,  но  и  значение  напряженности 

электростатического поля, условились проводить их с определен-

ной густотой (

рис.3

). Число линий напряженности, пронизываю-

щих  единицу  площади  поверхности,  перпендикулярную  линиям 

напряженности,  должно  быть  равно  модулю  вектора 



E

.  Тогда 

число линий напряженности, пронизывающих элементарную пло-

щадку 


dS

, нормаль   которой образует угол 

  с  вектором 



E

равно 



dS

E

EdS

n



cos

, где 


n

E

 – проекция вектора 



E

 на нормаль 



 к площадке 

dS

 (

рис.5

). Величина 

S

Ed

dS

E



n

E



 

называется  потоком  вектора  напряженности  через  площадку 



dS

Здесь 



n

S



dS

d

 – вектор, модуль которого равен 



dS

, а направ-

ление совпадает с направлением нормали   к площадке. 

Выбор направления вектора  (а следовательно, и  S



) условен, 

так как его можно направить в любую сторону. Единица потока 

вектора напряженности электростатического поля – 1 В



м. 

Для произвольной замкнутой поверхности 

S

 поток вектора 



E

 

сквозь  эту  поверхность  (где  интеграл  берется  по  замкнутой  по-



верхности 

S





S

S

n

E

d

dS

E

Ф

S

E

 

 



 

 

 



(6)

 

  



Рис.2 

 

 

Рис.3 

Линии напряженно-

сти неоднородного поля

 

 

 

Рис.4 

 

 

 

  

Рис.5. 

Расчет потока век-

тора напряженности 





 

Поток вектора напря-

женности 

Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. 

Кафедра физики 

7 из 17 

Поток вектора 



E

 является алгебраической величиной: зависит 

не только от конфигурации поля 

E

, но и от выбора направления



.  Для  замкнутых  поверхностей  за  положительное  направление 

нормали принимается внешняя нормаль, т. е. нормаль, направлен-

ная наружу области, охватываемой поверхностью. 

4. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ 

ПОЛЕЙ. ПОЛЕ ДИПОЛЯ 

Рассмотрим метод определения модуля и направления вектора 

напряженности 

E

 в каждой точке электростатического поля, со-

здаваемого системой неподвижных зарядов 

n

q

q

q

,...,


,

2

1



Опыт показывает, что к кулоновским силам применим рассмот-

ренный в механике принцип независимости действия сил, т. е. ре-

зультирующая сила 



F

, действующая со стороны поля на пробный 

заряд 

0

q



, равна векторной сумме сил 

i

F

, приложенных к нему со 

стороны каждого из зарядов 

i

q





n



i

i

1

F



F

 

 



 

 

 



 

 

(7)

 

Согласно 



(7)



E



F

0

q

 и 


i

i

E

F

0



, где 

E

 – напряженность ре-

зультирующего  поля,  а 

i

E

  –  напряженность  поля,  создаваемого 

зарядом 

i

q

. Подставляя последние выражения в 

(7)

, получаем 







r



r

q

i

i

n

i

i

r

E

E

2

0



1

4

1





 

 



 

 

 



(8)

  

Формула 



(8)

  выражает  принцип  суперпозиции  (наложения) 



электростатических полей: 

Напряженность 



E

 результирующего поля, создаваемого си-

стемой  зарядов,  равна  геометрической  сумме  напряженно-

стей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов 

в отдельности. 

В истории развития физики имела место борьба двух теорий: 

дальнодействия и близкодействия. В теории дальнодействия при-

нимается, что электрические явления определяются мгновенным 

взаимодействием зарядов на любых расстояниях.  

Согласно теории близкодействия, все электрические явления 

определяются изменениями полей зарядов, причем эти изменения 

распространяются в пространстве от точки к точке с конечной ско-

ростью. 

Применительно к электростатическим полям обе теории дают 

одинаковые результаты, хорошо согласующиеся с опытом.  

Принцип суперпозиции позво-

ляет  рассчитать  электростати-

ческие  поля  любой  системы 

неподвижных  зарядов,  по-

скольку если заряды не точеч-

ные, то их можно всегда свести 

к совокупности точечных заря-

дов. 



 

Принцип суперпози-

ций полей 


Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. 

Кафедра физики 

8 из 17 

Переход же к явлениям, обусловленным движением электриче-

ских  зарядов,  приводит  к  несостоятельности  теории  дальнодей-

ствия, поэтому современной теорией взаимодействия заряженных 

частиц является теория близкодействия. 

Распределение зарядов.  

Для  упрощения  математических  расчетов  во  многих  случаях 

бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискрет-

ную структуру (электроны, ядра), и считать, что они «размазаны» 

определенным образом в пространстве.  

При переходе к непрерывному распределению вводят понятие 

плотности зарядов – объемной 

, поверхностной 



 и линейной 

. Формулы плотностей запишутся, как 



dV

dq





dS

dq





dl

dq



где 


dq

 – заряд, заключенные соответственно в объеме 



dV

, на 


поверхности 

dS

 и на длине 



dl

С  учетом  этих  распределений  формула 



(8) 

может  быть  пред-

ставлена в другой форме, заменив 

i

q

 на 


dV

dq



 и 

на 









r



r

dl

r

r

dS

r

r

dV

r

E

r

E

r

E

2

0



2

0

2



0

4

1



,

4

1



,

4

1













  

 

 



 

 

(8а)

 

где интегрирование проводится по всему пространству, в котором 



плотность зарядов отлична от нуля. 

Напряженность электростатического поля

равна силе действующей на единичный 

положительный пробный заряд

величина векторная, совпадает по 

направлению с действием куловновской силы 

на положительный заряд

наряженность поля системы зарядов равена 

геометрической сумме напряженностей полей 

этих зарядов





 

Объемная, поверхностная, 

линейная  плотность 

Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. 

Кафедра физики 

9 из 17 

Таким образом, зная распределение зарядов, мы можем полно-

стью решить задачу о нахождении напряженности электрического 

поля по формуле 

(8)

, если распределение дискретно, или оп фор-



мулам 

(8а)


, если распределение непрерывно. 

Поле диполя. 

Применим  принцип суперпозиции применим для расчета элек-

тростатического поля электрического диполя. 

Электрический диполь — система двух равных по модулю 

разноименных  точечных  зарядов 



q

  и 



q

,  расстояние 



l

между  которыми  значительно  меньше  расстояния  до  рас-

сматриваемых точек поля. 

Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей 

через  оба  заряда)  от  отрицательного  заряда  к  положитель-

ному и равный расстоянию между ними, называется плечом 



диполя  l . 

l

p

q

 



 

 

 



 

 

 



(9)

  

Вектор 



(9)

 совпадающий по направлению с плечом диполя и 

равный  произведению  заряда 

q

  на  плечо 



,  называется 

электрическим моментом диполя или дипольным момен-

том (

рис.6

). 


Согласно принципу суперпозиции 

(8)


, напряженность 

E

 поля 


диполя в произвольной точке 





E



E

E

где 





  и 



  –  напряженности  полей,  создаваемых  соответ-

ственно положительным и отрицательным зарядами. 

Воспользовавшись этой формулой, рассчитаем напряженность 

поля в произвольной точке на продолжении оси диполя и на пер-

пендикуляре к середине его оси.  



1. Напряженность поля на продолжении оси диполя в точке 

А  (

рис.7

).  Как  видно  из  рисунка,  напряженность  поля  диполя  в 

точке А направлена по оси диполя и по модулю равна 





E



E

E

A

 

Обозначив расстояние от точки А до середины оси диполя через 



r

, на основании формулы 

(5) 

для вакуума можно записать 



 

Рис.6. 

Диполь


 

Рис.7. 

Расчет поля диполя

 

В  общем  случае  расчет 



напряженности  через  рас-

пределение  зарядов  сопря-

жен  с  большими  трудно-

стями. 


Действительно, для нахожде-

ния 


E

 надо вычислить сна-

чала его проекции 

x

E



y



E



z



E

,  а  это  по  существу  три 

интеграла. 

И только в тех случаях, когда 

система  зарядов  обладает 

той или иной симметрией, за-

дача,  как  правило,  значи-

тельно облегчается. 





 

Дипольный момент 

Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. 

Кафедра физики 

10 из 17 

2

2



2

2

0



2

2

0



2

2

2



2

)

4



(

2

2



4

1





 




 





 







 















 






 



l



r

l

r

l

r

l

r

q

l

r

q

l

r

q

E

A







 

Согласно определению диполя, 



r

l



2



, поэтому 

3

0



3

0

2



4

1

2



4

1

r



p

r

ql

E

A







 



2. Напряженность поля на перпендикуляре, восставленном 

к оси из его середины, в точке В  (

рис. 7

). Точка В  равноудалена 

от зарядов, поэтому 

2

0



2

2

0



)

'

(



4

1

4



)

'

(



4

1

r



q

l

r

q

E

E











,   

 

(10)

 

где 


'

r

 – расстояние от точки В до середины плеча диполя. 

Из  подобия  равнобедренных  треугольников,  опирающихся  на 

плечо диполя и вектор 



B

, получим 

 


'

1

2



'

1

2



2

r

l

r

E

E

B









откуда 







'

r

l

E

E

B

 

 



 

 

 



 

(11)

 

Подставив в выражение 



(11)

 значение 

(10)

, получим 



3

0

3



0

)

'



(

4

1



)

'

(



4

1

r



p

r

ql

E

B







 



Вектор 

B

E

 имеет направление, противоположное вектору элек-

трического момента диполя (вектор 

p

 направлен от отрицатель-

ного заряда к положительному).  



 

Поле диполя на оси 



 

Поле диполя на 

перпендикуляре 


Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. 

Кафедра физики 

11 из 17 

5. ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 

В ВАКУУМЕ 

Вычисление напряженности поля системы электрических заря-

дов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей 

можно значительно упростить, используя выведенную немецким 

ученым Карлом Фридрихом Гауссом (1777–1855) теорему, опре-

деляющую  поток  вектора  напряженности  электрического  поля 

сквозь произвольную замкнутую поверхность. 

В соответствии с формулой 

(6) 

поток вектора напряженности 



сквозь сферическую поверхность радиуса 

r

, охватывающую то-

чечный заряд 

q

, находящийся в ее центре (



рис.8

), равен 

0

2

2



0

4

4







q

r

r

q

dS

E

Ф

S

n

E



 



Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой 

формы.  Действительно,  если  окружить сферу  (



рис.8

)  произволь-

ной  замкнутой  поверхностью,  то  каждая  линия  напряженности, 

пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность. 

Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает 

заряд (


рис.9

), то при пересечении любой выбранной линии напря-

женности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее.  

Нечетное число пересечений при вычислении потока в конеч-

ном счете сводится к одному пересечению, так как поток считается 

положительным, если линии напряженности выходят из поверхно-

сти, и отрицательным для линий, входящих в поверхность. 

Если  замкнутая  поверхность  не  охватывает  заряда,  то  поток 

сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, вхо-

дящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходя-

щих из нее. 

Таким  образом,  для  поверхности  любой  формы,  если  она  за-

мкнута и заключает в себя точечный заряд 

q

, поток вектора 



E

 

будет равен



0



q

,

 

т. е. 



0



q



dS

E

d

Ф

S

n

S

E





S

E

   


 

 

 



(12)

 

Знак потока совпадает со знаком заряда 



q

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружа-



ющей   зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции 

(8) 


напряженность 

E

  поля,  создаваемого  всеми  зарядами,  равна 

сумме напряженностей 

i

E

 полей, создаваемых каждым зарядом в 

отдельности: 



i

i

E

E

. Поэтому 

 

Рис.8 

 

Рис.9 



 

Иоганн  Карл  Фри́дрих 

Га́усс 

(нем.  Johann  Carl  Friedrich 

Gauß; 30 апреля 1777, Браун-

швейг  —  23  февраля  1855, 

Гёттинген) — немецкий мате-

матик,  астроном  и  физик, 

считается одним из величай-

ших  математиков  всех  вре-

мён,  «королём  математи-

ков». 


Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. 

Кафедра физики 

12 из 17 



 







i S

i

S

i

i

S

E

d

dS

E

d

Ф

S

E

S

E

)

(



 

Согласно 

(12)

,  каждый  из  интегралов,  стоящий  под  знаком 



суммы, равен

0



i

q

. Следовательно, 







n

i

i

S

n

S

q

dS

E

d

1

0



1



S



E

   


 

 

 



(13)

  

Формула 



(13)

 выражает теорему Гаусса для электростатиче-



ского поля в вакууме: 

Поток  вектора  напряженности  электростатического  поля  в 

вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен 

алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхно-

сти зарядов, деленной на 

0



В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» 

с некоторой объемной плотностью 

dV

dq



, различной в разных 

местах  пространства.  Тогда  суммарный  заряд,  заключенный 

внутри  замкнутой  поверхности 

S

,  охватывающей  некоторый 

объем 

V





V



i

i

dV

q

 



 

 

 



 

(14)

 

Используя формулу 



(14)

, теорему Гаусса 

(13)

 можно записать 



так: 





V

S

n

S

dV

dS

E

d



0

1

S



E

 

6. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ГАУССА К РАСЧЕТУ НЕКОТО-



РЫХ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ВАКУУМЕ 

1.  Поле  равномерно  заряженной  бесконечной  плоскости. 

Бесконечная  плоскость  (



рис.10

)  заряжена  с  постоянной  поверх-



ностной  плотностью



.  Линии  напряженности  перпендику-

лярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе сто-

роны. 

В  качестве  замкнутой  поверхности  мысленно  построим  ци-



линдр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а 

ось  перпендикулярна  ей.  Так  как  образующие  цилиндра  парал-

лельны  линиям  напряженности  (

0

cos



),  то  поток  вектора 



напряженности  сквозь  боковую  поверхность  цилиндра  равен 

нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь 

 

Рис. 10. 

Бесконечная 

плоскость

 

Эта  теорема  выведена  мате-

матически  для  векторного 

поля  любой  природы  рус-

ским  математиком  Михаи-

лом  Васильевичем  Остро-

градским  (1801–1862),  а  за-

тем независимо от него при-

менительно  к  электростати-

ческому  полю  –  Карлом 



Фридрихом Гауссом. 



 

Теорема Гаусса для поля 

в вакууме

 

Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. 

Кафедра физики 

13 из 17 

его основания (площади оснований равны и для основания 



n

E

 сов-


падает с  , т. е. равен 

ES

2

. Заряд, заключенный внутри постро-



енной цилиндрической поверхности, равен 

S



Согласно теореме Гаусса 

(13) 

0

2





S



ES

, откуда 



0

2





E

 

 

 



 

 

 



 

(15)

  

Из формулы 



(15) 

вытекает, что 



E

 не зависит от длины цилин-

дра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по 

модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости 

однородно. 

2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заря-

женных плоскостей (

рис. 11

). Пусть плоскости заряжены равно-

мерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями 



 и 



Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, созда-

ваемых каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке верхние 

стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плос-

кости, нижние — от отрицательной плоскости. Слева и справа от 

плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены 

навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля 

0



E

В  области  между  плоскостями 







E

E

E

(



и 



  определя-

ются по формуле 

(15)


), поэтому результирующая напряженность 

0





E

 

 

 



 

 

 



 

(16)

  

Таким образом, результирующая напряженность поля в обла-



сти между плоскостями описывается формулой 

(16)


, а вне объема, 

ограниченного плоскостями, равна нулю. 



3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности. 

Сферическая  поверхность  радиуса   с общим зарядом 



q

  заря-


жена  равномерно  с  поверхностной  плотностью 



.

 

Благодаря 



равномерному распределению заряда по поверхности поле, созда-

ваемое  им,  обладает  сферической  симметрией.  Поэтому  линии 

напряженности направлены радиально (

рис.12

). 


Построим мысленно сферу радиуса  , имеющую общий центр 

с заряженной сферой. Если 



R

r

, тo внутрь поверхности попадает 



весь  заряд 

q

,  создающий  рассматриваемое  поле,  и,  по  теореме 

Гаусса 

(13)


,  

0

2



4



q

E

r

, откуда 



 

Рис. 11. 

Две бесконечные 

плоскости

 



 

Поле заряженной беско-

нечной плоскости

 

 

Рис. 12.

 Заряженная сфера 



 

Поле двух заряженных 

бесконечных плоскостией

 


Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. 

Кафедра физики 

14 из 17 

)

(



4

1

2



0

R

r

r

q

E





   


 

 

 



(17)

  

При 



R

r

 поле убывает с расстоянием   по такому же закону, 



как у точечного заряда. График зависимости   от   приведен на 

рис. 13

Если 



R

r

'



, то замкнутая поверхность не содержит внутри за-

рядов,  поэтому  внутри  равномерно  заряженной сферической  по-

верхности электростатическое поле отсутствует (

0



E

). 


 4. Поле объемно заряженного шара. Шар радиуса 

 с общим 

зарядом 


q

 

заряжен равномерно с объемной плотностью 



. Учи-


тывая соображения симметрии (см. п. 3), можно показать, что для 

напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в 

предыдущем  случае  (см. 

(17)


).  Внутри  же  шара  напряженность 

поля будет другая. 

Сфера радиуса 

R

r

'



 охватывает заряд 



2

'

3



4

'

r



q



Поэтому, согласно теореме Гаусса 

(13)


0

3



0

2

3



4

4







r

q

E

r



Учитывая, что 



3

4

3



R

q



, получаем 

)

'

(



'

4

1



3

0

R



r

r

R

q

E





   


 

 

 



(18)

  

Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряжен-



ного  шара  описывается  формулой 

(17)


,  а  внутри  его  изменяется 

линейно с расстоянием  '



 согласно выражению 

(18)


. График зави-

симости   от   для рассмотренного случая приведен на



 рис.14



5.  Поле  равномерно  заряженного  бесконечного  цилиндра 



(нити). Бесконечный цилиндр радиуса   (

рис.15

) заряжен равно-

мерно  с  линейной  плотностью 

(



dl

dQ



  –  заряд,  приходя-

щийся на единицу длины). 

Из соображений симметрии следует, что линии напряженности 

будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с оди-

наковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В 

качестве  замкнутой  поверхности  мысленно  построим  коаксиаль-

ный с заряженным цилиндр радиуса   и высотой 

l

. Поток вектора 



E

 сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю  (торцы па-



раллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность 

 

Рис. 14. 

Поле заряженного 

шара


 

 

Рис. 13.

 Поле заряженной 

сферы 




 

Поле заряженной сферы

 



 

Поле заряженного шара

 

Восточно-Сибирский Государственный Университет технологий и управления. 

Кафедра физики 

15 из 17 

равен 


rlE

2



. По теореме Гаусса 

(13)


, при 

R

r

 



0

2





l



rlE

, от-



куда 

)

(



2

1

0



R

r

r

E





 



 

 

 



 

(19)

  

Если 



R

r

, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содер-



жит,  поэтому  в  этой  области

0



E

.  Таким  образом,  напряжен-

ность поля вне равномерно  заряженного бесконечного цилиндра 

определяется выражением 

(19)

, внутри же его поле отсутствует. 



Общие выводы о применении теоремы Гаусса. 

Полученные  в  этих  примерах  результаты  можно  получить  и 

непосредственным интегрированием 

(8а)


. Однако, использование 

теоремы Гаусса позволило решать эти задачи несравненно более 

простым путем. 

Тем не менее число задач, легко решаемых с помощью теоремы 

Гаусса, весьма ограниченно. Уже при решении задачи о нахожде-

нии поля такого симметричного распределения заряда, как у рав-

номерно заряженного диска, теорема Гаусса оказывается бессиль-

ной.  В  этом  случае  конфигурация  поля  оказывается  слишком 

сложной, и замкнутой поверхности, обладающей необходимой для 

простоты вычисления потока вектора 



E

 формой, здесь нет. 

Использование теоремы Гаусса для расчета полей эффективно 

лишь  в  тех  случаях, где поле  обладает  специальной  симметрией 

(плоской, цилиндрической или сферической). Симметрия должна 

быть такой, чтобы можно было найти достаточно простую замкну-

тую поверхность 

S

 и вычисление потока вектора 



E

 можно было 

свести к простому умножению  (или 

n

E

) на площадь



S

 или ее 




  1   2


©emirsaba.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал